Gruppen u. Untergruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und bezeichne U(G) die Menge aller Untergruppen von G. Zeigen Sie, dass für jedes g [mm] \in [/mm] G und jedes U [mm] \in [/mm] U(G) die Teilmenge
[mm] gUg^{-1} [/mm] := { [mm] gug^{-1} [/mm] | u [mm] \in [/mm] U } [mm] \subset [/mm] G
eine Untergruppe von G ist. |
hallo,
ich hab ma wieder ein paar "Problemchen" ...
also ich muss doch eigentlich die Untergruppenaxiome für [mm] gUg^{-1} [/mm] := { [mm] gug^{-1} [/mm] | u [mm] \in [/mm] U } nachweisen. also:
i) n [mm] \in gUg^{-1}
[/mm]
ii) a [mm] \in gUg^{-1} [/mm] => [mm] a_{-1} \in gUg^{-1} [/mm]
iii) a, b [mm] \in gUg^{-1} [/mm] => a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in gUg^{-1}
[/mm]
ich hab mal so angefangen, bin mir jedoch recht sicher, dass das so nich gehen kann ^^ :
ad i) [mm] gng^{-1} [/mm] = [mm] gg^{-1} [/mm] n [mm] g^{-1}g [/mm] = 1*n*1 = n
ad ii) a [mm] \in gUg^{-1}, [/mm] dann [mm] (gag^{-1})a^{-1} [/mm] = [wegen Kom. in G] = [mm] g(ag^{-1})a^{-1} [/mm] = [mm] g(g^{-1}a)a^{-1} [/mm] = [mm] (gg^{-1})(aa^{-1}) [/mm] = n.
ad iii) sei a, b [mm] \in gUg^{-1} [/mm] => [mm] \exists [/mm] g,h [mm] \in [/mm] G : [mm] gag^{-1} [/mm] = a und [mm] hbh^{-1} [/mm] =b
dann a [mm] \circ [/mm] b = [mm] gag^{-1} \circ hbh^{-1} [/mm] = [mm] gg^{-1}a \circ hh^{-1}b [/mm] = a [mm] \circ [/mm] b und somit a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in gUg^{-1}. [/mm]
hab ich damit dann schon gezeigt, dass [mm] gUg^{-1} [/mm] Untergruppe von G ist?
wär lieb wenn ma jemand drüberschaut und mir sagt was ich besser machen könnte, bzw. mir noch ein paar Tipps geben könnte..
lieber Gruß
Maren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Fr 11.05.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Maren!
> Sei G eine Gruppe und bezeichne U(G) die Menge aller
> Untergruppen von G. Zeigen Sie, dass für jedes g [mm]\in[/mm] G und
> jedes U [mm]\in[/mm] U(G) die Teilmenge
> [mm]gUg^{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm]gug^{-1}[/mm] | u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U } [mm]\subset[/mm] G
> eine Untergruppe von G ist.
> ich hab ma wieder ein paar "Problemchen" ...
> also ich muss doch eigentlich die Untergruppenaxiome für
> [mm]gUg^{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm]gug^{-1}[/mm] | u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U } nachweisen. also:
> i) n [mm]\in gUg^{-1}[/mm]
> ii) a [mm]\in gUg^{-1}[/mm] => [mm]a_{-1} \in gUg^{-1}[/mm]
> iii) a, b [mm]\in gUg^{-1}[/mm] => a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in gUg^{-1}[/mm]
So weit so gut!
> ich hab mal so angefangen, bin mir jedoch recht sicher,
> dass das so nich gehen kann ^^ :
>
> ad i) [mm]gng^{-1}[/mm] = [mm]gg^{-1}[/mm] n [mm]g^{-1}g[/mm] = 1*n*1 = n
Woher kommt das 1. Gleichheitszeichen? Was ist denn die typische Eigenschaft von n?
> ad ii) a [mm]\in gUg^{-1},[/mm] dann [mm](gag^{-1})a^{-1}[/mm] = [wegen Kom.
> in G] = [mm]g(ag^{-1})a^{-1}[/mm] = [mm]g(g^{-1}a)a^{-1}[/mm] =
> [mm](gg^{-1})(aa^{-1})[/mm] = n.
G muß nicht kommutativ sein, so geht das also nicht.
> ad iii) sei a, b [mm]\in gUg^{-1}[/mm] => [mm]\exists[/mm] g,h [mm]\in[/mm] G :
> [mm]gag^{-1}[/mm] = a und [mm]hbh^{-1}[/mm] =b
> dann a [mm]\circ[/mm] b = [mm]gag^{-1} \circ hbh^{-1}[/mm] = [mm]gg^{-1}a \circ hh^{-1}b[/mm]
> = a [mm]\circ[/mm] b und somit a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in gUg^{-1}.[/mm]
Hier hast du den Namen g mehrfach vergeben, das geht nicht. Und dir scheint auch nicht klar zu sein, was [mm] gUg^{-1} [/mm] ist. Eventuell müßtest du mal ein Beispiel bilden, und weil G nicht unbedingt kommutativ ist, wäre die S3 ein Kandidat für G und für U könntest du einmal eine U-Grupper der Ordnung 2 und einmal eine der Ordnung 3 nehmen.
> hab ich damit dann schon gezeigt, dass [mm]gUg^{-1}[/mm] Untergruppe
> von G ist?
Wenn deine Herleitungen richtig wären, ja, sind sie aber nicht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:31 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
> > ich hab mal so angefangen, bin mir jedoch recht sicher,
> > dass das so nich gehen kann ^^ :
> >
> > ad i) [mm]gng^{-1}[/mm] = [mm]gg^{-1}[/mm] n [mm]g^{-1}g[/mm] = 1*n*1 = n
>
> Woher kommt das 1. Gleichheitszeichen? Was ist denn die
> typische Eigenschaft von n?
ok, hab grad gemerkt, dass es doch einfach ausreicht zu sagen, dass [mm] gUg^{-1} [/mm] auf jeden fall ein neutrales Element besitzt, nämlich das gleiche wie G . aber falls das nicht ausreicht würde ich es noch so versuchen:
[mm] gug^{-1} \circ (gug^{-1})^{-1} [/mm] =n
=> [mm] (gg^{-1})u \circ ((gg^{-1})u)^{-1} [/mm] =n
=> u [mm] \circ u^{-1} [/mm] =n
> > ad ii) a [mm]\in gUg^{-1},[/mm] dann [mm](gag^{-1})a^{-1}[/mm] = [wegen Kom.
> > in G] = [mm]g(ag^{-1})a^{-1}[/mm] = [mm]g(g^{-1}a)a^{-1}[/mm] =
> > [mm](gg^{-1})(aa^{-1})[/mm] = n.
