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| Aufgabe | Es sei [mm] G:=\IR\backslash\{0\}\times\IR=\{(a,x):a\ und\ x\ sind\ reell\ und\ a\not=0\}. [/mm] Auf dieser Menge sei die folgende Verknüpfung definiert:
(a,x)*(b,y):=(ab,ay+x)
Zeigen Sie, dass (G,*) eine Gruppe ist, d.h. zeigen Sie das folgende Bedingungen erfüllt sind:
i)Assoziativität: Für alle (a1,x1),(a2,x2),(a3,x3)ϵG gilt:
(a1,x1)*[(a2,x2)*(a3,x3)]=[(a1,x1)*(a2,x2)]*(a3,x3) |
So wir sollen nun folgendes Beweisen. Ich denke der einfachste Weg ist, ich rechne die linke Seite aus und danach die rechte Seite und am Ende müsste rechts und links dasselbe stehen und somit würde die Assoziativität gelten. Allerdings komm ich nicht weiter.
So für die linke Seite gilt:
(a1,x1)*[(a2,x2)*(a3,x3)]=(a1,x1)*(a2a3,a2x3+x2)
=(a1a2a3,a1a2x3+x2+x1)
Und nun für die rechte Seite:
[(a1,x1)*(a2,x2)]*(a3,x3)=(a1a2,a1x2+x1)*(a3,x3)
=(a1a2a3,a1a2x3+a1x2+x1)
Ich habe es nun schon oft probiert komm aber immer wieder auf dieses Ergebnis, dass beide Seiten nicht gleich sind. Hab ich vielleicht irgendwo nur einen Denkfehler. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Mir ist bewusst, dass es noch andere Bedingungen gibt, damit (G,*) eine Gruppe ist, jedoch geht es mir erst einmal nur um die Assoziativität.
LG Lernender
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> So für die linke Seite gilt:
> (a1,x1)*[(a2,x2)*(a3,x3)]=(a1,x1)*(a2a3,a2x3+x2)
> =(a1a2a3,a1a2x3+x2+x1)
eher
[mm](a_1,x_1)*[(a_2,x_2)*(a_3,x_3)]=(a_1,x_1)*(a_2a_3,a_2x_3+x_2)
=(a_1a_2a_3,a_1(a_2x_3+x_2)+x_1)[/mm]
Analog zur Definition ist
[mm]a=a_1,b=a_2a_3,x=x_1,y=a_2x_3+x_2[/mm]
Klammer setzen!
>
> Und nun für die rechte Seite:
> [(a1,x1)*(a2,x2)]*(a3,x3)=(a1a2,a1x2+x1)*(a3,x3)
> =(a1a2a3,a1a2x3+a1x2+x1)
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