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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:44 Di 01.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
| Aufgabe | 1 Sei G eine Gruppe und g [mm] \in [/mm] G ein festes Element . Zeigen Sie, dass
[mm] Z_{G} [/mm] (g) := { x [mm] \in [/mm] G | gx = xg}
eine Untergruppe von G ist. Man nennt sie den Zentralisator von g in G.
2 Sei G eine Gruppe; U [mm] \subset [/mm] G und V [mm] \subset [/mm] G seien Untergruppen. Beweisen sie, dass deren Vereinigung
U [mm] \cup [/mm] V = {x [mm] \in [/mm] G | x [mm] \in [/mm] U oder x [mm] \in [/mm] V}
fast nie eine Untergruppe von G ist, nämlich nur dann, wenn U [mm] \subset [/mm] V oder V [mm] \subset [/mm] U gilt.
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Hallo,
eigentlich hab ich die Aufgaben beide schon gelöst, nur bin ich noch bissel skeptisch, ob ich die Lösungen "richtig" aufgeschrieben hab. wär lieb wenn einer mal drüber schaut und mir eventuell sagen könnte, was man noch verbessern könnte..
zu 1
Vor.: Sei G Gruppe und g [mm] \in [/mm] G festes Element.
Beh.: [mm] Z_{G} [/mm] (g) := { x [mm] \in [/mm] G | gx = xg} ist Untergruppe von G.
Beweis: Eingeschränkte Multiplikation muss gelten.
Setze [mm] gx_{1}=x_{1}g \in Z_{G} [/mm] und [mm] gx_{2}=x_{2}g \in Z_{G}.
[/mm]
[mm] gx_{1}=x_{1}g
[/mm]
[mm] \gdw x_{1}gx_{1}^{-1} [/mm] = g (da [mm] x_{1}^{-1} \in Z_{G} [/mm] )
und
[mm] gx_{2}=x_{2}g
[/mm]
[mm] \gdw x_{2}gx_{2}^{-1} [/mm] = g (da [mm] x_{2}^{-1} \in Z_{G} [/mm] )
[mm] \Rightarrow x_{1}gx_{1}^{-1} [/mm] = [mm] x_{2}gx_{2}^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1*g = g*1
[mm] \gdw [/mm] g = g
Da 1 [mm] \in [/mm] G neutrales Element von [mm] Z_{G} [/mm] ist, folgt daraus, dass [mm] Z_{G} [/mm] (g) Untergruppe von G ist. [mm] \Box
[/mm]
zu 2
Vor.: Sei G Gruppe; U [mm] \subset [/mm] G und V [mm] \subset [/mm] G seien Untergruppen.
Beh.: U [mm] \cup [/mm] V = {x [mm] \in [/mm] G | x [mm] \in [/mm] U oder x [mm] \in [/mm] V} nur dann Untergruppe von G, wenn U [mm] \subset [/mm] V oder V [mm] \subset [/mm] U gilt.
Beweis: Da U Untergruppe von G ist, gilt aus x,y [mm] \in [/mm] U folgt x*y [mm] \in [/mm] U, jedoch folgt dann x*y [mm] \in [/mm] (U [mm] \cup [/mm] V) nur, wenn U [mm] \subset [/mm] V, da dann auch x*y [mm] \in [/mm] V und somit die eingeschränkte Multiplikation U [mm] \cup [/mm] V zu einer Untergruppe von G macht.
analog zu V [mm] \subset [/mm] U. [mm] \Box
[/mm]
weiterhin hätte ich noch ein Gegenbeispiel, bei dem U [mm] \cup [/mm] V keine Untergruppe von G ist und bei dem U keine Teilmenge von V ( und V keine Teilmenge von U) ist. aber das wird in der Aufgabe nicht verlangt, oder doch?
vielen Dank schon mal im Voraus!!
Lieber Gruß
Maren
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite in einem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Di 01.05.2007 | | Autor: | komduck |
Du mußt zeigen:
a) e [mm] \in Z_{G}(g) [/mm] $
b) wenn $ x [mm] \in Z_{G} [/mm] (g) $ dann auch $ [mm] x^{-1} \in Z_{G}(g) [/mm] $
c) wenn $ x [mm] \in Z_{G} [/mm] (g) $ und $y [mm] \in Z_{G} [/mm] (g) $ dann auch $ xy [mm] \in Z_{G}(g) [/mm] $
a) :
weil eg = g = ge folgt $ e [mm] \in Z_{G}(g) [/mm] $
b):
das kannst du machen
c) :
(xy)g = x(yg) = x(gy) weil y in [mm] Z_{G}(g) [/mm]
= (xg)y = (gx)y weil x in [mm] Z_{G}(g)
[/mm]
= g(xy)
2)... gilt aus x,y $ [mm] \in [/mm] $ U folgt x*y $ [mm] \in [/mm] $ U,
jedoch folgt dann $ x*y [mm] \in [/mm] (U [mm] \cup [/mm] V) $ nur, wenn U $ [mm] \subset [/mm] $ V
Das ist verwirrend weil $ x*y [mm] \in [/mm] U $ dann ist immer $ x*y [mm] \in [/mm] U [mm] \cup [/mm] V $
Wir müssen verwenden, dass es sich um Gruppen handelt in allgemeinen
Strukturen ist die Aussage falsch. Gegenbeispiel f(x,y) = max(x,y).
Der Beweis geht so:
Seien U,V,U [mm] \cup [/mm] V und nicht U [mm] \subseteq [/mm] V.
Wir zeigen nun V [mm] \subseteq [/mm] U:
sei v [mm] \in [/mm] V und sei u [mm] \in [/mm] U aber u [mm] \not\in [/mm] V
Dann liegen beide in U [mm] \cup [/mm] V also liegt auch
uv [mm] \in [/mm] U [mm] \cup [/mm] V. Liegt uv in V?
Nein. denn weil v [mm] \in [/mm] V ist auch [mm] v^{-1} \in [/mm] V
es wäre dann [mm] uvv^{-1} [/mm] = u [mm] \in [/mm] V. u ist aber laut Vorausezung
nicht in V.
Also uv [mm] \not\in [/mm] V aber weil uv [mm] \in [/mm] U [mm] \cup [/mm] V folgt
uv [mm] \in [/mm] U weil aber u [mm] \in [/mm] U und damit [mm] u^{-1} \in [/mm] U
gilt:
[mm] u^{-1}uv [/mm] = v [mm] \in [/mm] U
und damit ist V [mm] \subseteq [/mm] U
komduck
Ich habe diesen Betrag nachträglich editiert. Maren88 und leduart haben
bemerkt , dass ich an einigen Stellen [mm] Z_{G} [/mm] an Stelle von [mm] Z_{G}(g) [/mm]
geschrieben habe. Ich habe das jetzt korrigiert.
komduck
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Di 01.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
erstmal vielen Dank!
hätte da jedoch noch ne Frage. wann muss ich denn [mm] Z_{G}(g) [/mm] bzw. wann nur [mm] Z_{G} [/mm] schreiben? eigentlich doch überall, weil [mm] Z_{G} [/mm] von g abhängt oder nicht?
Gruß Maren
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Di 01.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast natuerlich recht, man muesste immer [mm] Z_G(g) [/mm] schreiben.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Di 01.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
ok, vielen Dank! 
Gruß Maren
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