>
> G muß nicht kommutativ sein, so geht das also nicht.
wie dann?? (und noch ne Frage nebenbei: wenn G ne abelsche Gruppe wäre, dann würde es gehen, oder?)
> > ad iii) sei a, b [mm]\in gUg^{-1}[/mm] => [mm]\exists[/mm] g,h [mm]\in[/mm] G :
> > [mm]gag^{-1}[/mm] = a und [mm]hbh^{-1}[/mm] =b
> > dann a [mm]\circ[/mm] b = [mm]gag^{-1} \circ hbh^{-1}[/mm] = [mm]gg^{-1}a \circ hh^{-1}b[/mm]
> > = a [mm]\circ[/mm] b und somit a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in gUg^{-1}.[/mm]
>
> Hier hast du den Namen g mehrfach vergeben, das geht nicht.
> Und dir scheint auch nicht klar zu sein, was [mm]gUg^{-1}[/mm] ist.
> Eventuell müßtest du mal ein Beispiel bilden, und weil G
> nicht unbedingt kommutativ ist, wäre die S3 ein Kandidat
> für G und für U könntest du einmal eine U-Grupper der
> Ordnung 2 und einmal eine der Ordnung 3 nehmen.
was ist denn die S3 ? sorry, aber ich bin noch überhaupt nich vertraut mit dem Thema, da ich erst im April mit dem Studium angefangen hab..
könnte ich das ganze eventuell so "umändern":
ad iii) sei a, b [mm] \in gUg^{-1} [/mm] => [mm] \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] G :
[mm] gag^{-1} [/mm] = a und [mm] gbg^{-1} [/mm] =b
dann a [mm] \circ [/mm] b = [mm] gag^{-1} \circ gbg^{-1} [/mm] = [mm] gg^{-1}a \circ gg^{-1}b [/mm] = a [mm] \circ [/mm] b und somit a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in gUg^{-1}.
[/mm]
?
Gruß Maren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Fr 11.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei G eine Gruppe und bezeichne U(G) die Menge aller
> Untergruppen von G. Zeigen Sie, dass für jedes g [mm]\in[/mm] G und
> jedes U [mm]\in[/mm] U(G) die Teilmenge
> [mm]gUg^{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm]gug^{-1}[/mm] | u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U } [mm]\subset[/mm] G
> eine Untergruppe von G ist.
Man kann dies uebrigens leicht indirekt auch anders zeigen: und zwar indem man zeigt, dass [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G$, $h [mm] \mapsto [/mm] g h [mm] g^{-1}$ [/mm] ein Homomorphismus ist. Es ist naemlich $g U [mm] g^{-1} [/mm] = Bild(U)$, und Bilder von Untergruppen unter Homomorphismen sind wieder Untergruppen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
Hey,
vielen Dank für den Tipp! nur weiß ich nich, ob ich diese "Voraussetungen" benutzen darf, weil wir in unserer Algebra-Vorlesung noch keine Homomorphismen hatten (glaub ich zumindest), bislang kenn ich Homomorphismen nur aus meiner anderen Vorlesung (Grundlagen der Mathematik)..
> Man kann dies uebrigens leicht indirekt auch anders zeigen:
> und zwar indem man zeigt, dass [mm]\varphi : G \to G[/mm], [mm]h \mapsto g h g^{-1}[/mm]
> ein Homomorphismus ist. Es ist naemlich [mm]g U g^{-1} = Bild(U)[/mm],
> und Bilder von Untergruppen unter Homomorphismen sind
> wieder Untergruppen.
ich hab das mal probiert und würd das ganze so beweisen:
Sei x, y [mm] \in [/mm] G. dann ist
h(x) = g x [mm] g^{-1} [/mm] und h(y) = g y [mm] g^{-1}.
[/mm]
zu zeigen: h(x+y) = h(x) + h(y).
h(x+y)= g (x+y) [mm] g^{-1}
[/mm]
= g [mm] g^{-1} [/mm] (x+y)
= g [mm] g^{-1} [/mm] x + g [mm] g^{-1} [/mm] y
= g (x) [mm] g^{-1} [/mm] + g (y) [mm] g^{-1}
[/mm]
= h(x) + h(y)
also hätte ich so gezeigt dass [mm] gUg^{-1} [/mm] ein Homomorphismus ist. aber woher weiß ich denn, dass [mm] gUg^{-1} [/mm] = im(U) ist?
lieber Gruß Maren
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Hi Maren
> h(x+y)= g (x+y) [mm]g^{-1}[/mm]
> = g [mm]g^{-1}[/mm] (x+y)
Dieser Schritt funktioniert so nicht, da G im allgemeinen nicht kommutativ ist. Du darfst also (x+y) und [mm] g^{-1} [/mm] also nicht ohne weiteres vertauschen.
LG
Karsten
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Also das mit dem Homomorphismus funktioniert so:
1. Zeige, daß zu [mm]g \in G[/mm] durch [mm]\varphi_g : G \to G[/mm], [mm]h \mapsto g h g^{-1}[/mm] ein Gruppenhomomorphismus definiert wird.
2. Zeige [mm]\varphi_g(U) = gUg^{-1}[/mm].
Es gilt allgemein: Sind [mm]G, G'[/mm] zwei Gruppen und [mm]\varphi : G \to G'[/mm] ein Gruppenhomomorphismus sowie [mm]H \subseteq G[/mm] eine Untergruppe, so ist [mm]\varphi_g(H) [/mm] eine Untergruppe von G'. Hier in unserem Beispiel wäre [mm]G = G'[/mm].
Zu 1.) Seien [mm]a,b \in G[/mm]. Dann gilt: [mm]\varphi_g(ab) = gabg^{-1} = ganbg^{-1} = gag^{-1}gbg^{-1} = \varphi_g(a)\varphi_g(b)[/mm]
Zu 2.) Es sind zwei Inklusionen zu beweisen. Die Richtung [mm]\varphi_g(U) \subseteq gUg^{-1}[/mm] ist eigentlich klar, da [mm] \varphi_g [/mm] nur Elemente der Form [mm] gug^{-1} [/mm] mit [mm]u \in U[/mm] liefert. Ist zum Beweis der umgekehrten Mengeninklusion [mm]x \in gUg^{-1}[/mm], so gibt es ein [mm]u \in U[/mm] mit [mm]x = gug^{-1}[/mm]. Das heißt aber [mm]x = \varphi_g(u)[/mm], also [mm]x \in \varphi_g(U)[/mm] und somit [mm] gUg^{-1} \subseteq \varphi_g(U)[/mm].
