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| Aufgabe | Sei f: G [mm] \rightarrow [/mm] H ein Grp.homo..
Z.z.:
g' [mm] \in [/mm] ker(f) [mm] \circ [/mm] g [mm] \gdw [/mm] f(g)=f(g') |
Hallo,
zuerst mal alles notiert, was ich denke hier zu brauchen, also Eigenschaften über Grp.homo. und Kern.
so nun mal mein Ansatz für " [mm] \Rightarrow":
[/mm]
Vor.:g' [mm] \in [/mm] ker(f) [mm] \circ [/mm] g
ker(f) [mm] \not= [/mm] {}, denn es gilt: [mm] f(e_{G})=e_{H} \Rightarrow e_{G} \in [/mm] ker(f)
1. Annahme: [mm] e_{G} [/mm] ist das einzige Element in ker(f)
[mm] \Rightarrow [/mm] ker(f) [mm] \circ [/mm] g= {g} [mm] \Rightarrow [/mm] ist g' [mm] \in [/mm] {g}, dann g'=g [mm] \Rightarrow [/mm] f(g)=f(g')
2. Annahme: ker(f) besitzt min. ein Element mehr
[mm] \Rightarrow [/mm] ker(f)={.... ; [mm] a;...;e_{G} [/mm] ;...;b;...}
f(g')=f(ker(f)) [mm] \circ [/mm] g) = f(ker(f)) * [mm] f(g)=e_{H} [/mm] * f(g)=f(g)
Stimmt die Richtung so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: G [mm]\rightarrow[/mm] H ein Grp.homo..
> Z.z.:
> g' [mm]\in[/mm] ker(f) [mm]\circ[/mm] g [mm]\gdw[/mm] f(g)=f(g')
> Hallo,
>
> zuerst mal alles notiert, was ich denke hier zu brauchen,
> also Eigenschaften über Grp.homo. und Kern.
>
>
> so nun mal mein Ansatz für " [mm]\Rightarrow":[/mm]
>
> Vor.:g' [mm]\in[/mm] ker(f) [mm]\circ[/mm] g
>
> ker(f) [mm]\not=[/mm] {}, denn es gilt: [mm]f(e_{G})=e_{H} \Rightarrow e_{G} \in[/mm]
> ker(f)
>
> 1. Annahme: [mm]e_{G}[/mm] ist das einzige Element in ker(f)
> [mm]\Rightarrow[/mm] ker(f) [mm]\circ[/mm] g= {g} [mm]\Rightarrow[/mm] ist g' [mm]\in[/mm]
> {g}, dann g'=g [mm]\Rightarrow[/mm] f(g)=f(g')
>
> 2. Annahme: ker(f) besitzt min. ein Element mehr
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ker(f)={.... ; [mm]a;...;e_{G}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
;...;b;...}
>
> f(g')=f(ker(f)) [mm]\circ[/mm] g) = f(ker(f)) * [mm]f(g)=e_{H}[/mm] *
> f(g)=f(g)
>
> Stimmt die Richtung so?
Nein. Du machst das unnötig kompliziert (und chaotisch).
Zu [mm] \Rightarrow [/mm] :
Sei g' $ [mm] \in [/mm] $ ker(f) $ [mm] \circ [/mm] $ g. Dann gibt es ein a [mm] \in [/mm] ker(f) mit: $g'=a [mm] \circ [/mm] g$.
Es folgt: $f(g')=f(a [mm] \circ [/mm] g)=f(a) [mm] \circ [/mm] f(g)= [mm] e_H \circ [/mm] f(g)=f(g)$
Nun probier Du mal die andere Richtung.
FRED
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Ok, ich versuchs mal:
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Vor.: f(g)=f(g')
zu [mm] e_{H} [/mm] ex. Urbilder in G, nämlich diejenigen, die den Kern bilden mit a [mm] \in [/mm] kern(f) folgt [mm] f(a)=e_{H}
[/mm]
[mm] f(g')=f(g)=e_{H} [/mm] * f(g)=f(a) * f(g)= f( a [mm] \circ [/mm] g) [mm] \Rightarrow [/mm] g'= a [mm] \circ [/mm] g
und mit a [mm] \in [/mm] ker(f) folgt daraus g' [mm] \in [/mm] ker(f) [mm] \circ [/mm] g
Richtig so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich versuchs mal:
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm] Vor.: f(g)=f(g')
>
> zu [mm]e_{H}[/mm] ex. Urbilder in G, nämlich diejenigen, die den
> Kern bilden mit a [mm]\in[/mm] kern(f) folgt [mm]f(a)=e_{H}[/mm]
Ja, z.B. [mm] a=e_G. [/mm] Aber was bringt das ?
