Gruppen endlicher Ordnung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Do 22.01.2015 | | Autor: | Nyuu |
| Aufgabe | Ein Element g einer Gruppe G hat endliche Ordnung o(g) = n, falls 0 < [mm] n\in \mathbb{N}
[/mm]
minimal ist mit [mm] g^{n} [/mm] = e, wobei e das neutrale Element in G ist. Bestimmen
Sie in den folgenden Fällen die Elemente endlicher Ordnung :
(1) G = O(2).
(2) G = Isom(X), wobei X die affine euklidische Ebene ist. |
Ich wollte grade (1) lösen, weiss jedoch garnicht wie ich anfangen soll.
Also ich hab nun Eine Gruppe O(2).
Damit ist [mm] G=O(2)=\left\{ \pmat{ \cos\Theta & \pm\sin\Theta \\ \sin\Theta & \pm\cos\Theta }\middle| \Theta\in (-\pi, \pi] \right\}
[/mm]
Ich muss jetzt also zeigen, dass [mm] g^{n}=e [/mm] ist.
soll ich dann einfach [mm] \pmat{ \cos\Theta & \pm\sin\Theta \\ \sin\Theta & \pm\cos\Theta}^n
[/mm]
betrachten?
Das kann ich ja nicht einfach so ausrechnen.
Kann mir jemand einen Ansatz liefern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Do 22.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ein Element g einer Gruppe G hat endliche Ordnung o(g) = n,
> falls 0 < [mm]n\in \mathbb{N}[/mm]
> minimal ist mit [mm]g^{n}[/mm] = e, wobei
> e das neutrale Element in G ist. Bestimmen
> Sie in den folgenden Fällen die Elemente endlicher
> Ordnung :
>
> (1) G = O(2).
> (2) G = Isom(X), wobei X die affine euklidische Ebene
> ist.
> Ich wollte grade (1) lösen, weiss jedoch garnicht wie ich
> anfangen soll.
>
> Also ich hab nun Eine Gruppe O(2).
>
> Damit ist [mm]G=O(2)=\left\{ \pmat{ \cos\Theta & \pm\sin\Theta \\ \sin\Theta & \pm\cos\Theta }\middle| \Theta\in (-\pi, \pi] \right\}[/mm]
>
> Ich muss jetzt also zeigen, dass [mm]g^{n}=e[/mm] ist.
Nein. Ist A [mm] \in [/mm] O(2), so sollst Du feststellen, ob es ein n [mm] \in \IN [/mm] gibt mit
[mm] A^n=E [/mm] (E ist die 2x2- Einheitsmatrix).
Ist das der Fall, so ist A ein Element endlicher Ordnung.
>
>
> soll ich dann einfach [mm]\pmat{ \cos\Theta & \pm\sin\Theta \\ \sin\Theta & \pm\cos\Theta}^n[/mm]
>
> betrachten?
Es kann nicht schaden, solche Potenzen mal für n=2,3,4 auszurechnen.
FRED
>
> Das kann ich ja nicht einfach so ausrechnen.
>
> Kann mir jemand einen Ansatz liefern?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Do 22.01.2015 | | Autor: | Nyuu |
Hey vielen dank erstmal Fred :)
Damit bekomme ich dann:
[mm] \pmat{ \cos\Theta & -\sin\Theta \\ \sin\Theta & -\cos\Theta}^2 [/mm]
= [mm] \pmat{ \cos^2\Theta - \sin^2\Theta & -\sin\Theta\cdot \cos\Theta -\sin\Theta\cdot \cos\Theta \\ \sin\Theta \cos\Theta + \cos\Theta \sin\Theta & -\sin^2\Theta + \cos^2\Theta}
[/mm]
= [mm] \pmat{ \cos(2\Theta) & -\sin(2\Theta) \\ \sin(2\Theta) & \cos(2\Theta)}
[/mm]
[mm] \pmat{ \cos\Theta & \sin\Theta \\ \sin\Theta & -\cos\Theta}^3 [/mm] = [mm] \pmat{ \cos(2\Theta) & -\sin(2\Theta) \\ \sin(2\Theta) & \cos(2\Theta)}\cdot \pmat{ \cos\Theta & \sin\Theta \\ \sin\Theta & -\cos\Theta}
[/mm]
= [mm] \pmat{ \cos(3\Theta) & -\sin(3\Theta) \\ \sin(3\Theta) & \cos(3\Theta)}
[/mm]
Also wird wohl für:
[mm] \pmat{ \cos\Theta & \sin\Theta \\ \sin\Theta & -\cos\Theta}^n [/mm] = [mm] \pmat{ \cos(n\Theta) & -\sin(n\Theta) \\ \sin(n\Theta) & \cos(n\Theta)}
[/mm]
gelten.
Muss man das dann per Induktion beweisen?