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Hallo Maren!
also ich muss doch eigentlich die Untergruppenaxiome für [mm] gUg^{-1} [/mm] := { [mm] gug^{-1} [/mm] | u [mm] \in [/mm] U } nachweisen. also:
i) n [mm] \in gUg^{-1}
[/mm]
ii) a [mm] \in gUg^{-1} [/mm] => [mm] a_{-1} \in gUg^{-1}
[/mm]
iii) a, b [mm] \in gUg^{-1} [/mm] => a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in gUg^{-1} [/mm]
Zu i) Da U eine Untergruppe ist, gibt es dort ein neutrales Element n*. Es ist für u [mm] \in [/mm] U beliebig: n* = [mm] uu^{-1} [/mm] = n, da u ja auch ein Element in G ist. Somit ist n [mm] \in [/mm] U. Weiter hat man für beliebiges g [mm] \in [/mm] G
n = [mm] gg^{-1} [/mm] = [mm] gng^{-1}
[/mm]
und da, wir wir gezeigt haben, n [mm] \in [/mm] U ist, gilt n = [mm] gng^{-1} \in gUg^{-1}.
[/mm]
Zu ii) Sei a [mm] \in gUg^{-1}. [/mm] Dann gibt es ein u [mm] \in [/mm] U mit a = [mm] gug^{-1}, [/mm] und es gilt (mit der Rechenregel [mm] (xy)^{-1} [/mm] = [mm] y^{-1}x^{-1}):
[/mm]
[mm] a^{-1} [/mm] = [mm] (gug^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] g(gu)^{-1} [/mm] = [mm] gu^{-1}g^{-1} \in gUg^{-1},
[/mm]
weil [mm] u^{-1} \in [/mm] U. U ist ja eine Gruppe und enthält das Inverse zu u.
Zu iii) Seien a,b [mm] \in gUg^{-1}. [/mm] Dann gibt es u, u' [mm] \in [/mm] U mit a = [mm] gug^{-1} [/mm] und b = [mm] gu'g^{-1}, [/mm] und es ist
ab = [mm] gug^{-1}gu'g^{-1} [/mm] = [mm] guu'g^{-1}
[/mm]
Und mit u'':=uu' [mm] \in [/mm] U (da U Untergruppe) ist dann ab = [mm] gu''g^{-1} \in gUg^{-1}.
[/mm]
Ich hoffe, es stimmt alles.
LG
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
Hey,
vielen Dank schonmal.
jedoch hätt ich da noch ne Frage zu:
> Zu iii) Seien a,b [mm]\in gUg^{-1}.[/mm] Dann gibt es u, u' [mm]\in[/mm] U
> mit a = [mm]gug^{-1}[/mm] und b = [mm]gu'g^{-1},[/mm] und es ist
>
> ab = [mm]gug^{-1}gu'g^{-1}[/mm] = [mm]guu'g^{-1}[/mm]
>
> Und mit u'':=uu' [mm]\in[/mm] U (da U Untergruppe) ist dann ab =
> [mm]gu''g^{-1} \in gUg^{-1}.[/mm]
woher weißt du denn, dass die Verknüpfung * ist, könnte es nicht genauso gut + sein? weil dann würde das ja nicht zutreffen..
kann man das nich irgendwie allgemein lösen? (hab's ja schon versucht, aber ich komm ohne das Kommutativgesetz zu verwenden da einfach nich weiter :-( )
Gruß Maren
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> > Zu iii) Seien a,b [mm]\in gUg^{-1}.[/mm] Dann gibt es u, u' [mm]\in[/mm] U
> > mit a = [mm]gug^{-1}[/mm] und b = [mm]gu'g^{-1},[/mm] und es ist
> >
> > ab = [mm]gug^{-1}gu'g^{-1}[/mm] = [mm]guu'g^{-1}[/mm]
> >
> > Und mit u'':=uu' [mm]\in[/mm] U (da U Untergruppe) ist dann ab =
> > [mm]gu''g^{-1} \in gUg^{-1}.[/mm]
>
>
> woher weißt du denn, dass die Verknüpfung * ist, könnte es
> nicht genauso gut + sein? weil dann würde das ja nicht
> zutreffen..
Hallo,
wenn man es genau nimmt, ist die Angabe "Sei G eine Gruppe" (wie es in Deiner Aufgabe steht) nicht ganz richtig. Eigentlich müßte man die Verknüpfung mit angeben.
Aber man liest dann ja [mm] "gUg^{-1} [/mm] := [mm] {gug^{-1}| u\in U }", [/mm] woran man sieht, daß es sich hier um die multiplikative Schreibweise handelt.
Eine Addition hat hier dann überhaupt nichts verloren, denn in einer Gruppe hat man nur eine Verknüpfung.
Die Aussage gilt aber immer, egal, welche Verknüpfung man hat.
[mm] g^{-1} [/mm] ist zu lesen als: das Inverse bzgl. der Verknüpfung *.
Wenn ich nun eine andere additive Gruppe H habe, muß ich mir die Aussage in die additive Schreibweise ummodeln. Das hieße dann:
Sei (H,+) eine Gruppe und bezeichne U(H) die Menge aller Untergruppen von H. Zeigen Sie, dass für jedes h [mm] \in [/mm] H und jedes U [mm] \in [/mm] U(H) die Teilmenge
h+U+(-h) := { h+u+(-h) | u [mm] \in [/mm] U } [mm] \subset [/mm] G
eine Untergruppe von K ist.
Und ist ja eine ganz exotisch definierte Gruppe K denkbar mit einer wilden Verknüpfung, welche z.B. mit [mm] \Box [/mm] gekennzeichnet wird.
(Diese Verknüpfung ist allerdings nur nach außen wild - da es sich ja um eine Gruppe handelt, genügt sie brav den entsprechenden Regeln.)
Auch in diesem Fall gilt die Aussage. Bezeichnet man mit [mm] \underline{a} [/mm] das Inverse zu a bzgl. [mm] \Box, [/mm] so erhält man
Sei [mm] (K,\Box) [/mm] eine Gruppe und bezeichne U(K) die Menge aller Untergruppen von K. Zeigen Sie, dass für jedes k [mm] \in [/mm] K und jedes U [mm] \in [/mm] U(K) die Teilmenge
[mm] k\Box U\Box \underline{k}) [/mm] := { [mm] k\Box u\Box \underline{k} [/mm] | u [mm] \in [/mm] U } [mm] \subset [/mm] K
eine Untergruppe von G ist.
> kann man das nich irgendwie allgemein lösen?
Wenn Du es mit * löst und keine andere Regel verwendest als die Gruppenaxiome (also keine Kommutativitat) und die daraus bewiesenen Tatsachen, hast Du es allgemein bewiesen.
