Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:40 So 29.05.2011 | | Autor: | Lesbia |
f [mm] \circ [/mm] g = f
Dies trifft nur auf die Identitätsabbildung auf [mm] \IR [/mm] zu.
Nur wie schreibe ich das mathematik korrekt auf:
[mm] id_{R}: \IR \mapsto \IR [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x
Die 2. Frage ist ob die Gruppe (M, [mm] \circ [/mm] ) kommutativ ist.
Das gilt ja, wenn f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f
Bloß, wie beweise ich das genau?
Vielen Dank schonmal
|
|
| |
|
> Sei M die Menge aller bijektiven Abbildungen von [mm]\IR[/mm] nach
> [mm]\IR.[/mm] Die Verkettung zweier bijektiver Abbildungen ist
> wieder bijektiv.
>
> [mm]\circ[/mm] : M [mm]\times[/mm] M [mm]\mapsto[/mm] M, (f [mm]\circ[/mm] g)(x) = f(g(x))
> Gesucht ist das neutrale Element. Das neutrale Element der
> Gruppe muss eine Abbildung g sein, welche diese Eigenschaft
> erfüllt.
>
> f [mm]\circ[/mm] g = f
>
> Dies trifft nur auf die Identitätsabbildung auf [mm]\IR[/mm] zu.
> Nur wie schreibe ich das mathematik korrekt auf:
>
> [mm]id_{R}: \IR \mapsto \IR[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] x
Du willst ja zeigen, dass $f [mm] \circ \mathrm{id}_\IR [/mm] = f = [mm] \mathrm{id}_\IR \circ [/mm] f$ für alle $f [mm] \in [/mm] M$ gilt. Du hast da eine Gleichung von Funktionen stehen. Wann sind zwei Funktionen gleich? - Wenn sie auf allen Punkten im Definitionsbereich übereinstimmen. Also schau Dir am besten mal an, was $(f [mm] \circ \mathrm{id}_\IR)(x)$ [/mm] und [mm] $(\mathrm{id}_\IR \circ [/mm] f)(x)$ jeweils ist.
>
> Die 2. Frage ist ob die Gruppe (M, [mm]\circ[/mm] ) kommutativ ist.
> Das gilt ja, wenn f [mm]\circ[/mm] g = g [mm]\circ[/mm] f
> Bloß, wie beweise ich das genau?
Du wirst feststellen, dass Du es nicht beweisen kannst. Man kann sich zwei Elemente $f,g$ in $M$ definieren, sodass $f [mm] \circ [/mm] g [mm] \neq [/mm] g [mm] \circ [/mm] f$ gilt. Falls Dir das bei den reellen Zahlen als Grundmenge zu unübersichtlich ist, kannst Du das Ganze auch erst mal auf einer Menge mit drei Elementen betrachten: Also als Grundmenge nimmst Du [mm] $X=\{1,2,3\}$ [/mm] und dein [mm] $M_X$ [/mm] sind jetzt alle bijektiven Abbildungen von $X$ nach $X$. Wenn Du in dieser Menge zwei solche $f$ und $g$ gefunden hast, sodass $f [mm] \circ [/mm] g [mm] \neq [/mm] g [mm] \circ [/mm] f$ gilt, kannst Du das ganz schnell auf den Fall [mm] $X=\IR$, [/mm] also wie in der Aufgabe, verallgemeinern.
> Vielen Dank schonmal
>
>
|
|
|
|