IV: [mm] \pmat{ \cos\Theta & \sin\Theta \\ \sin\Theta & -\cos\Theta}^n [/mm] = [mm] \pmat{ \cos(n\Theta) & -\sin(n\Theta) \\ \sin(n\Theta) & \cos(n\Theta)}
[/mm]
IA: n=1 ist klar
IS: [mm] n\to [/mm] n+1
[mm] \pmat{ \cos\Theta & \sin\Theta \\ \sin\Theta & -\cos\Theta}^{n+1} [/mm] = [mm] \pmat{ \cos\Theta & \sin\Theta \\ \sin\Theta & -\cos\Theta}^n \cdot \pmat{ \cos\Theta & \sin\Theta \\ \sin\Theta & -\cos\Theta}
[/mm]
[mm] \overset{\text{nach IV}}{=} \pmat{ \cos(n\Theta) & -\sin(n\Theta) \\ \sin(n\Theta) & \cos(n\Theta)} \cdot \pmat{ \cos\Theta & \sin\Theta \\ \sin\Theta & -\cos\Theta}
[/mm]
= [mm] \pmat{ \cos(n+1\Theta) & -\sin(n+1\Theta) \\ \sin(n+1\Theta) & \cos(n+1\Theta)}
[/mm]
Wahrscheinlich hab ich mich oben irgendwo verschrieben.
Aber in etwa so sieht es aus.
Damit die Einheitsmatrix heraus kommt muss:
[mm] cos(n\Theta)= [/mm] 1 und [mm] sin(n\Theta)=0 [/mm] gelten
[mm] \Leftrightarrow n\Theta =k\cdot 2\pi\,\,\, k\in \mathbb{Z}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \Theta= \frac{k\cdot2\pi}{n}\,\,\, k\in \mathbb{Z}
[/mm]
Also gilt es für die Menge [mm] M:=\left\{\Theta\middle| \Theta= \frac{k\cdot2\pi}{n}\,\,\, k\in \mathbb{Z} \right\}
[/mm]
Dann wäre ich bei (2):
G=Isom(X).
Also Isometrien sind ja Abbildungen [mm] \varphi(X): X\to [/mm] X, wobei:
[mm] d(\varphi(x), \varphi(y) [/mm] = d(x,y)
Zu zeigen wäre dann, dass:
[mm] \varphi^n [/mm] = identität ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Do 22.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Nyuu,
du solltest bei
$ [mm] \pmat{ \cos((n+1)\Theta) & -\sin((n+1)\Theta) \\ \sin((n+1)\Theta) & \cos((n+1)\Theta)} [/mm] $
die Klammern nicht vergessen!
Außerdem muss es
$ [mm] \pmat{ \cos\Theta & -\sin\Theta \\ \sin\Theta & \cos\Theta}^2 [/mm] $
heißen.
Die Induktion ist aber offensichtlich richtig.
Zur Isometrie: In deiner Aufgabenstellung steht, dass $X$ die affine euklidische Ebene ist. Damit gibt es gar nicht "so viele" Möglichkeiten wie [mm] $\varphi\in [/mm] Isom(X)$ aussehen kann. Es kann entweder Identität, Verschiebung, Spiegelung, Drehung oder Gleitspiegelung sein. Ich würde die Fälle einfach durchgehen und schauen, welche Elemente endliche Ordnung haben.
LG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Do 22.01.2015 | | Autor: | Nyuu |
> Zur Isometrie: In deiner Aufgabenstellung steht, dass [mm]X[/mm] die
> affine euklidische Ebene ist. Damit gibt es gar nicht "so
> viele" Möglichkeiten wie [mm]\varphi\in Isom(X)[/mm] aussehen kann.
> Es kann entweder Identität, Verschiebung, Spiegelung,
> Drehung oder Gleitspiegelung sein. Ich würde die Fälle
> einfach durchgehen und schauen, welche Elemente endliche
> Ordnung haben.
>
> LG
> Ladon
>
Okay dann probiere ich das mal, ich bin mir aber nicht so ganz sicher ob ich das darauf bezogen richtig verstehe.
Wenn [mm] \varphi\in [/mm] Isom(X) die identität ist, dann müsste doch die Identität die Ordnung 1 haben oder nicht?
Denn es gilt [mm] id^1= [/mm] id, es passiert nichts mit dem element, es ist also eine neutrale abbildung oder ein neutrales element wenn man so will.
Das gilt natürlich auch für [mm] id^n= id\circ [/mm] id [mm] ...\circ [/mm] id, aber n=1 ist eben das minimalste [mm] n\in \mathbb{N} [/mm] wie in der Aufgabe gefordert oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Do 22.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Zur Isometrie: In deiner Aufgabenstellung steht, dass [mm]X[/mm] die
> > affine euklidische Ebene ist. Damit gibt es gar nicht "so
> > viele" Möglichkeiten wie [mm]\varphi\in Isom(X)[/mm] aussehen kann.