* ist hier irgendeine Verknüpfung, und hat mit dem Multiplizieren, wie wir es von Kindesbeinen an tun, gar nicht so viel zu tun - außer daß unsere wohlbekannte Zahlenmultiplikation auch diesen Gesetzen unterliegt.
Gruß v. Angela
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Hi Du!
> jedoch hätt ich da noch ne Frage zu:
> woher weißt du denn, dass die Verknüpfung * ist, könnte es
> nicht genauso gut + sein? weil dann würde das ja nicht
> zutreffen..
> kann man das nich irgendwie allgemein lösen? (hab's ja
> schon versucht, aber ich komm ohne das Kommutativgesetz zu
> verwenden da einfach nich weiter :-( )
Da nichts weiter vorgegeben ist, ist die Verknüpfung [mm] \circ [/mm] wohl dieselbe wie die in G. Also wenn ich z.B. [mm]gug^{-1} [/mm] schreibe, wird da ja auch die Gruppenverknüpfung zwischen g und u bzw. zwischen u und [mm] g^{-1} [/mm] angewendet. Korrekterweise müßte man also hingehen und schreiben [mm]g \circ u \circ g^{-1} [/mm], aber in der Gruppentheorie wird das Verknüpfungszeichen meist weggelassen.
Ob diese Verknüpfung multiplikativen oder additiven Charakter hat, ist unerheblich. Bei einer Verknüpfung +, die einen additiven Charakter andeuten soll, wäre
ab = [mm]gug^{-1}gu'g^{-1}[/mm]
dasselbe wie
a + b = [mm]g + u + g^{-1} + g + u' + g^{-1}[/mm]
und [mm] g^{-1} [/mm] entspräche -g.
Soweit klar geworden?
LG
Karsten
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
vielen Dank für die ausführlichen Antworten, dadurch ist mir einiges klarer geworden!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
| Aufgabe | die Aufgabe geht eigentlich noch weiter:
Begründen Sie, warum durch
(g,U) [mm] \mapsto [/mm] g * U := [mm] gUg^{-1} [/mm]
eine Aktion von G auf U(G) definiert wird (der [mm] \* [/mm] ersetzt den sonst üblichen Punkt, der hier irreführend wäre.) Bestimmen sie für das Beispiel G = [mm] Sym_{3} [/mm] alle Äquivalenzklassen dieser Aktion. |
so, und zwar hab ich mir dazu überlegt, dass ja für den ersten Teil der Aufgabe gelten muss:
für alle g [mm] \in [/mm] G und x [mm] \in gUg^{-1} [/mm] gilt:
1) [mm] \varphi [/mm] (g, x) = gx
2) [mm] \varphi [/mm] (1,x) = x (hier ist doch mit 1 eigentlich das neutrale element gemeint ?)
oder?
und wie muss ich sowas beweisen? ich kann mir das alles einfach noch nich so wirklich "vorstellen"..
zu 2) würd ich das so machen:
sei x = [mm] gug^{-1} \in gUg^{-1}
[/mm]
[mm] \varphi(1, gug^{-1}) [/mm] = [mm] gug^{-1}
[/mm]
also: [mm] 1*gug^{-1} [/mm] = [mm] gug^{-1}.
[/mm]
zu 1) hätt ich es so probiert:
sei x = [mm] gug^{-1} \in gUg^{-1}
[/mm]
[mm] \varphi [/mm] (g, [mm] gug^{-1}) [/mm] = [mm] g*(gug^{-1}) [/mm] , da ich ja nicht weiß ob die Gruppe kommutativ ist, würde dies ja gx entsprechen...
zum zweiten Teil der Aufgabe. muss ich dazu erst beweisen, dass [mm] Sym_{3} [/mm] eine Äquivalenzrelation ist, oder steht das hier gar nicht zur Debatte?
und dann hätt ich auch noch das Problem, dass ich gar nich so genau weiß was eine Symmetrische Gruppe ist. Stimmt es dass [mm] Sym_{3} [/mm] = {1, (1 2), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)} ist?
Und wie berechne ich dann die Klasse dazu? bzw. was genau ist diese Klasse?
vielen Dank im Voraus!
Maren
bevor ich'S wieder vergesse:
ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Die Abbildung ist definiert durch [mm]\varphi: G \times U(G) \to U(G), \varphi(g,U) = g\*U[/mm]
> dass ja für den ersten Teil der Aufgabe gelten muss:
> für alle g [mm]\in[/mm] G und x [mm]\in gUg^{-1}[/mm] gilt:
> 1) [mm]\varphi[/mm] (g, x) = gx
> 2) [mm]\varphi[/mm] (1,x) = x (hier ist doch mit 1 eigentlich das
> neutrale element gemeint ?)
Du mußt meines Wissens für alle [mm]g,h \in G[/mm] und alle [mm]U \in U(G)[/mm] zeigen
1. [mm]\varphi(n,U) = U[/mm] (mit n als dem neutralen Element in G) und
2. [mm]\varphi(gh,U) = g \* \varphi(h,U)[/mm]
> und wie muss ich sowas beweisen?
Zu 1.) Es ist [mm]\varphi(n,U) = n \* U = \{nun^{-1} | u \in U\} = \{u | u \in U\} = U[/mm]
Zu 2.) Es gilt
[mm]\varphi(gh,U) = (gh) \* U = \{(gh)u(gh)^{-1} | u \in U\} = \{ghuh^{-1}g^{-1} | u \in U\} = g \* \{huh^{-1} | u \in U\} = g \* \varphi(h,U)[/mm]
> zum zweiten Teil der Aufgabe. muss ich dazu erst beweisen,
> dass [mm]Sym_{3}[/mm] eine Äquivalenzrelation ist, oder steht das
> hier gar nicht zur Debatte?
Nein, es steht nicht zur Debatte. [mm]Sym_{3}[/mm] ist die symmetrische Gruppe vom Grad 3, d.h. die Menge aller bijektiven Abbildungen zwischen zwei drei-elementigen Mengen, also z.B. alle Bijektionen von {1,2,3} auf {1,2,3}. Sie entspricht den Permutationen von drei Elementen.
Es gibt in der Gruppentheorie den Begriff der Bahn. Ist G eine Gruppe und M eine Menge, so ist zu einem Element [mm]m \in M[/mm]
[mm]G * m = \{gm | g \in G\}[/mm]
die Bahn (auch Orbit) von m. Die Menge aller Bahnen, also etwa
[mm]G * M = \{Gm | m \in M\}[/mm]
entspricht der Menge der Äquivalenzklassen bzgl. der Äquivalenzrelation
[mm] m_1 \sim m_2 :\gdw[/mm] es gibt ein [mm]g \in G[/mm], für das [mm]gm_1 = m_2[/mm] gilt.
