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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:12 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Drezil |
| Aufgabe | Bekannt ist, dass [mm] A^t [/mm] * A = [mm] E_n. [/mm] Dies ist dann eine orthogonale Matrix.
Gibt es nun auch eine Gruppe von Matrizen für die gilt: [mm] A^t [/mm] * A = D mit D diagonal, det(D) [mm] \not= [/mm] 0, D [mm] \not= E_n [/mm] ? |
Muss jede Matrix, die mit ihrer Transponierten eine Diagonalform annimmt direkt die Einheitsmatrix sein? Oder gibt es hier auch Fälle, wo eine Matrix nur orthogonale Vektoren hat (und somit als Gramsche Matrix nur Diagonal und nicht [mm] E_n [/mm] ist)?
Reine Interessensfrage (wo kann ich diese als solches markieren?).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bekannt ist, dass [mm]A^t[/mm] * A = [mm]E_n.[/mm] Dies ist dann eine
> orthogonale Matrix.
> Gibt es nun auch eine Gruppe von Matrizen für die gilt:
> [mm]A^t[/mm] * A = D mit D diagonal?
natürlich: Die Gruppe der Orthogonalen Matrizen erfüllt dies doch
insbesondere, da die Einheitsmatrix eine Diagonalmatrix ist.
Edit: Oh, oder meinst Du, dass die Diagonalmatrix [mm] $D\,$ [/mm] VORHER fest
vorgegeben werde? Darüber muss ich nochmal nachdenken. Ich hatte das
eben wohl missverstanden, mein Fehler...
> Muss jede Matrix, die mit ihrer Transponierten eine
> Diagonalform annimmt direkt die Einheitsmatrix sein?
Nein: Multiplizier mal zwei beliebige Diagonalmatrizen. Nebenbei, nur, damit
da keine Missverständnisse entstehen: Bei Diagonalmatrizen dürfen nur
auf der Diagonalen Nichtnulleinträge stehen - das heißt aber nicht, dass
auf der Diagonalen selbst Nulleinträge verboten werden (außerhalb der
Diagonalen sind ja eben nur Nullen erlaubt). Insbesondere sind das
quadratische Matrizen.
> Oder
> gibt es hier auch Fälle, wo eine Matrix nur orthogonale
> Vektoren hat (und somit als Gramsche Matrix nur Diagonal
> und nicht [mm]E_n[/mm] ist)?
Warum nicht? Du kannst doch bei einer Orthogonalen Matrix mal "etwa
jeden Spaltenvektor" mit einem Skalar [mm] $\not=0$ [/mm] "'strecken oder stauchen'
und eventuell 'umklappen'".
(Also etwa aus der Einheitsmatrix [mm] $(e_1,e_2)=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm] konstruierst Du
beispielsweise [mm] $(5*e_1,-e*e_2)=\pmat{5*1 & -e*0 \\ 5*0 & -e*1}=\pmat{5 & 0 \\0 & -e}\,.$ [/mm] Dann gilt natürlich hier auch immer noch
[mm] $$(5*e_1)^T\*(-e*e_2)=-5e*(e_1^T \*e_2)=-5e*0\,,$$
[/mm]
wenn [mm] $\*$ [/mm] hier die Matrixmultiplikation bezeichne. Also:
[mm] $$e_1 \perp e_2 \Rightarrow (5*e_1) \perp (-e*e_2)$$
[/mm]
Geometrisch wäre das ja eh klar...)
> Reine Interessensfrage (wo kann ich diese als solches
> markieren?).
Aber ich glaube, Du musst Deine Frage nochmal präzisieren. Ich glaube, Du
willst eigentlich was anderes wissen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:30 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Drezil |
Gemeint war, dass das Ergebnis von [mm] A^t [/mm] * A = D zwar diagonalgestalt hat, aber weder [mm] E_n [/mm] ist, noch det(D) = 0 hat.
Idee dahinter ist, dass man eine orthogonale (nicht-normierte) Basis hat und was passiert, wenn man diese mit sich transponiert multipliziert.
Dass das für Diagonalmatrizen trivial der Fall ist, ist mir auch klar. Diagonalmatrizen sind ja nur ein Spezialfall von Orthogonalen Matrizen.
Hier wollte ich generalisieren und nicht spezialisieren - also wissen, ob es eine größere Gruppe von Matrizen gibt, die ähnliche Eigenschaften zu den Orthogonalen hat (und wie man die dann nennt).
Da orthogonale Matrizen _immer_ normalisiert sind, ergibt sich bei einer Multiplikation mit der Transponierten doch automatisch eine Einheitsmatrix.
Hier wollte ich insbesondere auf den Fall hinaus, dass A grade NICHT normalisiert ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 12.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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