> > Es kann entweder Identität, Verschiebung, Spiegelung,
> > Drehung oder Gleitspiegelung sein. Ich würde die Fälle
> > einfach durchgehen und schauen, welche Elemente endliche
> > Ordnung haben.
> >
> > LG
> > Ladon
> >
>
> Okay dann probiere ich das mal, ich bin mir aber nicht so
> ganz sicher ob ich das darauf bezogen richtig verstehe.
>
> Wenn [mm]\varphi\in[/mm] Isom(X) die identität ist, dann müsste
> doch die Identität die Ordnung 1 haben oder nicht?
Ja
>
> Denn es gilt [mm]id^1=[/mm] id, es passiert nichts mit dem element,
> es ist also eine neutrale abbildung oder ein neutrales
> element wenn man so will.
> Das gilt natürlich auch für [mm]id^n= id\circ[/mm] id [mm]...\circ[/mm]
> id, aber n=1 ist eben das minimalste [mm]n\in \mathbb{N}[/mm] wie in
> der Aufgabe gefordert oder sehe ich das falsch?
Du siehst das richtig.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Do 22.01.2015 | | Autor: | Nyuu |
Okay, dann als nächstes Gleitspieglung:
Sei also [mm] \varphi\in [/mm] Isom(X) eine Gleitspielgung, dann gilt:
[mm] \varphi [/mm] = [mm] \tau \circ \sigma, [/mm] wobei wir [mm] \tau [/mm] immer als translation und [mm] \sigma [/mm] als spieglung definiert haben.
Rein intuitiv würde ich sagen, dass man ja eine Gleitspieglung mindestens zweimal durchführen muss, einmal weg und dann halt wieder zurück.
Also:
[mm] \varphi^2 [/mm] = [mm] (\tau \circ \sigma )\circ (\tau \circ \sigma) \overset{\text{wegen Gleitspielgung}}{=} (\tau \circ \sigma )\circ(\sigma \circ \tau) [/mm] = [mm] \tau \circ \sigma^2 \circ \tau [/mm] = [mm] \tau \circ \tau [/mm] = [mm] \tau^2
[/mm]
Mh ganz überzeugt bin ich da noch nicht. Ich dachte mir jetzt einfach, dass ich erst verschiebe, dann spiegel, dann wieder zurück spiegel und dann wieder verschiebe.
Affine Spieglung geht ja bereits nach Aufgabenteil 2, dass war ja die Spielgungsmatrix. Die hat also Ordnung 2
Translation:
Hier weiss ich irgendwie kein anfang :/
Wie macht man das mit translationen? Ich kann doch im falle
[mm] \varphi= t_n [/mm] unendlich oft verschieben oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Do 22.01.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Okay, dann als nächstes Gleitspieglung:
>
> Sei also [mm]\varphi\in[/mm] Isom(X) eine Gleitspielgung, dann
> gilt:
>
> [mm]\varphi[/mm] = [mm]\tau \circ \sigma,[/mm] wobei wir [mm]\tau[/mm] immer als
> translation und [mm]\sigma[/mm] als spieglung definiert haben.
>
> Rein intuitiv würde ich sagen, dass man ja eine
> Gleitspieglung mindestens zweimal durchführen muss, einmal
> weg und dann halt wieder zurück.
Den Satz verstehe ich so nicht, man kann eine Gleitspiegelung auch einmal ausführen.
> Also:
>
> [mm]\varphi^2[/mm] = [mm](\tau \circ \sigma )\circ (\tau \circ \sigma) \overset{\text{wegen Gleitspielgung}}{=} (\tau \circ \sigma )\circ(\sigma \circ \tau)[/mm]
> = [mm]\tau \circ \sigma^2 \circ \tau[/mm] = [mm]\tau \circ \tau[/mm] =
> [mm]\tau^2[/mm]
>
> Mh ganz überzeugt bin ich da noch nicht. Ich dachte mir
> jetzt einfach, dass ich erst verschiebe, dann spiegel, dann
> wieder zurück spiegel und dann wieder verschiebe.
Es ist doch immer noch so, daß die Elemente endlicher Ordnung gesucht werden, oder? Ist dir klar, wie eine einzelne Schubspiegelung aussieht? Und was passiert, wenn ich sie des öfteren hintereinander ausführe? Wenn nicht, kannst du ein Strichmännchen und eine Gerade zeichnen und ein paarmal hintereinander die Figur längs der Geraden gleitspiegeln.
> Affine Spieglung geht ja bereits nach Aufgabenteil 2, dass
> war ja die Spielgungsmatrix. Die hat also Ordnung 2
>
> Translation:
>
> Hier weiss ich irgendwie kein anfang :/
> Wie macht man das mit translationen? Ich kann doch im
> falle
>
> [mm]\varphi= t_n[/mm] unendlich oft verschieben oder nicht?
Eben! Und nach wieviel Malen landest du bei der Identität?