Speziell ist in dieser Aufgabe G = [mm]Sym_3[/mm]. Informiere Dich zunächst einmal über diese Gruppe, z.B. bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia (klicken).
Die Menge M ist in diesem Zusammenhang die Menge alle Untergruppen U(G) von G. Diese mußt Du zunächst bestimmen, dann für jede Untergruppe U die Bahn [mm]G \* U = \{\varphi(g,U) | g \in G\}[/mm] und dann erhältst Du die Menge aller Bahnen bzw. Äquivalenzklassen [mm]G \* U(G)[/mm].
LG
Karsten
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
Hallo,
> Du mußt meines Wissens für alle [mm]g,h \in G[/mm] und alle [mm]U \in U(G)[/mm]
> zeigen
>
> 1. [mm]\varphi(n,U) = U[/mm] (mit n als dem neutralen Element in G)
> und
> 2. [mm]\varphi(gh,U) = g \* \varphi(h,U)[/mm]
>
>
> > und wie muss ich sowas beweisen?
>
> Zu 1.) Es ist [mm]\varphi(n,U) = n \* U = \{nun^{-1} | u \in U\} = \{u | u \in U\} = U[/mm]
>
> Zu 2.) Es gilt
>
> [mm]\varphi(gh,U) = (gh) \* U = \{(gh)u(gh)^{-1} | u \in U\} = \{ghuh^{-1}g^{-1} | u \in U\} = g \* \{huh^{-1} | u \in U\} = g \* \varphi(h,U)[/mm]
ok, vielen Dank, das hab ich jetzt soweit auch verstanden.
> Es gibt in der Gruppentheorie den Begriff der Bahn. Ist G
> eine Gruppe und M eine Menge, so ist zu einem Element [mm]m \in M[/mm]
>
> [mm]G * m = \{gm | g \in G\}[/mm]
>
> die Bahn (auch Orbit) von m. Die Menge aller Bahnen, also
> etwa
>
> [mm]G * M = \{Gm | m \in M\}[/mm]
>
> entspricht der Menge der Äquivalenzklassen bzgl. der
> Äquivalenzrelation
>
> [mm]m_1 \sim m_2 :\gdw[/mm] es gibt ein [mm]g \in G[/mm], für das [mm]gm_1 = m_2[/mm]
> gilt.
wir haben das in der Vorlesung alles ein wenig anders aufgeschrieben, vielleicht hab ich das deshalb auch nich so richtig verstanden gehabt..
und zwar:
Sei X eine Menge mit Äquivalenzrelation. Für jedes a [mm] \in [/mm] X heißt
[ a ] := { x [mm] \in [/mm] X | a ~ x } /subset X
die Äquivalenzklasse von a. Die Menge aller Klassen
X/~ := { [ a ] | a [mm] \in [/mm] X } = { T [mm] \subset [/mm] X | es ex. ein a [mm] \in [/mm] X mit T = [ a ] }
heißt die Quotientenmenge von X bzgl. ~ .
kann damit einfach nich wirklich was anfangen.. ist das bei der ersten Aussagen einfach die Mächtigkeit der Menge X?
> Speziell ist in dieser Aufgabe G = [mm]Sym_3[/mm]. Informiere Dich
> zunächst einmal über diese Gruppe, z.B. bei
> Wikipedia (klicken).
>
hatte da schon vorher geschaut und hab das jetzt so einigermaßen verstanden, jedoch versteh ich nicht wie man von (132) [mm] \circ [/mm] (32) auf (13) kommt?
> Die Menge M ist in diesem Zusammenhang die Menge alle
> Untergruppen U(G) von G. Diese mußt Du zunächst bestimmen,
ist die Menge M in diesem Fall dann [mm] Sym_{n} [/mm] mit n [mm] \le [/mm] 3 ?
> dann für jede Untergruppe U die Bahn [mm]G \* U = \{\varphi(g,U) | g \in G\}[/mm]
> und dann erhältst Du die Menge aller Bahnen bzw.
> Äquivalenzklassen [mm]G \* U(G)[/mm].
muss ich das dann für jede Gruppe einzel machen, z.B.
[mm] Sym_{3} [/mm] * [mm] Sym_{2} [/mm] = { g * {1, (1 2)} | g [mm] \in Sym_{3} [/mm] }
und muss ich dann für g ein bestimmtes (beliebiges) Element aus [mm] Sym_{3} [/mm] einsetzen?
Lieber Gruß
Maren
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> wir haben das in der Vorlesung alles ein wenig anders
> aufgeschrieben, vielleicht hab ich das deshalb auch nich so
> richtig verstanden gehabt..
> und zwar:
Ja, das sind die üblichen Definitionen für Äquivalenzrelation und Quotientenmenge bzgl. einer Äquivalenzrelation.
Eine Äquivalenzrelation ist ja einfach nur ein Gleichheitsbegriff. Zwei Elemente werden als gleichwertig erklärt, wenn sie eine bestimmte Eigenschaft erfüllen. Alle bzgl. dieser Relation gleichen Elemente, werden dann in Mengen gepackt, den Äquivalenzklassen, die etwa mit [a] (für ein a [mm] \in [/mm] X) bezeichnet werden können. a heißt dann Repräsentant der Äquivalenzklasse [a]. [a] enthält also alle Elemente x [mm]\in[/mm] X, die zu a in Relation stehen. Die Menge X/~ ist dann die Menge aller dieser Äquivalenzklassen.
Beispiel (ganz einfach): Sei M die Menge aller Schüler auf einer Schule. Sind a, b [mm] \in [/mm] M zwei Schüler, so wird durch
[mm]a \sim b :\gdw[/mm] a geht in dieselbe Schulklasse wie b
eine Äq.relation erklärt. Ist x ein beliebiger Schüler der Schule, so ist
[x] = { a | x [mm] \sim [/mm] a } = { a | x geht in dieselbe Schulklasse wie a } = { m | m ist Mitschüler von x }
die Äquivalenzklasse von x (sie umfaßt die Schulklasse in die x geht), und es ist
[mm] M/\sim [/mm] = { [x] | x [mm] \in [/mm] M } = Menge aller Schulklassen
Da in der Aufgabe von keiner speziellen Äquivalenzrelation die Rede war, habe ich mich an dem Bahnbegriff orientiert.
> hatte da schon vorher geschaut und hab das jetzt so
> einigermaßen verstanden, jedoch versteh ich nicht wie man
> von (132) [mm]\circ[/mm] (32) auf (13) kommt?
