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| Aufgabe | | Handelt es sich bei [mm] \IZ_{q}\backslash{0} [/mm] für q=7 bzw. q=6 um eine multiplikative Gruppe ? |
[mm] \IZ_{7}\backslash{0} [/mm] ja, da q=7 Primzahl ist, [mm] \IZ_{6}\backslash{0} [/mm] nein, da 6 keine Primzahl ist, also die Lösung weiß ich, aber ich solls mit den Gruppeneigenschaften durchrechnen...
Stimmt das so?
[mm] \IZ_{7}\backslash{0}= [/mm] {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Assoziativ:
(a * b) * c = a * (b * c)
(1 * 2) * 3 = 6
1 * (2 * 3) = 6
usw. klar!
Neutrales Element:
e * a = a * e = a
für e=1 erfüllt!
Inverses Element:
[mm] b=a^{-1}
[/mm]
[mm] 1^{-1} \equiv [/mm] 1 (mod 7)
[mm] 2^{-1} \equiv [/mm] 4 (mod 7)
[mm] 3^{-1} \equiv [/mm] 5 (mod 7)
[mm] 4^{-1} \equiv [/mm] 2 (mod 7)
[mm] 5^{-1} \equiv [/mm] 3 (mod 7)
[mm] 6^{-1} \equiv [/mm] 6 (mod 7)
erfüllt!
Das mit den Inversen stammt aber nicht von mir muss ich gestehen, aber ich weiß auch nicht wie man darauf kommt, das wäre also die nächste Frage!???
Wenn das sonst alles so stimmt, ist [mm] \IZ_{7}\backslash{0} [/mm] eine Gruppe
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> Handelt es sich bei [mm]\IZ_{q}\backslash{0}[/mm] für q=7 bzw. q=6
> um eine multiplikative Gruppe ?
> [mm]\IZ_{7}\backslash{0}[/mm] ja, da q=7 Primzahl ist,
> [mm]\IZ_{6}\backslash{0}[/mm] nein, da 6 keine Primzahl ist, also
> die Lösung weiß ich, aber ich solls mit den
> Gruppeneigenschaften durchrechnen...
>
> Stimmt das so?
Ja.
> Neutrales Element:
> e * a = a * e = a
>
> für e=1 erfüllt!
>
>
> Inverses Element:
> [mm]b=a^{-1}[/mm]
>
> [mm]1^{-1} \equiv[/mm] 1 (mod 7)
> [mm]2^{-1} \equiv[/mm] 4 (mod 7)
> [mm]3^{-1} \equiv[/mm] 5 (mod 7)
> [mm]4^{-1} \equiv[/mm] 2 (mod 7)
> [mm]5^{-1} \equiv[/mm] 3 (mod 7)
> [mm]6^{-1} \equiv[/mm] 6 (mod 7)
>
> erfüllt!
>
> Das mit den Inversen stammt aber nicht von mir muss ich
> gestehen, aber ich weiß auch nicht wie man darauf kommt,
> das wäre also die nächste Frage!???
[mm] 3^{-1} [/mm] istja das Element, welches man mit 3 multiplizieren muß um 1 zu erhalten.
Es ist [mm] 3*5\equiv [/mm] 1 mod 7, also ist 5 das Inverse zu 3, dh. [mm] 3^{-1}\equiv [/mm] 5 mod 7.
Die Inversen findest Du am einfachsten, indem Du eine Verknüpfungstafel für die Multiplikation anfertigst.
Kommt in jeder Zeile die 1 vor, hat jedes Element ein Inverses, Du kannst es dann ja ablesen.
Kommst nicht in jeder Zeile die 1 vor, hat nicht jedes Element ein Inverses.
Gruß v. Angela
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Ahhhh, ja jetzt wird mir die Sache sonnenklar...
Wie gesagt für q=6 handelt es sich um keine Gruppe, da es auf jeden Fall bei den Inversen scheitern würde, denn zu 2, 3, 4 lässt sich kein Inverses finden, richtig??
Vielen Dank!
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> Wie gesagt für q=6 handelt es sich um keine Gruppe, da es
> auf jeden Fall bei den Inversen scheitern würde, denn zu 2,
> 3, 4 lässt sich kein Inverses finden, richtig??
Richtig.
Gruß v. Angela
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