Gruß aus HH
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Do 22.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Versuch mal zu zeigen, dass die Gleitspiegelung und die Translation keine endliche Ordnung hat! Einen Ansatz mit [mm] (\sigma\circ\tau)^2=\tau^2 [/mm] hast du ja schon. Was bedeutet das anschaulich? (statler hat dir schon den Tipp gegeben das ganze mal aufzumalen!) Wenn [mm] \tau [/mm] eine Translation um einen Vektor $v$ ist, um welchen Vektor verschiebt [mm] \tau^2 [/mm] alle Punkte der Ebene? Berechne noch mal [mm] (\sigma\circ\tau)^3, (\sigma\circ\tau)^4,.... [/mm] Was fällt dir auf?
LG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Do 22.01.2015 | | Autor: | Nyuu |
> Versuch mal zu zeigen, dass die Gleitspiegelung und die
> Translation keine endliche Ordnung hat! Einen Ansatz mit
> [mm](\sigma\circ\tau)^2=\tau^2[/mm] hast du ja schon. Was bedeutet
> das anschaulich? (statler hat dir schon den Tipp gegeben
Also die Gleitspieglung ist ja nichts anderes, als das ich eine Figur (oder was auch immer) erst verschiebe und dann anhand der graden spiegle. Anhand des Strichmännchenbsp. wäre das Strichmänchen wieder auf der gleichen seite wie zuvor, nur eben zweimal um den faktor der translation verschoben.
Und genau das beudetet [mm] (\sigma\circ\tau)^2=\tau^2 [/mm] für mich anschaulich.
Die zweimalige ausführung der gleitspieglung ist also nichts anderes, als das ich die figur einfach zweimal um den Faktor der Translation verschiebe, da sich die Spieglung ja sozusagen wieder "aufhebt".
> das ganze mal aufzumalen!) Wenn [mm]\tau[/mm] eine Translation um
> einen Vektor [mm]v[/mm] ist, um welchen Vektor verschiebt [mm]\tau^2[/mm]
> alle Punkte der Ebene?
[mm] \tau^2 [/mm] verhschiebt alle Punkte der Ebene um den Vektor [mm] v^2
[/mm]
> Berechne noch mal [mm](\sigma\circ\tau)^3, (\sigma\circ\tau)^4,....[/mm] Was fällt
> dir auf?
>
> LG
> Ladon
[mm] (\sigma\circ\tau)^3 [/mm] = [mm] (\sigma\circ\tau)\circ (\sigma\circ\tau) \circ (\sigma\circ\tau) [/mm] = [mm] (\tau\circ\sigma) \circ (\sigma\circ\tau)\circ (\sigma\circ\tau) [/mm] = [mm] (\tau \circ \sigma^2 \circ \tau) \circ (\sigma \circ \tau) [/mm] = [mm] \tau^2 \circ (\sigma \circ \tau) [/mm] = [mm] \tau^3 \circ \sigma
[/mm]
[mm] (\sigma\circ\tau)^4 [/mm] = [mm] (\sigma\circ\tau)^3 \circ (\sigma\circ\tau) [/mm] = [mm] (\tau^3 \circ \sigma) \circ (\sigma\circ\tau) [/mm] = [mm] \tau^4 [/mm]
Also für ungrade zahlen muss ich das Translatiete "Objekt" noch einmal spiegeln.
Bei graden anzahlen wie
$ [mm] (\sigma\circ\tau)^2=\tau^2 [/mm] $ muss ich das nicht.
Sprich wenn ich einen Punkt mittels [mm] (\sigma\circ\tau)^2 [/mm] gleitspiegle, dann erhalte ich genau den selben punkt wieder nur an einer anderen stelle.
Der Punkt wurde um den vektor [mm] v^2 [/mm] verschoben, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Do 22.01.2015 | | Autor: | Ladon |
> > Versuch mal zu zeigen, dass die Gleitspiegelung und die
> > Translation keine endliche Ordnung hat! Einen Ansatz mit
> > [mm](\sigma\circ\tau)^2=\tau^2[/mm] hast du ja schon. Was bedeutet
> > das anschaulich? (statler hat dir schon den Tipp gegeben
>
> Also die Gleitspieglung ist ja nichts anderes, als das ich
> eine Figur (oder was auch immer) erst verschiebe und dann
> anhand der graden spiegle. Anhand des Strichmännchenbsp.
> wäre das Strichmänchen wieder auf der gleichen seite wie
> zuvor, nur eben zweimal um den faktor der translation
> verschoben.
>
> Und genau das beudetet [mm](\sigma\circ\tau)^2=\tau^2[/mm] für mich
> anschaulich.
> Die zweimalige ausführung der gleitspieglung ist also
> nichts anderes, als das ich die figur einfach zweimal um
> den Faktor der Translation verschiebe, da sich die
> Spieglung ja sozusagen wieder "aufhebt".
Das ist korrekt. 