Das, was Du geschrieben hast, sieht wie Zyklen einer Permutation aus. Eine Permutation
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
bildet die 1 auf die 3, die 2 auf die 1 und die 3 auf die 2 ab. Eine Verknüpfung sieht z.B. so aus
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 } \circ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2}
[/mm]
1 wird zunächst auf 2 (rechte Permutation) und dann auf 1 (linke Permutation) abgebildet, 2 erst auf 1 und dann 1 auf 3, 3 zunächst auf 3 und dann 2.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 } [/mm] enthält die Zyklen (1 2) und (3), d.h. 1 wird auf 2 und 2 auf 1 bzw. 3 auf 3 abgebildet. [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 } [/mm] enthält den Zyklus (1 3 2).
> > Die Menge M ist in diesem Zusammenhang die Menge alle
> > Untergruppen U(G) von G. Diese mußt Du zunächst bestimmen,
>
> ist die Menge M in diesem Fall dann [mm]Sym_{n}[/mm] mit n [mm]\le[/mm] 3 ?
Nein. U([mm]Sym_3[/mm]) enthält nur 3-elementige Permutationen. Z.B. ist
[mm] \{\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 } \}[/mm]
die triviale Untergruppe von [mm]Sym_3[/mm], die nur das neutrale Element enthält. Eine 3-elementige Untergruppe von [mm]Sym_3[/mm] ist z.B.
[mm] \{\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 }, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 }\}[/mm]
Ich hoffe, die Zusammenhänge sind Dir jetzt klarer.
>
> > dann für jede Untergruppe U die Bahn [mm]G \* U = \{\varphi(g,U) | g \in G\}[/mm]
> > und dann erhältst Du die Menge aller Bahnen bzw.
> > Äquivalenzklassen [mm]G \* U(G)[/mm].
>
> muss ich das dann für jede Gruppe einzeln machen
Ja, für jede Untergruppe U [mm] \in [/mm] U([mm]Sym_3[/mm]). Eine Menge Rechenarbeit, aber leider weiß ich nicht, was Dir alles zur Verfügung steht.
LG
Karsten
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
also das mit den "Matrizen" hab ich auch vorher schon verstanden gehabt, trotzdem vielen Dank. die zyklische Schreibweise von den Permutationen versteh ich jedoch immer noch nicht, ..
> >
> > > dann für jede Untergruppe U die Bahn G [mm] \* [/mm] U = { [mm] \varphi(g,U) [/mm] | g [mm] \in [/mm] G }
> > > und dann erhältst Du die Menge aller Bahnen bzw.
> > > Äquivalenzklassen G * U(G).
> >
> > muss ich das dann für jede Gruppe einzeln machen
>
> Ja, für jede Untergruppe U [mm] \in U(Sym_3). [/mm] Eine Menge
> Rechenarbeit, aber leider weiß ich nicht, was Dir alles zur
> Verfügung steht.
ok, ich hab jetzt für [mm] Sym_{3} [/mm] raus, dass die Menge aller [mm] U(Sym_{3}) [/mm] die Mächtigkeit 6 besitzt, also, dass es in [mm] Sym_{3} [/mm] 6 verschiedene Untergruppen gibt.
jedoch versteh ich immer noch nich so ganz, was ich jetzt mit denen anfangen soll.
G * U = [mm] \{\varphi(g,U) | g \in G\}
[/mm]
würde dass dann z.B. für die Untergruppe U={1, (1 2)} (bei unserer Schreibweise steht die 1 für das neutrale Element/ Identität) heißen:
[mm] Sym_{3} [/mm] * U = { g* {1, (1 2)} | g [mm] \in Sym_{3} [/mm] }
für g = 1 : [mm] Sym_{3} [/mm] * U = { 1 * {1, (1 2)} | 1 [mm] \in Sym_{3} [/mm] } = {1, (1 2)};
für g = (1 2) : [mm] Sym_{3} [/mm] * U = { (1 2) * {1, (1 2)} | (1 2) [mm] \in Sym_{3} [/mm] }= {1 , (1 2)};
für g = (1 3) : [mm] Sym_{3} [/mm] * U = { (1 3) * {1, (1 2)} | (1 3) [mm] \in Sym_{3} [/mm] }= {1, (1 2 3)} (hier weiß ich auch nich wie ich das (1 2)*(1 3) miteinander verrechnen soll..?)
.
.
.
für g = (1 3 2): [mm] Sym_{3} [/mm] * U = { (1 3 2)* {1, (1 2)} | (1 3 2) [mm] \in Sym_{3} [/mm] } = {1, (1 3 2)}
ist das vom Prinzip her richtig?
und was ist dann davon meine Äquivalenzklasse? die Menge die am Schluss raus kommt?
Lieber Gruß
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> die zyklische Schreibweise von den Permutationen versteh ich jedoch immer
> noch nicht, ..
Also: der Zyklus (1 2 3) [mm] \in[/mm] [mm]Sym_3[/mm] bedeutet 1 geht nach 2 über, 2 geht nach 3 über und 3 geht wieder zur 1 zurück ( 1 [mm] \to [/mm] 2 [mm] \to [/mm] 3). Dieser Zyklus ist die Permutation
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }
[/mm]
> ok, ich hab jetzt für [mm]Sym_{3}[/mm] raus, dass die Menge aller
> [mm]U(Sym_{3})[/mm] die Mächtigkeit 6 besitzt, also, dass es in
> [mm]Sym_{3}[/mm] 6 verschiedene Untergruppen gibt.
Woher weißt Du das? Ich weiß erstmal nur, daß die Mächtigkeit von [mm]Sym_{3}[/mm] gleich 3! = 6 ist. [mm]Sym_{3}[/mm] enthält also sechs Permutationen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
Ich weiß nicht, ob ihr den Satz von Lagrange schon hattet. Nach diesem Satz ist die Ordnung einer Untergruppe eine Teiler der Ordnung der Gruppe (Ordnung = Mächtigkeit). Dementsprechend gibt es nur 1-, 2-, 3- und 6-elementige Untergruppen von [mm]Sym_{3}[/mm]. Die einzige 1-elementige und die einzige 6-elementige U-Gruppe von [mm]Sym_{3}[/mm] kennst Du: es sind [mm] \{ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } \} [/mm] und [mm]Sym_{3}[/mm] selbst.
Zur Bestimmung der anderen, halte Dir folgendes vor Augen: [mm]H \subseteq G[/mm] ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn mit [mm]a,b \in H[/mm] auch [mm]ab^{-1} \in H[/mm] liegt.
Für die 2-elementigen Untergruppen von [mm]Sym_{3}[/mm] gilt damit: Ist [mm] H=\{a,b\} \subseteq Sym_3[/mm] eine solche Untergruppe, so ist das neutrale Element [mm]n = \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }[/mm] auf jeden Fall in H enthalten, d.h. entweder a = n oder b = n.
