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| Aufgabe | | Man beweise für eine abelsche Gruppe G: $ [mm] a_{1}*a_{2}*...*a_{n}=a_{\pi(1)}*a_{\pi(2)}*...*a_{\pi(n)}, a_{i} \in [/mm] G, [mm] \pi \in S_{n}. [/mm] $ |
Ich bin mir nicht sicher ob mein Beweis stimmt, wäre nett wenn jemand den Beweis mal durchschaut:
IV: Die Gruppe G ist abelsch.
IA: [mm] a_{1}*a_{2} [/mm] = [mm] a_{\pi(1)}*a_{\pi(2)} [/mm] für [mm] a_{i} \in [/mm] G, [mm] \pi \in S_{n} [/mm] gilt nach IV
IS:
[mm] a_{1}*a_{2}*...*a_{n}=a_{\pi(1)}*a_{\pi(2)}*...*a_{\pi(n)}
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}a_{i} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n+1}a_{\pi(i)}
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n}a_{i}*a_{n+1} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}a_{\pi(i)}*a_{\pi(n+1)}
[/mm]
Einsetzen von IA:
[mm] $\produkt_{i=1}^{n}a_{i}*a_{n+1} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}a_{i}*a_{\pi(n+1)}$
[/mm]
...reicht dies?
Vielen Dank, Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Sa 30.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Julia!
> Man beweise für eine abelsche Gruppe G:
> [mm]a_{1}*a_{2}*...*a_{n}=a_{\pi(1)}*a_{\pi(2)}*...*a_{\pi(n)}, a_{i} \in G, \pi \in S_{n}.[/mm]
>
> Ich bin mir nicht sicher ob mein Beweis stimmt, wäre nett
> wenn jemand den Beweis mal durchschaut:
>
> IV: Die Gruppe G ist abelsch.
>
> IA: [mm]a_{1}*a_{2}[/mm] = [mm]a_{\pi(1)}*a_{\pi(2)}[/mm] für [mm]a_{i} \in[/mm] G,
> [mm]\pi \in S_{n}[/mm] gilt nach IV
>
> IS:
> [mm]a_{1}*a_{2}*...*a_{n}=a_{\pi(1)}*a_{\pi(2)}*...*a_{\pi(n)}[/mm]
Vorsicht! Jetzt ist [mm] $\pi$ [/mm] ein Element aus [mm] $S_{n+1}$ [/mm] und nicht mehr aus [mm] $S_n$. [/mm] Das bedeutet, du kannst die Induktionsvoraussetzung gar nicht anwenden!
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}a_{i}[/mm] =
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}a_{\pi(i)}[/mm]
Das musst du zeigen.
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}a_{i}*a_{n+1}[/mm] =
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}a_{\pi(i)}*a_{\pi(n+1)}[/mm]
>
> Einsetzen von IA:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}a_{i}*a_{n+1} = \produkt_{i=1}^{n}a_{i}*a_{\pi(n+1)}[/mm]
>
> ...reicht dies?
Nein, es ist sogar falsch, da fuer [mm] $\pi \in S_{n+1}$ [/mm] nicht gelten muss [mm] $\{ 1, \dots, n \} [/mm] = [mm] \{ \pi(1), \dots, \pi(n) \}$.
[/mm]
Hattet ihr, dass man jede Permutation als Verkettung von Transpositionen schreiben kann? Damit kannst du es recht einfach beweisen.
LG Felix
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> Vorsicht! Jetzt ist [mm]\pi[/mm] ein Element aus [mm]S_{n+1}[/mm] und nicht
> mehr aus [mm]S_n[/mm]. Das bedeutet, du kannst die
> Induktionsvoraussetzung gar nicht anwenden!
>
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}a_{i}[/mm] =
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}a_{\pi(i)}[/mm]
>
> Das musst du zeigen.
>
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n}a_{i}*a_{n+1}[/mm] =
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n}a_{\pi(i)}*a_{\pi(n+1)}[/mm]
> >
> > Einsetzen von IA:
> >
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n}a_{i}*a_{n+1} = \produkt_{i=1}^{n}a_{i}*a_{\pi(n+1)}[/mm]
>
> >
> > ...reicht dies?
>
> Nein, es ist sogar falsch, da fuer [mm]\pi \in S_{n+1}[/mm] nicht
> gelten muss [mm]\{ 1, \dots, n \} = \{ \pi(1), \dots, \pi(n) \}[/mm].
>
>
> Hattet ihr, dass man jede Permutation als Verkettung von
> Transpositionen schreiben kann? Damit kannst du es recht
> einfach beweisen.
Nein diesen Satz hatten wir leider nicht.
Wir sollen in der Aufgabe von 2 Umordnungen auf endlich viele Umordnungen schließen - als Tipp wurde uns ein Induktions-Beweis empfohlen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Sa 30.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
> > Vorsicht! Jetzt ist [mm]\pi[/mm] ein Element aus [mm]S_{n+1}[/mm] und nicht
> > mehr aus [mm]S_n[/mm]. Das bedeutet, du kannst die
> > Induktionsvoraussetzung gar nicht anwenden!
> >
> > > [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}a_{i}[/mm] =
> > > [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}a_{\pi(i)}[/mm]
> >
> > Das musst du zeigen.