>
> > das ganze mal aufzumalen!) Wenn [mm]\tau[/mm] eine Translation um
> > einen Vektor [mm]v[/mm] ist, um welchen Vektor verschiebt [mm]\tau^2[/mm]
> > alle Punkte der Ebene?
>
> [mm]\tau^2[/mm] verhschiebt alle Punkte der Ebene um den Vektor [mm]v^2[/mm]
Das passt nicht zu deiner Anschauung! Bedenke das [mm] v^2=v\cdot v\in\IK [/mm] kein Vektor mehr ist.
>
>
> > Berechne noch mal [mm](\sigma\circ\tau)^3, (\sigma\circ\tau)^4,....[/mm]
> Was fällt
> > dir auf?
> >
> > LG
> > Ladon
>
> [mm](\sigma\circ\tau)^3[/mm] = [mm](\sigma\circ\tau)\circ (\sigma\circ\tau) \circ (\sigma\circ\tau)[/mm]
> = [mm](\tau\circ\sigma) \circ (\sigma\circ\tau)\circ (\sigma\circ\tau)[/mm]
> = [mm](\tau \circ \sigma^2 \circ \tau) \circ (\sigma \circ \tau)[/mm]
> = [mm]\tau^2 \circ (\sigma \circ \tau)[/mm] = [mm]\tau^3 \circ \sigma[/mm]
>
>
> [mm](\sigma\circ\tau)^4[/mm] = [mm](\sigma\circ\tau)^3 \circ (\sigma\circ\tau)[/mm]
> = [mm](\tau^3 \circ \sigma) \circ (\sigma\circ\tau)[/mm] = [mm]\tau^4[/mm]
>
> Also für ungrade zahlen muss ich das Translatiete "Objekt"
> noch einmal spiegeln.
>
> Bei graden anzahlen wie
> [mm](\sigma\circ\tau)^2=\tau^2[/mm] muss ich das nicht.
>
Bis hierhin alles in Ordnung.
> Sprich wenn ich einen Punkt mittels [mm](\sigma\circ\tau)^2[/mm]
> gleitspiegle, dann erhalte ich genau den selben punkt
> wieder nur an einer anderen stelle.
> Der Punkt wurde um den vektor [mm]v^2[/mm] verschoben, oder?
Das ist falsch. (siehe oben) Um welchen Vektor wird verschoben, wenn du zweimal um den Vektor $v$ verschiebst?
Danach würde ich deine Erkenntnis mal für [mm] (\sigma\circ\tau)^n [/mm] induktiv formulieren und zeigen, dass es keine endliche Ordnung haben kann.
LG
Ladon
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Do 22.01.2015 | | Autor: | Nyuu |
> > > Versuch mal zu zeigen, dass die Gleitspiegelung und die
> > > Translation keine endliche Ordnung hat! Einen Ansatz mit
> > > [mm](\sigma\circ\tau)^2=\tau^2[/mm] hast du ja schon. Was bedeutet
> > > das anschaulich? (statler hat dir schon den Tipp gegeben
> >
> > Also die Gleitspieglung ist ja nichts anderes, als das ich
> > eine Figur (oder was auch immer) erst verschiebe und dann
> > anhand der graden spiegle. Anhand des Strichmännchenbsp.
> > wäre das Strichmänchen wieder auf der gleichen seite wie
> > zuvor, nur eben zweimal um den faktor der translation
> > verschoben.
> >
> > Und genau das beudetet [mm](\sigma\circ\tau)^2=\tau^2[/mm] für mich
> > anschaulich.
> > Die zweimalige ausführung der gleitspieglung ist also
> > nichts anderes, als das ich die figur einfach zweimal um
> > den Faktor der Translation verschiebe, da sich die
> > Spieglung ja sozusagen wieder "aufhebt".
>
> Das ist korrekt.
>
>
>
> >
> > > das ganze mal aufzumalen!) Wenn [mm]\tau[/mm] eine Translation um
> > > einen Vektor [mm]v[/mm] ist, um welchen Vektor verschiebt [mm]\tau^2[/mm]
> > > alle Punkte der Ebene?
> >
> > [mm]\tau^2[/mm] verhschiebt alle Punkte der Ebene um den Vektor [mm]v^2[/mm]
>
> Das passt nicht zu deiner Anschauung! Bedenke das
> [mm]v^2=v\cdot v\in\IK[/mm] kein Vektor mehr ist.
>
>
> >
> >
> > > Berechne noch mal [mm](\sigma\circ\tau)^3, (\sigma\circ\tau)^4,....[/mm]
> > Was fällt
> > > dir auf?