Sei oBdA a=n und b von a verschieden (sonst hätte H ja nur ein Element). Dann muß [mm]ab ^{-1}[/mm] in H liegen, d.h. entweder [mm]nb^{-1} = a = n[/mm] sein oder [mm]nb^{-1} = b[/mm], also [mm]b^{-1} = b[/mm] sein.
Im ersten Fall wäre b=n, da wir aber keine 1-elementige Untergruppe betrachten, entfällt dieser Fall. Im zweiten Fall musst Du nach Permutationen suchen, die zu sich selbst invers sind. Das ist z.B. für [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } [/mm] der Fall, also hat man mit
[mm]\{ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }\} [/mm]
eine 2-elementige Untergruppe gefunden. Die restlichen 4 Permutationen muss man ebenso prüfen. Hinweis: Es gibt noch 2 (also insg. 3) solcher 2-elementiger Untergruppen.
Die 3-elementigen Untergruppen bastelt man sich aus den 2-elementigen zusammen. Zu jeder oben gefundenen 2-elementigen Untergruppe H können wir jetzt eine von vier verbliebenen Permutationen, die nicht in H enthalten ist, zu H hinzunehmen und das Kriterium [mm]x,y \in H \Rightarrow xy^{-1} \in H[/mm] überprüfen. Es gibt also 3 (Untergruppen) * 4 (Restpermutationen) = 12 Fälle zu prüfen.
> jedoch versteh ich immer noch nich so ganz, was ich jetzt
> mit denen anfangen soll.
Okay, wir bestimmen jetzt für jedes U [mm] \in [/mm] U(G) die Bahn. Wir machen das mal für die Untergruppe
[mm]U = \{ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }\} [/mm]
Es ist [mm]Sym_3 \* U = \{g\*U|g \in Sym_3\} = \{\varphi_g(U)|g \in Sym_3\}[/mm]. Wir müssen also für jedes g aus [mm]Sym_3[/mm] den Term [mm] g\*U [/mm] berechnen:
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } \* U = U[/mm]
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } \* U = \{ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }\} = U[/mm]
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 } \* U = \{ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } \} = \{ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 } \} [/mm]
und so weiter mit allen restlichen Permutationen. Die so erhaltenen Mengen sind die Elemente von G*U, also der Bahn von U.
Hat man zu allen gefundenen U jeweils die Bahn ermittelt, ist die Menge der Bahnen G*U(G) die Menge der gesuchten Äquivalenzklassen.
Ist natürlich 'ne Heidenarbeit. Vielleicht weiß auch jemand noch eine kürzere Lösung?
LG
Karsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
> Ich weiß nicht, ob ihr den Satz von Lagrange schon hattet.
> Nach diesem Satz ist die Ordnung einer Untergruppe eine
> Teiler der Ordnung der Gruppe (Ordnung = Mächtigkeit).
> Dementsprechend gibt es nur 1-, 2-, 3- und 6-elementige
> Untergruppen von [mm]Sym_{3}[/mm]. Die einzige 1-elementige und die
> einzige 6-elementige U-Gruppe von [mm]Sym_{3}[/mm] kennst Du: es
> sind [mm]\{ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } \}[/mm] und [mm]Sym_{3}[/mm]
> selbst.
Also ich glaub nich, dass wir diesen Satz von Lagrange schon hatten, aber ich hab in meinem Skript gesehen, dass wir da schonmal alle Untergruppen von [mm] Sym_{3} [/mm] bestimmt hatten.
jedoch haben wir die in zyklischer Schreibweise(?) aufgeschrieben:
[mm] U_{1}= [/mm] {1} ;
[mm] U_{2}= [/mm] {1, (1 2)}; [mm] U_{3}= [/mm] {1, (1 3)}; [mm] U_{4}= [/mm] {1, (2 3)};
[mm] U_{5}= [/mm] {1, (1 2 3), (1 3 2)};
[mm] U_{6}= [/mm] {1, (1 2); (1 3); (2 3); (1 2 3); (1 3 2)} (also = [mm] Sym_{3} [/mm] )
wobei 1 wieder der Identität entspricht.
> Okay, wir bestimmen jetzt für jedes U [mm]\in[/mm] U(G) die Bahn.
> Wir machen das mal für die Untergruppe
>
> [mm]U = \{ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }\}[/mm]
>
> Es ist [mm]Sym_3 \* U = \{g\*U|g \in Sym_3\} = \{\varphi_g(U)|g \in Sym_3\}[/mm].
> Wir müssen also für jedes g aus [mm]Sym_3[/mm] den Term [mm]g\*U[/mm]
> berechnen:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } \* U = U[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } \* U = \{ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }\} = U[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 } \* U = \{ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } \} = \{ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 } \}[/mm]
>
> und so weiter mit allen restlichen Permutationen. Die so
> erhaltenen Mengen sind die Elemente von G*U, also der Bahn
> von U.
>
> Hat man zu allen gefundenen U jeweils die Bahn ermittelt,
> ist die Menge der Bahnen G*U(G) die Menge der gesuchten
> Äquivalenzklassen.
glaub ich hab das so in etwa verstanden, ich werd das jetzt mal analog in "unserer" Schreibweise versuchen..
vielen Dank!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 So 13.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
Hallo,
also ich hab jetzt nochmal von vorne angefangen und bin soweit gekommen:
[mm] Sym_{3} [/mm] ={ {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2}, {3,2,1}}
[mm] U(Sym_{3}) [/mm] = { { }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
die Bahnen sind dann:
[mm] Sym_{3} [/mm] * x = y mit x,y [mm] \in U(Sym_{3}).
[/mm]
Dann würden wegen der Bijektivität der Permutationen {1}, {2}, {3} eine Bahn, {1,2}, {1,3}, {2,3} eine Bahn, {1,2,3} eine Bahn und { } eine Bahn bilden. also gibt es insgesamt 4 Bahnen (= 4 Äquivalenzklassen (?) ).
ist das richtig? und wenn, würde die Begründung ausreichen?
Lieber Gruß Maren
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> Hallo,
>
> also ich hab jetzt nochmal von vorne angefangen und bin
> soweit gekommen:
Hallo,
ich habe nicht alles verfolgt, was im Vorfeld gelaufen ist,
ich gehe jedoch davon aus, daß Du gerade die Elemente von [mm] S_3 [/mm] in Zykelschreibweise suchst und die Untergruppen dieser Gruppe.
> [mm]Sym_{3}[/mm] ={ {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2},
> {3,2,1}}
Daß das so noch nicht stimmen kann, kannst Du daran sehen, daß die identische Abbildung, die, die alles läßt wie es ist, nicht dabei ist. Somit fehlt Dir das wichtigste Element, das neutrale!
