Gruppen der Ordnung 48 auflösb < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Möchte zeigen, dass alle Gruppen der Ordnung [mm] 48=2^4*3 [/mm] auflösbar sind. Falls die Gruppe nur eine 3-Sylowgruppe und eine 2-Sylowgruppe hat, ist mir klar, wie man es macht. Aber es kann ja sein (nach dem Sylowsatz), dass die die Anzahl der 2-Sylowgruppen [mm] $S_2 \in \{1,3\}$ [/mm] und die Anzahl der 3-sylowgruppe [mm] $S_3 \in \{1,4,16\}$ [/mm] liegt.
Falls es also mehr als eine Sylowuntergruppe gibt, habe ich gehört, dass man mit Gruppenoperation arbeiten soll, G operiert auf der Menge der Sylowgruppen. [mm] $\varphi: [/mm] G [mm] \to [/mm] Sym(M)$ und dann den [mm] Kern$\varphi$ [/mm] betrachten soll. Aber wie genau führt das zur Lösung?
Oder kennt jemand von euch eine einfachere Lösung.
Vielen Dank.
SchlumpfRiese
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Sa 04.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi SchlumpfRiese,
> Möchte zeigen, dass alle Gruppen der Ordnung [mm]48=2^4*3[/mm]
> auflösbar sind. Falls die Gruppe nur eine 3-Sylowgruppe und
> eine 2-Sylowgruppe hat, ist mir klar, wie man es macht.
es genügt sogar, wenn es von einem der beiden typen nur eine gibt.
> Aber es kann ja sein (nach dem Sylowsatz), dass die die
> Anzahl der 2-Sylowgruppen [mm]S_2 \in \{1,3\}[/mm] und die Anzahl
> der 3-sylowgruppe [mm]S_3 \in \{1,4,16\}[/mm] liegt.
> Falls es also mehr als eine Sylowuntergruppe gibt, habe ich
> gehört, dass man mit Gruppenoperation arbeiten soll, G
> operiert auf der Menge der Sylowgruppen. [mm]\varphi: G \to Sym(M)[/mm]
> und dann den Kern[mm]\varphi[/mm] betrachten soll. Aber wie genau
> führt das zur Lösung?
welche eigenschaften haben kerne immer, welche hier hilfreich sein könnte?
bezeiche [mm] $\textrm{Syl}_p(G)$ [/mm] die anzahl der $p$-sylowgruppen in $G$. angenommen es ist [mm] $\textrm{Syl}_2(G) \not= [/mm] 1$. dann definiert $G [mm] \times \textrm{Syl}_2(G) \longrightarrow \textrm{Syl}_2(G); \; [/mm] (g, T) [mm] \longmapsto T^g$ [/mm] eine gruppenoperation und induziert somit einen homomorphismus [mm] $\varphi: [/mm] G [mm] \longrightarrow \textrm{Sym}(\textrm{Syl}_2(G)) \cong S_3$. [/mm] ist dir das soweit klar und kannst du das nachrechnen? was kann man nun über die größe von [mm] $\ker \varphi$ [/mm] aussagen? in wie fern hilft einem das weiter?
probiere mal, wie weit du damit kommst. kannst ja deine rechnung hier zur kontrolle nochmal posten und rückfragen stellen.
grüße
andreas
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Hallo Andreas,
Erstmal vielen Dank. Hat ein wenig gedauert, bis ichs verstanden habe, aber jetzt hab ich's so weit geblickt.
Der Kern ist ja immer Normalteiler, also muss ich doch nur noch zeigen, dass [mm] Ker$\varphi$ [/mm] auflösbar, weil ja $G /Ker [mm] \varphi \stackrel{\sim}{=} U\leq S_3$ [/mm] und [mm] $S_3$ [/mm] auflösbar ist. Also weiß ich doch, dass $|G/Ker [mm] \varphi| \leq [/mm] 6 [mm] \Rightarrow Ker\varphi \geq [/mm] 8$, aber jetzt kann doch [mm] Ker$\varphi$, [/mm] weil es G teilen muss, 8, 16,24 oder 48 Elemente haben.
Kann man vielleicht zeigen, dass die Permutationsdarstellung surjektiv ist?
Viele Grüße
SchlumpfRiese
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Sa 04.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Erstmal vielen Dank. Hat ein wenig gedauert, bis ichs
> verstanden habe, aber jetzt hab ich's so weit geblickt.
gut. so soll es ja laufen. ist ja auch so geadacht, dass du nochmal drüber nachdenken sollst 
> Der Kern ist ja immer Normalteiler, also muss ich doch nur
> noch zeigen, dass Ker[mm]\varphi[/mm] auflösbar, weil ja [mm]G /Ker \varphi \stackrel{\sim}{=} U\leq S_3[/mm]
> und [mm]S_3[/mm] auflösbar ist.
genau. dann kann man verwenden, dass $G$ auflösbar [mm] $\Longleftrightarrow$ [/mm] es gibt einen normalteiler $N [mm] \unlhd [/mm] G$ mit $N$ und $G/N$ auflösbar.
> Also weiß ich doch, dass [mm]|G/Ker \varphi| \leq 6 \Rightarrow Ker\varphi \geq 8[/mm],
> aber jetzt kann doch Ker[mm]\varphi[/mm], weil es G teilen muss, 8,
> 16,24 oder 48 Elemente haben.
ich würde behaupten, dass nur $8$ und $16$ in frage kommen. wie groß muss denn [mm] $\textrm{im} \, \varphi \leq S_3$ [/mm] nach dem sylowsatz mindestens sein?
grüße
andreas
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Im [mm] $\varphi$ [/mm] muss doch mindestens 3 sein, weil die Sylowgruppen konjugiert sind, weil falls [mm] Im$\varphi$ [/mm] nur 2 Elemente hätte, wären die drei 2-Sylowgruppen nicht konjugiert.
Also bleibt nur noch, dass [mm] $Ker\varphi [/mm] = 8 $ oder $ = 16$, welches p Gruppen sind und damit auflösbar.
Damit, ist es ja erledigt.
Vielen Dank. und Grüße
SchlumpfRiese
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