> > >
> > > LG
> > > Ladon
> >
> > [mm](\sigma\circ\tau)^3[/mm] = [mm](\sigma\circ\tau)\circ (\sigma\circ\tau) \circ (\sigma\circ\tau)[/mm]
> > = [mm](\tau\circ\sigma) \circ (\sigma\circ\tau)\circ (\sigma\circ\tau)[/mm]
> > = [mm](\tau \circ \sigma^2 \circ \tau) \circ (\sigma \circ \tau)[/mm]
> > = [mm]\tau^2 \circ (\sigma \circ \tau)[/mm] = [mm]\tau^3 \circ \sigma[/mm]
>
> >
> >
> > [mm](\sigma\circ\tau)^4[/mm] = [mm](\sigma\circ\tau)^3 \circ (\sigma\circ\tau)[/mm]
> > = [mm](\tau^3 \circ \sigma) \circ (\sigma\circ\tau)[/mm] = [mm]\tau^4[/mm]
> >
> > Also für ungrade zahlen muss ich das Translatiete "Objekt"
> > noch einmal spiegeln.
> >
> > Bei graden anzahlen wie
> > [mm](\sigma\circ\tau)^2=\tau^2[/mm] muss ich das nicht.
> >
>
> Bis hierhin alles in Ordnung.
>
>
>
> > Sprich wenn ich einen Punkt mittels [mm](\sigma\circ\tau)^2[/mm]
> > gleitspiegle, dann erhalte ich genau den selben punkt
> > wieder nur an einer anderen stelle.
> > Der Punkt wurde um den vektor [mm]v^2[/mm] verschoben, oder?
>
> Das ist falsch. (siehe oben) Um welchen Vektor wird
> verschoben, wenn du zweimal um den Vektor [mm]v[/mm] verschiebst?
um den Vektor [mm] 2\cdot [/mm] v
> Danach würde ich deine Erkenntnis mal für
> [mm](\sigma\circ\tau)^n[/mm] induktiv formulieren und zeigen, dass
> es keine endliche Ordnung haben kann.
>
> LG
> Ladon
>
Okay, aber dann müsste ich ja eine Fallunterscheidung nach 2n und 2n-1 machen.
IV: Also für Grade n=2k gilt:
[mm] (\sigma\circ\tau)^{2k}= \tau^{2k} [/mm]
und für ungrade n:= 2k+1 gilt:
[mm] (\sigma\circ\tau)^{2k+1}= \tau^{2k+1}\circ \sigma
[/mm]
IS: Sei n=2k, [mm] n\to [/mm] n+1
zz. [mm] (\sigma\circ\tau)^{2k+2}= \tau^{2k+2}
[/mm]
[mm] (\sigma\circ\tau)^{2k+2}= (\sigma\circ\tau)^{2k}\circ (\sigma\circ\tau)^{2}= \tau^{2k}\circ (\sigma\circ\tau)^{2} [/mm] = [mm] \tau^{2k} \circ (\sigma \circ \tau) \circ (\sigma \circ \tau) [/mm] = [mm] \tau^{2k}\circ \tau^2 [/mm] = [mm] \tau^{2k+1}
[/mm]
Sei n=2k+1, [mm] n\to [/mm] n+1
zz. [mm] (\sigma\circ\tau)^{2k+3}= \tau^{2k+3}\circ \sigma
[/mm]
[mm] (\sigma\circ\tau)^{2k+3}= (\sigma\circ\tau)^{2k+1} \circ (\sigma\circ\tau)^{2} [/mm] = [mm] \tau^{2k+1}\circ \sigma \circ (\sigma\circ\tau)^{2} =\tau^{2k+1}\circ \sigma \circ (\sigma \circ \tau) \circ (\sigma \circ \tau) [/mm] = [mm] \tau^{2k+1}\circ \sigma \circ \tau^2 [/mm] = [mm] \tau^{2k+3} \circ \sigma.
[/mm]
Also kann es offensichtlich für ungerade n eine solche Ordnung nicht geben, da [mm] \sigma [/mm] ja eine spieglung ist. Für grade n gilt $ [mm] (\sigma\circ\tau)^{2k}= \tau^{2k} [/mm] $ , also wird der Vektor um das zweifache des Translationsvektors verschoben, somit gibt es keine solch ein endliches n.
So in etwa?
Und für translation
Sei [mm] \varphi\in [/mm] Isom(X) eine translation, dann gilt:
[mm] \varphi= \tau_n, [/mm]
wegen [mm] \varphi^n [/mm] = [mm] \tau_{n} \circ tau_{n}\circ [/mm] .... [mm] \circ tau_{n} [/mm] = [mm] \tau_{n}^n [/mm] kann es einen solchs endliches n nicht geben.
Denn [mm] \varphi [/mm] wird um das n-fache des vekotors [mm] \tau_n [/mm] verschoben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Do 22.01.2015 | | Autor: | Ladon |
> > Das ist falsch. (siehe oben) Um welchen Vektor wird
> > verschoben, wenn du zweimal um den Vektor [mm]v[/mm] verschiebst?
>
> um den Vektor [mm]2\cdot[/mm] v
Richtig.
