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| Aufgabe | Sei √2 die positive reelle Zahl x mit [mm] x^2 [/mm] = 2
Sei [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] := [mm] {a+b\wurzel{2}|a,b \in \IQ} \subset \IR.
[/mm]
Zeige:
a) [mm] \wurzel{2} \not\in \IQ
[/mm]
b) a + [mm] b\wurzel{2} [/mm] = c + [mm] d\wurzel{2} [/mm] mit a, b, c, d [mm] \in \IQ [/mm] gilt genau dann, wenn a = c, b = d
[mm] c)\IQ(\wurzel{2}) [/mm] ist ein Unterkörper von [mm] \IR [/mm] |
Also ich habe keine Idee wie mann hier ansetzen soll und außerdem verstehe ich gar nicht, was [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] bedeuten soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei √2 die positive reelle Zahl x mit [mm]x^2[/mm] = 2
> Sei [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm] := [mm]{a+b\wurzel{2}|a,b \in \IQ} \subset \IR.[/mm]
>
> Zeige:
> a) [mm]\wurzel{2} \not\in \IQ[/mm]
> b) a + [mm]b\wurzel{2}[/mm] = c +
> [mm]d\wurzel{2}[/mm] mit a, b, c, d [mm]\in \IQ[/mm] gilt genau dann, wenn a
> = c, b = d
> [mm]c)\IQ(\wurzel{2})[/mm] ist ein Unterkörper von [mm]\IR[/mm]
> Also ich habe keine Idee wie mann hier ansetzen soll und
> außerdem verstehe ich gar nicht, was [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm]
> bedeuten soll.
Hallo,
was [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] sein soll, ist ja oben definiert:
[mm] \IQ(\wurzel{2}):= \{a+b\wurzel{2}|a,b \in \IQ\} [/mm] .
Also sind da alle reellen Zahlen drin, die die Gestalt [mm] a+b\wurzel{2} [/mm] haben mit a,b [mm] \in \IQ.
[/mm]
Einige Beispiele von Zahlen, die in [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] sind: [mm] \bruch{1}{2}- 7\wurzel{2}, [/mm] -12 [mm] -\bruch{9}{17}\wurzel{2}, \wurzel{2}, [/mm] -23.
zu a) das wird normalerweise in der Schule gezeigt. Nimm an, [mm] \wurzel{2} [/mm] sei rational, und führe dies zum Widerspruch.
zu b) Nimm an, daß a + [mm]b\wurzel{2}[/mm] = c + [mm]d\wurzel{2}[/mm] und [mm] b\not=d. [/mm] Löse die Gleichung nach [mm] \wurzel{2} [/mm] auf.
zu c) Daß [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist, ist ja klar. Du sollst jetzt zeigen, daß es ein Körper ist. Falls Ihr welche habt, kannst Du Unterkörperkriterien anwenden.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
danke erstmal für die Hilfe.
also bei b) habe ich nach [mm] \wurzel{2} [/mm] aufgelöst und dann steht da:
[mm] \wurzel{3} [/mm] = (c-a)/(b-d)
Dies muss dann ein widerspruch sein, weil man ja [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht durch rationale Zahlen ausdrücken kann, verstehe ich das richtig?
c)also zu Unterkörpern habe ich die Bedingungen, dass 0 und 1 drinliegen müssen, dass es bezüglich Addition, Multiplikation,Invertieren abgeschlossen sein muss, dass für jedes x ein y mit xy=yx=1 existieren muss und es muss noch kommutativ sein.
also, dass 0 und 1 drinliegen ist ja offensichtlich. Aber wie gehe ich weiter vor? muss ich mir dann zwei elemente [mm] (a+b\wurzel{d}) [/mm] und [mm] (c+d\wurzel{2}) [/mm] nehmen und die bedingungen dafür beweisen?
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> Hallo Angela,
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> danke erstmal für die Hilfe.
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> also bei b) habe ich nach [mm]\wurzel{2}[/mm] aufgelöst und dann
> steht da:
> [mm]\wurzel{3}[/mm] = (c-a)/(b-d)
> Dies muss dann ein widerspruch sein, weil man ja
> [mm]\wurzel{2}[/mm] nicht durch rationale Zahlen ausdrücken kann,
> verstehe ich das richtig?
Genau. Also können b und d nicht verschieden sein. Also müssen sie gleich sein, und daraus ergibt sich dann auch die Gleichheit der anderen beiden.
>
> c)also zu Unterkörpern habe ich die Bedingungen, dass 0 und
> 1 drinliegen müssen, dass es bezüglich Addition,
> Multiplikation,Invertieren abgeschlossen sein muss,
![[]](/images/popup.gif) hier stehen die Kriterien nochmal schön.
Mit Kommutativität brauchst Du nichts zu machen, die ergibt sich ja aus der Gültigkeit im Oberkörper.
> also, dass 0 und 1 drinliegen ist ja offensichtlich. Aber
> wie gehe ich weiter vor? muss ich mir dann zwei elemente
> [mm](a+b\wurzel{d})[/mm] und [mm](c+d\wurzel{2})[/mm] nehmen und die
> bedingungen dafür beweisen?
Ja. Für die Abgeschlossenheit addierst du sie bzw. multiplizierst und zeigst, das das, was herauskommt, wieder die passende Gestalt hat.
Die Inversen mußt Du suchen, also berechen und dann zeigen, daß sie die erforderlich Gestalt haben. Für die Addition ist das sehr leicht, für die Multiplikation muß man etwas rechen.
Gruß v. Angela
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Hallo nochmal,
muss leider nochmall fragen.
Also bezüglich Addition habe ich [mm] (a+b\wurzel{2}) [/mm] und [mm] (c+d\wurzel{2}) [/mm] addiert und es kommt dann raus: (a+c) [mm] +(b+d)\wurzel{2}. [/mm] Dies ist dann wohl die passende Gestalt.
Bezüglich Multiplikation:
[mm] (a+b\wurzel{3})*(c+d\wurzel{3}) [/mm] = (ac +2bd) [mm] +(ad+bc)\wurzel{2}. [/mm] Auch passende Form oder?
Und bezüglich des Inversen Elementes für Addition weiss ich nicht weiter. Es hilft wohl nicht, wenn ich einfach [mm] -a-b\wurzel{2} [/mm] nehme?
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> Also bezüglich Addition habe ich [mm](a+b\wurzel{2})[/mm] und
> [mm](c+d\wurzel{2})[/mm] addiert und es kommt dann raus: (a+c)
> [mm]+(b+d)\wurzel{2}.[/mm] Dies ist dann wohl die passende Gestalt.
> Bezüglich Multiplikation:
> [mm](a+b\wurzel{3})*(c+d\wurzel{3})[/mm] = (ac +2bd)
> [mm]+(ad+bc)\wurzel{2}.[/mm] Auch passende Form oder?
hallo,
bis auf das ich die 3 unter der Wurzel irritierend finde, ist alles gut.
>
> Und bezüglich des Inversen Elementes für Addition weiss ich
> nicht weiter. Es hilft wohl nicht, wenn ich einfach
> [mm]-a-b\wurzel{2}[/mm] nehme?
Doch!!! das ist doch das Inverse von [mm] a+b\wurzel{2} [/mm] in [mm] \IR, [/mm] und die bange Frage ist, ob es auch in [mm] \IQ[\wurzel{2}) [/mm] liegt. [mm] -a-b\wurzel{2}=(-a) +(-b)\wurzel{2}, [/mm] also ist's drin.
Alles bestens.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Di 11.11.2008 | | Autor: | Heureka89 |
Alles klar, danke!
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