> >
> > > [mm]\produkt_{i=1}^{n}a_{i}*a_{n+1}[/mm] =
> > > [mm]\produkt_{i=1}^{n}a_{\pi(i)}*a_{\pi(n+1)}[/mm]
> > >
> > > Einsetzen von IA:
> > >
> > > [mm]\produkt_{i=1}^{n}a_{i}*a_{n+1} = \produkt_{i=1}^{n}a_{i}*a_{\pi(n+1)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > ...reicht dies?
> >
> > Nein, es ist sogar falsch, da fuer [mm]\pi \in S_{n+1}[/mm] nicht
> > gelten muss [mm]\{ 1, \dots, n \} = \{ \pi(1), \dots, \pi(n) \}[/mm].
>
> >
> >
> > Hattet ihr, dass man jede Permutation als Verkettung von
> > Transpositionen schreiben kann? Damit kannst du es recht
> > einfach beweisen.
>
> Nein diesen Satz hatten wir leider nicht.
>
> Wir sollen in der Aufgabe von 2 Umordnungen auf endlich
> viele Umordnungen schließen - als Tipp wurde uns ein
> Induktions-Beweis empfohlen.
Das geht auch, nur ist dein Induktionsschritt nicht ganz richtig. Genauer gesagt, du hast nur einen Spezialfall bewiesen. Du schriebst:
[mm]\produkt_{i=1}^{n}a_{i}*a_{n+1} = \produkt_{i=1}^{n}a_{\pi(i)}*a_{\pi(n+1)}[/mm]
Wie Felix schon schrieb, stimmt das zunächst mal nur, wenn [mm] $\pi(n+1)=n+1$ [/mm] ist, denn dann ist [mm] $a_{\pi(n+1)}=a_{n+1}$ [/mm] .
(Analog könntest du den Spezialfall [mm] $\pi(1)=1$ [/mm] beweisen:
[mm]\produkt_{i=1}^{n+1}a_{\pi(i)} = a_{\pi(1)}*\produkt_{i=2}^{n+1}a_{\pi(i)} = a_1 * \produkt_{i=2}^{n+1}a_{\pi(i)} [/mm],
und da nach IV [mm] $\produkt_{i=2}^{n+1}a_{\pi(i)} [/mm] = [mm] \produkt_{i=2}^{n+1}a_{i}$ [/mm] ist (ist dir klar, warum das gilt?), folgt die Behauptung.)
Du kannst jetzt versuchen, den allgemeinen Fall auf diesen Spezialfall zurückzuführen. Nimm also an, dass es ein j gibt mit [mm] $\pi(n+1)=j\not=n+1$. [/mm] Tipp: Benutze zuächst die IV, um [mm] $a_{j}$ [/mm] an die zweitletzte Position zu bringen.
Viele Grüße
Rainer
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Ich habe verstanden, welchen Fehler ich gemacht habe:
Durch die Permutatuon weiß ich nicht an welcher Stelle [mm] a_{\pi (i)} [/mm] mit der Wertigkeit [mm] a_{n+1} [/mm] in der Permutation steht und daher kann ich es nicht mit [mm] a_{n+1} [/mm] gleichsetzen
Aber mit dem Tip kann ich nichts anfangen, wenn ich die Spezialfälle beweise kann ich von diesen nicht auf einen allgemeinen Beweis folgern...wie kann ich also möglichst elegant zeigen das bei der Multiplikation die reihenfolge irrelevant ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Mo 01.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
> Ich habe verstanden, welchen Fehler ich gemacht habe:
> Durch die Permutatuon weiß ich nicht an welcher Stelle
> [mm]a_{\pi (i)}[/mm] mit der Wertigkeit [mm]a_{n+1}[/mm] in der Permutation
> steht und daher kann ich es nicht mit [mm]a_{n+1}[/mm] gleichsetzen
Genau.
> Aber mit dem Tip kann ich nichts anfangen, wenn ich die
> Spezialfälle beweise kann ich von diesen nicht auf einen
> allgemeinen Beweis folgern...wie kann ich also möglichst
> elegant zeigen das bei der Multiplikation die reihenfolge
> irrelevant ist?
Ich vermute, du hast folgende Tatsache noch nicht richtig verstanden: die Induktionsvoraussetzung besagt, dass eine beliebige Permutation von n Faktoren zum selben Ergebnis der Multiplikation führt. Dass heisst z.B. dass du in der Gleichung
[mm] \produkt_{i=1}^{n}a_{i}\cdot{}a_{n+1} = \produkt_{i=1}^{n}a_{\pi(i)}\cdot{}a_{\pi(n+1)} [/mm]
die Faktoren des Produkts
[mm] \produkt_{i=1}^{n}a_{\pi(i)} [/mm]
beliebig permutieren darfst. Du kannst also die ersten n Faktoren nach IV so umordnen, dass der letzte dieser n Faktoren gerade [mm] $a_{n+1}$ [/mm] ist, also im gesamten Produkt aus $n+1$ Faktoren an vorletzter Stelle steht.
Da du die Aussage bereits für den Fall, dass [mm] $a_{n+1}$ [/mm] an letzter Stelle steht, bewiesen hast, musst du nur noch den Fall [mm] "$a_{n+1}$ [/mm] steht an vorletzter Stelle" auf den bereits bewiesenen Spezialfall zurückführen.
Viele Grüße
Rainer
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