>
> > Danach würde ich deine Erkenntnis mal für
> > [mm](\sigma\circ\tau)^n[/mm] induktiv formulieren und zeigen, dass
> > es keine endliche Ordnung haben kann.
> >
> > LG
> > Ladon
> >
>
> Okay, aber dann müsste ich ja eine Fallunterscheidung nach
> 2n und 2n-1 machen.
>
> IV: Also für Grade n=2k gilt:
>
> [mm](\sigma\circ\tau)^{2k}= \tau^{2k}[/mm]
>
> und für ungrade n:= 2k+1 gilt:
>
> [mm](\sigma\circ\tau)^{2k+1}= \tau^{2k+1}\circ \sigma[/mm]
>
> IS: Sei n=2k, [mm]n\to[/mm] n+1
>
> zz. [mm](\sigma\circ\tau)^{2k+2}= \tau^{2k+2}[/mm]
>
> [mm](\sigma\circ\tau)^{2k+2}= (\sigma\circ\tau)^{2k}\circ (\sigma\circ\tau)^{2}= \tau^{2k}\circ (\sigma\circ\tau)^{2}[/mm]
> = [mm]\tau^{2k} \circ (\sigma \circ \tau) \circ (\sigma \circ \tau)[/mm]
> = [mm]\tau^{2k}\circ \tau^2[/mm] = [mm]\tau^{2k+1}[/mm]
>
> Sei n=2k+1, [mm]n\to[/mm] n+1
>
> zz. [mm](\sigma\circ\tau)^{2k+3}= \tau^{2k+3}\circ \sigma[/mm]
>
> [mm](\sigma\circ\tau)^{2k+3}= (\sigma\circ\tau)^{2k+1} \circ (\sigma\circ\tau)^{2}[/mm]
> = [mm]\tau^{2k+1}\circ \sigma \circ (\sigma\circ\tau)^{2} =\tau^{2k+1}\circ \sigma \circ (\sigma \circ \tau) \circ (\sigma \circ \tau)[/mm]
> = [mm]\tau^{2k+1}\circ \sigma \circ \tau^2[/mm] = [mm]\tau^{2k+3} \circ \sigma.[/mm]
>
Die Induktion ist korrekt.
>
> Also kann es offensichtlich für ungerade n eine solche
> Ordnung nicht geben, da [mm]\sigma[/mm] ja eine spieglung ist. Für
> grade n gilt [mm](\sigma\circ\tau)^{2k}= \tau^{2k}[/mm] , also wird
> der Vektor um das zweifache des Translationsvektors
> verschoben, somit gibt es keine solch ein endliches n.
>
> So in etwa?
Nein. Du möchtest zeigen, dass kein [mm] n\in\IN [/mm] existiert, so dass [mm] \varphi^n=id.
[/mm]
Das kannst du aber leicht anhand der durch Induktion erarbeiteten Formeln für beide Fälle ablesen!
>
> Und für translation
>
> Sei [mm]\varphi\in[/mm] Isom(X) eine translation, dann gilt:
>
> [mm]\varphi= \tau_n,[/mm]
>
> wegen [mm]\varphi^n[/mm] = [mm]\tau_{n} \circ tau_{n}\circ[/mm] .... [mm]\circ tau_{n}[/mm]
> = [mm]\tau_{n}^n[/mm] kann es einen solchs endliches n nicht geben.
>
> Denn [mm]\varphi[/mm] wird um das n-fache des vekotors [mm]\tau_n[/mm]
> verschoben?
Ich finde die Wahl von n als Vektor etwas unglücklich, da n bei dir mehrere Bedeutungen hat. Außerdem wird nicht die Abbildung [mm] \varphi [/mm] um das n-fache des Translationsvektors verschoben, sondern jeder Punkt deiner Ebene! Du solltest zudem deine Gedanken etwas mehr formalisieren in der Form [mm] \varphi^n=...=\tau_v^n\neq id\mbox{ }\forall n\in\IN.
[/mm]
LG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Do 22.01.2015 | | Autor: | Nyuu |
Okay dann fehlt mir jetzt nur noch die affine Drehung.
Das ist dann doch auch einfach die Matrix
[mm] A=\pmat{ \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha }
[/mm]
dann ist [mm] cos(2\pi \cdot [/mm] n) = 1 und [mm] \sin(2\pi\cdot [/mm] n) = 0
Also ist die Drehung von der Ordnung 1, solange [mm] \alpha=\frac{2\pi\cdot k}{n} \,\, k,n\in\mathbb{Z} [/mm] ?
Also genauso wie bei der Spieglung auch nur das die Spieglung 2.Ordnung war
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Do 22.01.2015 | | Autor: | Ladon |
> Okay dann fehlt mir jetzt nur noch die affine Drehung.
