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| Aufgabe | Betrachten Sie die Gruppe G = GL(2,R) der regulären 2 × 2 -Matrizen über R. Es sei
A = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
und B = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
.
Sei U die kleinste Untergruppe von G, die A enthält.
(a) Bestimmen Sie ord(A), ord(B) und |U|.
(b) Zeigen Sie, daß AB = [mm] BA^{-1} [/mm] gilt.
(c) Beweisen Sie, daß H := U [mm] \cup [/mm] UB eine Untergruppe von G ist und bestimmen Sie die
Ordnung von H. |
bei b muss man die Matrizen multiplizieren und vergleichen... wie kommt man hier auf [mm] A^{-1}.....
[/mm]
bei (a), wie bestimmt man hier die ord und |U|
und bei c hab ich nicht den kleinsten ansatz für den beweis....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Betrachten Sie die Gruppe G = GL(2,R) der regulären 2 × 2
> -Matrizen über R. Es sei
> A = [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> und B = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> .
> Sei U die kleinste Untergruppe von G, die A enthält.
> (a) Bestimmen Sie ord(A), ord(B) und |U|.
Hallo,
hier müßtest Du erstman erklären, was Du unter Ordnung von A verstehst.
Oder ist hier die Ordnung der von A erzeugten Untergruppe von G gemeint?
In diesem Fall mußt Du nachschauen, wieviele Elemente [mm] \{A^n| n\in \IN\} [/mm] hat, für B entsprechend.
Die kleinst2Untergruppe, die A enthält, ist die von A erzeugte Untergruppe von G.
> (b) Zeigen Sie, daß AB = [mm]BA^{-1}[/mm] gilt.
Wenn Du glück hast, kannst Du das Aufgabe A entnehmen. Wenn nämlcih für ein m [mm] A^m=E [/mm] gelten sollte, so ist [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] A^{m-1}
[/mm]
c) Hier sind die Untergruppenkriterien zu prüfen.
Welche sind das?
Die Ordnung von H sollte man durch Nachzählen herausbekommen können.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Sa 03.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
Es lässt sich folgendes Untergruppenkriterium formulieren: Eine nichtleere Teilmenge U von G ist eine Untergruppe von G, genau dann wenn gilt:
* a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] U
* a [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] U
Aus diesen beiden Bedingungen folgt insbesondere auch, dass das neutrale Element e von G in jeder Untergruppe enthalten sein muss.
[mm] A\cdot [/mm] B= [mm] \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot [/mm] [mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0\cdot 0 + -1\cdot 1 & 0 \cdot1 + 1 \cdot 0 \\
1\cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Meine Frage wäre: Was zeigt mir das Ergebnis von der Matrixmultiplikation jetzt?
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> Es lässt sich folgendes Untergruppenkriterium formulieren:
> Eine nichtleere Teilmenge U von G ist eine Untergruppe von
> G, genau dann wenn gilt:
>
> * a,b [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in[/mm] U
> * a [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow a^{-1} \in[/mm] U
>
> Aus diesen beiden Bedingungen folgt insbesondere auch, dass
> das neutrale Element e von G in jeder Untergruppe enthalten
> sein muss.
>
> [mm]A\cdot[/mm] B= [mm]\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \cdot[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0\cdot 0 + -1\cdot 1 & 0 \cdot1 + 1 \cdot 0 \\
1\cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
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>
> Meine Frage wäre: Was zeigt mir das Ergebnis von der
> Matrixmultiplikation jetzt?
Hallo,
daß Du weißt, was bei AB herauskommt.
Bearbeitest Du gerade Aufgabe c), oder was?
Ohne die Resultate von a) wird das nicht gehen.
Achso, bist Du bei b)
Dann berechne noch [mm] BA^{-1} [/mm] und vergleich's mit AB.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Sa 03.11.2007 | | Autor: | mcyonx |
Hallo,
Ich habe noch einige Probleme beim Aufgabenteil c). In b) habe ich zwar heruasgefunden, dass |u|=4 ist, aber mir ist nicht ganz klar wie die Untermenge selbst aussieht, bzw. wie ich sie erzeugen kann.
Würde mich über einen kleinen Tip freuen!
Gruß
mcyonx
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> Ich habe noch einige Probleme beim Aufgabenteil c). In b)
> habe ich zwar heruasgefunden, dass |u|=4 ist, aber mir ist
> nicht ganz klar wie die Untermenge selbst aussieht, bzw.
> wie ich sie erzeugen kann.
Hallo,
kannst Du denn sagen, wie Du |U| bestimmt hast?
Irgendetwas mußt Du da ja in der Hand gehabt haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Sa 03.11.2007 | | Autor: | mcyonx |
Die Untergruppe U wird ja von A erzeugt, da A eine Ordnung von 4 hat sollte |U| ebenfalls 4 sein, wenn ich das nicht vollkommen falsch verstanden hab.
Gruß
mcyonx
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> Die Untergruppe U wird ja von A erzeugt, da A eine Ordnung
> von 4 hat sollte |U| ebenfalls 4 sein, wenn ich das nicht
> vollkommen falsch verstanden hab.
Aha. damit kann man etwas anfangen.
Also hast Du die Menge U ja vorliegen. Sie besteht aus E, A, [mm] A^2, A^3, [/mm] also [mm] U=\{E, A, A^2, A^3\}.
[/mm]
Für c) benötigst Du nun H := U $ [mm] \cup [/mm] $ UB .
Was U ist, ist geklärt. Bleibt [mm] UB:=\{E, A, A^2, A^3\}B=\{E*B, A*B, A^2*B, A^3*B\}.
[/mm]
Und von H := U $ [mm] \cup [/mm] $ [mm] UB=\{E, A, A^2, A^3, E*B, A*B, A^2*B, A^3*B\} [/mm] ist nun zu zeigen, daß das eine Gruppe ist.
Gruß v. Angela
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