>
> [mm]f(g')=f(g)=e_{H}[/mm] * f(g)=f(a) * f(g)= f( a [mm]\circ[/mm] g)
> [mm]\Rightarrow[/mm] g'= a [mm]\circ[/mm] g
Die letzte Folgerung ist mir schleierhaft !
>
> und mit a [mm]\in[/mm] ker(f) folgt daraus g' [mm]\in[/mm] ker(f) [mm]\circ[/mm] g
>
> Richtig so?
Nein.
Aus f(g')=f(g) folgt f(g' [mm] \circ g^{-1})=e_H. [/mm] Ist Dir das klar ?
Damit haben wir: g' [mm] \circ g^{-1} \in [/mm] kern(f), also folgt ??
FRED
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so jetzt (hoffentlich) aber: :)
f(g')=f(g)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(g') * [mm] f(g^{-1})= [/mm] f(g) * [mm] f(g^{-1}) [/mm] = f(g' [mm] \circ g^{-1}) [/mm] =f(g [mm] \circ g^{-1}) [/mm] = [mm] f(e_{G}) [/mm] = [mm] e_{H}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g' [mm] \circ g^{-1} \in [/mm] ker(f)
[mm] \Rightarrow [/mm] es ex. ein a [mm] \in [/mm] ker(f) mit g' [mm] \circ g^{-1} [/mm] =a
[mm] \Rightarrow [/mm] g' [mm] \circ g^{-1} \circ [/mm] g = g' =a [mm] \circ [/mm] g
also g' [mm] \in [/mm] ker(f) [mm] \circ [/mm] g
So?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> so jetzt (hoffentlich) aber: :)
leider nein.
>
> f(g')=f(g)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(g') * [mm]f(g^{-1})=[/mm] f(g) * [mm]f(g^{-1})[/mm] = f(g'
> [mm]\circ g^{-1})[/mm] =f(g [mm]\circ g^{-1})[/mm] = [mm]f(e_{G})[/mm] = [mm]e_{H}[/mm]
Was Du da machst ist mir nicht klar. Wo kommt das erste [mm] \Rightarrow [/mm] her ?
Wo verwendest Du f(g')=f(g) ?
Da oben wurde aus g' plötzlich g !! ?
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] g' [mm]\circ g^{-1} \in[/mm] ker(f)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] es ex. ein a [mm]\in[/mm] ker(f) mit g' [mm]\circ g^{-1}[/mm] =a
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] g' [mm]\circ g^{-1} \circ[/mm] g = g' =a [mm]\circ[/mm] g
Das vorletzte "=" ist fehl am Platze !
FRED
> also g' [mm]\in[/mm] ker(f) [mm]\circ[/mm] g
>
> So?
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Ich dachte mir ich nutze f(g)=f(g') in der Art, dass ich beides in H mit [mm] f(g^{-1}) [/mm] verknüpfe, also war für mich dann f(g) * [mm] f(g^{-1}) [/mm] = f(g') * [mm] f(g^{-1})
[/mm]
Stimmt das denn nicht?
Und aufgrund der Grp.homo. eigenschaften habe ich dann so umgeformt>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] f(g') * [mm]f(g^{-1})=[/mm] f(g) * [mm]f(g^{-1})[/mm] = f(g'
> > [mm]\circ g^{-1})[/mm] =f(g [mm]\circ g^{-1})[/mm] = [mm]f(e_{G})[/mm] = [mm]e_{H}[/mm]
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich dachte mir ich nutze f(g)=f(g') in der Art, dass ich
> beides in H mit [mm]f(g^{-1})[/mm] verknüpfe, also war für mich
> dann f(g) * [mm]f(g^{-1})[/mm] = f(g') * [mm]f(g^{-1})[/mm]
>
> Stimmt das denn nicht?
>
> Und aufgrund der Grp.homo. eigenschaften habe ich dann so
> umgeformt>
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] f(g') * [mm]f(g^{-1})=[/mm] f(g) * [mm]f(g^{-1})[/mm] = f(g'
> > > [mm]\circ g^{-1})[/mm] =f(g [mm]\circ g^{-1})[/mm] = [mm]f(e_{G})[/mm] = [mm]e_{H}[/mm]
> >
>
O.K. jetzt hab ich kapiert, wie Du es meinst. Dann ist es in Ordnung. Schreibe es aber bitte etwas klarer auf.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Mo 07.05.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Vielen Dank, ich versuche das in miener Lösung deutlicher herauzustellen. :)
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