>
> Das ist dann doch auch einfach die Matrix
>
> [mm]A=\pmat{ \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha }[/mm]
>
Ja. Und ich denke, dass du dich bei der Matrix der Spiegelung oben verrechnet hast. Das ist mir aber nicht aufgefallen, da ich davon ausging, dass du die n-fache Multiplikation einer Drehungsmatrix berechnest. Das, was du oben für die Spiegelung herausbekommst, ist eigentlich das, was du für die Drehung herausbekommen solltest.
Bei der Spiegelung erhälst du ja sofort unter Anwendung von Additionstheoremen
[mm] \pmat{ \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha }^2=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] (Also Ordung 2).
Das, was du oben per Induktion in deinem 2. Beitrag erarbeitet hast, ist eigentlich das Ergebnis der n-fachen Multiplikation der Matrix einer Drehung:
[mm] \pmat{ \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha }^n=\pmat{ \cos(n\Theta) & -\sin(n\Theta) \\ \sin(n\Theta) & \cos(n\Theta)}
[/mm]
LG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Do 22.01.2015 | | Autor: | Nyuu |
Mh bin verwirrt, reicht es dann bei der (1) die spieglungsmatrix und die drehmatrix zu betrachten um O(2) abzudeken?
War die (1) so richtig, oder was muss ich bei (1) alles machen?
Also dann war das doch zu wenig oder?
Ich müsste einmal O^+(2) was eine drehungsmatrix wäre, und O^-(2) was eine spieglungsmatrix wäre betrachten und das sollte doch alles abdecken.
Dann hätte ich zwei von vier fällen bei der (2) direkt abgedeckt.
Oder gilt noch was anderes bei der (1) zu zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:15 Fr 23.01.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Mh bin verwirrt, reicht es dann bei der (1) die
> spieglungsmatrix und die drehmatrix zu betrachten um O(2)
> abzudeken?
Du mußt alle Elemente in O(2) abdecken, da gibt es nur Spiegelungen und Drehungen.
>
> War die (1) so richtig, oder was muss ich bei (1) alles
> machen?
Wenn ich nichts übersehen habe, hast du die Spiegelungen, die ja der einfachere Fall sind, in Teil 1 noch nicht abschließend behandelt.
Gruß aus HH
Dieter
>
> Also dann war das doch zu wenig oder?
>
> Ich müsste einmal O^+(2) was eine drehungsmatrix wäre,
> und O^-(2) was eine spieglungsmatrix wäre betrachten und
> das sollte doch alles abdecken.
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> Dann hätte ich zwei von vier fällen bei der (2) direkt
> abgedeckt.
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> Oder gilt noch was anderes bei der (1) zu zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Fr 23.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Ich wollte eigentlich keine Verwirrung stiften. ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
O(2) ist m.W. die Menge aller orthogonalen 2x2-Matrizen. Man hat
[mm] O^+(2)=\left\{ \pmat{ \cos\Theta & -\sin\Theta \\ \sin\Theta & \cos\Theta }\middle| \Theta\in (-\pi, \pi] \right\}= \{\mbox{Drehungen}\} [/mm] und
[mm] O^-(2)=\left\{ \pmat{ \cos\Theta & \sin\Theta \\ \sin\Theta & -\cos\Theta }\middle| \Theta\in (-\pi, \pi] \right\}=\{ \mbox{Spiegelungen} \}.
[/mm]
Für den linearen Fall der Drehung oder Spiegelung haben wir, wie in meinem obigen Kommentar ausgeführt, die endliche Ordnung gezeigt.
Der affine Fall einer Drehung oder Spiegelung kann sich aber von dem linearen Fall unterscheiden. So kann man eine affine Spiegelung im [mm] \IR^2 [/mm] an einer Geraden [mm] $\mathbb{G}=\langle (1,1)\rangle [/mm] +(0,1)$ formulieren. Hier wäre z.B. die affine (nicht lineare) Spiegelung durch
[mm] \sigma_\mathbb{G}(x_1,x_2)= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }\cdot\left(\vektor{x_1 \\ x_2}-\vektor{0 \\ 1}\right)+\vektor{ 0 \\ 1}
[/mm]
gegeben, da man erst alle Punkte nach unten verschiebt, (linear) spiegelt und dann wieder nach oben verschiebt. Offensichtlich ist die zugehörige lineare Abbildung dann
[mm] \overline {\sigma_G}(x_1,x_2)= \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }\cdot\vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] mit [mm] G=\langle (1,1)\rangle.
[/mm]
Verallgemeinere doch einfach obiges.
Du hast also Recht, dass man den affinen auf den linearen Fall zurückführen kann.
Bei Aufgabe (1) musst du nur zeigen: gewisse Elemente aus $O^+(2)$ haben eine bestimmte endliche Ordnung, die von [mm] \theta [/mm] abhängt und die du Ansatzweise schon in deinem 2. Kommentar festgestellt hast und Elemente aus $O^-(2)$ haben Ordnung 2.
LG
Ladon
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