Beachte auch:(1,2,3)=(2,3,1)=(3,1,2) (Falls Ihr den Zusammenhang zu den Abbildungen des Dreiecks auf sich hattet: die Drehung um 120°)
ebenso (1,3,2)=(2,1,3)=(3,2,1) (Drehung um 240°).
Aufs Dreieck bezogen fehlen Dir die Spiegelungen, auf die Permutationen bezogen diejenigen, bei denen ein Element fest bleibt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 13.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
..> ich gehe jedoch davon aus, daß Du gerade die Elemente von
> [mm]S_3[/mm] in Zykelschreibweise suchst und die Untergruppen dieser
> Gruppe.
>
> > [mm]Sym_{3}[/mm] ={ {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2},
> > {3,2,1}}
>
> Daß das so noch nicht stimmen kann, kannst Du daran sehen,
> daß die identische Abbildung, die, die alles läßt wie es
> ist, nicht dabei ist. Somit fehlt Dir das wichtigste
> Element, das neutrale!
>
> Beachte auch:(1,2,3)=(2,3,1)=(3,1,2) (Falls Ihr den
> Zusammenhang zu den Abbildungen des Dreiecks auf sich
> hattet: die Drehung um 120°)
>
> ebenso (1,3,2)=(2,1,3)=(3,2,1) (Drehung um 240°).
>
> Aufs Dreieck bezogen fehlen Dir die Spiegelungen, auf die
> Permutationen bezogen diejenigen, bei denen ein Element
> fest bleibt.
also besteht [mm] Sym_{3} [/mm] doch eigentlich aus den Elementen:
[mm] Sym_{3} [/mm] = {1, (1 2), (2 3), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)} (1 steht für die Identität) oder?
die Untergruppen hab ich auch alle schonmal aufgelistet gehabt:
$ [mm] U_{1}= [/mm] $ {1} ;
$ [mm] U_{2}= [/mm] $ {1, (1 2)}; $ [mm] U_{3}= [/mm] $ {1, (1 3)}; $ [mm] U_{4}= [/mm] $ {1, (2 3)};
$ [mm] U_{5}= [/mm] $ {1, (1 2 3), (1 3 2)};
$ [mm] U_{6}= [/mm] $ {1, (1 2); (1 3); (2 3); (1 2 3); (1 3 2)} (also = $ [mm] Sym_{3} [/mm] $ )
aber wenn ich dazu dann die Bahnen berechnen soll ist das total viel zum rumrechnen... geht das denn nich irgendwie einfacher?
Lieber Gruß Maren
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> also besteht [mm]Sym_{3}[/mm] doch eigentlich aus den Elementen:
> [mm]Sym_{3}[/mm] = {1, (1 2), (2 3), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)} (1
> steht für die Identität) oder?
>
> die Untergruppen hab ich auch alle schonmal aufgelistet
> gehabt:
> [mm]U_{1}=[/mm] {1} ;
> [mm]U_{2}=[/mm] {1, (1 2)}; [mm]U_{3}=[/mm] {1, (1 3)}; [mm]U_{4}=[/mm] {1, (2 3)};
> [mm]U_{5}=[/mm] {1, (1 2 3), (1 3 2)};
> [mm]U_{6}=[/mm] {1, (1 2); (1 3); (2 3); (1 2 3); (1 3 2)} (also =
> [mm]Sym_{3}[/mm] )
>
> aber wenn ich dazu dann die Bahnen berechnen soll ist das
> total viel zum rumrechnen... geht das denn nich irgendwie
> einfacher?
Hallo,
[mm] S_3 [/mm] und die Untergruppen sind nun richtig.
Zu den Bahnen kann ich im Moment nichts sagen, da müßte ich mich erstmal einlesen und feststellen, ob damit meine "Orbits" gemeint sind.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 So 13.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
laut Wiki sind Bahnen und Orbits anscheinend das gleiche.
wir haben bis jetzt statts Bahn auch immer Äquivalenzklasse dazu gesagt.
Danke und lieber Gruß
Maren
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> aber wenn ich dazu dann die Bahnen berechnen soll ist das
> total viel zum rumrechnen... geht das denn nich irgendwie
> einfacher?
Hallo,
ich fürchte, daß Du das ausrechnen mußt - es ist auch nicht grundübel, so etwas mal getan zu haben. Vom Prinzip her, meine ich. Nicht, daß ich mich drum reiße...
Ein bißchen kannst Du Dir die Sache erleichtern, indem Du zunächst eine Verknüpfungstafel für [mm] S_3 [/mm] aufstellst. Oder Du verwendest diese.
Du suchst nun also die Bahnen,
die Mengen [mm] S_3*U [/mm] mit [mm] U\in U(S_3).
[/mm]
[mm] S_3*U=\{g*U| g\in S_3\}=\{gUg^{-1}| g\in S_3}.
[/mm]
Mach Dir zunächst klar, welcher Art die Elemente von [mm] S_3*U [/mm] sind:
Es sind Mengen. [mm] S_3*U [/mm] ist eine Menge von Mengen.
Ob Du es richtig gemacht hast, kannst Du ein daran kontrollieren:
Die [mm] S_3*U_i [/mm] sind paarweise elementfremd, und wenn Du anschließend alle vereinigst, muß [mm] U(S_3) [/mm] herauskommen. Ich weiß nicht, ob Ihr das bereits hattet (Partition).
Naja, und wenn Du das im Hinterkopf hast, müßte auch Deine Verzweiflung in Anbetracht der bevorstehenden Rechnerei sinken: immerhin enthält [mm] U(S_3) [/mm] nur 6 Elemente...
Gruß v. Angela
P.S.: Ich finde das fürs erste Semester ziemlich verzwickt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
Hey,
ja ich find das alles auch ganz schön verzwickt.. vor allem, weil wir erst heute die Definition für den Orbit durchgenommen haben (und das auch nur so nebenbei).
aber ich glaub bei mir is jetzt endgültig der Groschen gefallen :)
dank deinem Tipp mit der Gruppentafel ging das mit dem Bahnenberechnen doch schneller als ich dachte.
das mit der Partition hat der Prof bestimmt mal erwähnt, jedoch hat er dabei nicht den Begriff Partition benutzt, ich glaub wir haben das Zerlegung genannt. die Definition dazu war auch wieder etwas seltsam, jedoch hab ich das jetzt auch (dank dir) verstanden! :-D
bin grad ma richtig glücklich, dass bei mir doch noch nich alle Hoffnung verloren ist 
Vielen, vielen Dank!
Lieber Gruß Maren
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