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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Mi 09.02.2011 | | Autor: | sanane |
Also bei folgender Aufgabe habe ich Probleme:
Es seien (G,+) und (G´, *) zwei beliebige Gruppen.
Für H:= GxG´ = { (a,x) | a [mm] \in [/mm] G ^ x [mm] \in [/mm] G´} betrachten wir
folgende Verknüpfung [mm] \circ [/mm] (eigentlich ein quadrat auf einer seite aufgestellt):
für alle (a,x) , (b,x) [mm] \in [/mm] H: (a,x) [mm] \circ [/mm] (b,y):= (a+b, x*y)
so dann habe ich angefangen mit
G1 Abgeschlossenheit: für alle a,b [mm] \in [/mm] G : a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] G
die abgeschlossenheit kann man ja der Definition schon entnehmen da
H ja : G*G´ ist und a [mm] \in [/mm] G oder x [mm] \in [/mm] G´ sein soll.
Wäre das erstmal richtig ?
Dann G2) Assoziativität
((a,x) [mm] \circ [/mm] (b,y)) [mm] \circ [/mm] (c,z) = (a,x) [mm] \circ [/mm] ((b,y) [mm] \circ [/mm] (c,z))
(a+b, x *y) [mm] \circ [/mm] (c,z) = (a,x) [mm] \circ [/mm] (b+c , y*z)
(a+b+c, x*y*z) = (a+b+c, x*y*z)
somit erfüllt.
Wäre das so richtig?
Dann G3 ) Neutrales Element:
So das habe ich irgendwie nicht hingekriegt:
(e,e) [mm] \circ [/mm] (a,x) = (a,x)
(e+a) [mm] \circ [/mm] (e*x) = (a,x)
(0+a) [mm] \circ [/mm] (0*x)= (a,x)
hieraus folgt doch nur dass a [mm] \not= [/mm] (a,x) ist oder... weil wir ja (0*x) stehen haben und x beliebig sein kann ...
das habe ich nicht so ganz verstanden.. wäre super wenn mich jemand aufklären würde.
G4) inveres Element
(a´,x´) [mm] \circ [/mm] (a,x) = (0,0)
(a´+a) [mm] \cic [/mm] (x´*x)= (0,0)
aus (a´+a) folgt dass a=-a´ ist und wenn man das wiederum einsetzt ergibt sich 0 ..
wenn ich jedoch x=1/x´ wieder in (x´*x) einsetze dann kommt da 1 raus...
was mache ich hier falsch ?
g5) kommutativgesetz
(a,x) [mm] \circ [/mm] (b,y) = (b,y) [mm] \circ [/mm] (a,x)
(a+b) [mm] \circ [/mm] (x*y) = (b+a) [mm] \circ [/mm] (y*x)
würde das ausreichen ?
wäre echt froh wenn jemand das korrigieren würde.. ich weiß dass das viel ist :/ ..
aber ich würde es so kurz vor den klausuren gerne mal richtig verstehen :(
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Also bei folgender Aufgabe habe ich Probleme:
>
> Es seien (G,+) und (G´, *) zwei beliebige Gruppen.
>
> Für H:= GxG´ = { (a,x) | a [mm]\in[/mm] G ^ x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G´} betrachten
> wir
>
> folgende Verknüpfung [mm]\circ[/mm] (eigentlich ein quadrat auf
> einer seite aufgestellt):
>
> für alle (a,x) , [mm] (b,\red{y})[/mm] [mm]\in[/mm] H: (a,x) [mm]\circ[/mm] (b,y):= (a+b,
> x*y)
>
> so dann habe ich angefangen mit
>
> G1 Abgeschlossenheit: für alle a,b [mm]\in[/mm] G : a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in[/mm]
> G
>
> die abgeschlossenheit kann man ja der Definition schon
> entnehmen
Hallo,
ja. Deine Formulierung war etwas kraus.
Es reicht hier zu schreiben, daß es abgeschlossen ist, weil G und G' mit ihren jeweiligen Verknüpfungen abgeschlossen sind.
>
> Dann G2) Assoziativität
>
> ((a,x) [mm]\circ[/mm] (b,y)) [mm]\circ[/mm] (c,z) = (a,x) [mm]\circ[/mm] ((b,y) [mm]\circ[/mm]
> (c,z))
>
> (a+b, x *y) [mm]\circ[/mm] (c,z) = (a,x) [mm]\circ[/mm] (b+c , y*z)
>
> [mm] (\red{(}a+b\red{)}\+c, \red{(}x*y\red{)}*z) [/mm] = [mm] (a+\red{(}b+c\red{)}, x*\red{(}y*z\red{)})
[/mm]
>
> somit erfüllt.
>
> Wäre das so richtig?
Mit den eingefügten klammern stimmt es, Du müßtest noch eine Begründung bringen, weshalb die letzte Zeile stimmt.
>
> Dann G3 ) Neutrales Element:
>
> So das habe ich irgendwie nicht hingekriegt:
Vorüberlegung:
Du suchst ein Element [mm] (b,y)\in [/mm] H (also [mm] b\in [/mm] G und [mm] y\in [/mm] G')
so daß für jedes Element [mm] (a,x)\in [/mm] H gilt
(b,y) [mm]\circ[/mm] (a,x) = (a,x)
<==> (b+a, yx)=(a,x).
Also muß für jedes [mm] a\in [/mm] g und für jedes [mm] x\in [/mm] G' gelten, daß
b+a=a und yx=x.
Welche Elemente b und y tun dies?
Was ist also das neutrale Element in H?
Wenn Du es gefunden hast, rechnest Du vor, daß es tut, was es soll.
> G4) inveres Element
Kannst Du erst machen, wenn Du das neutrale hast.
Gruß v. Angela
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Danke erstmal für die ausführliche antwort..
was muss ich denn bei G2 noch begründen .. also was soll ich denn da noch hinschreiben ?!:/
also nochmal zu G3) neutrales element:
b+a=a und yx=x würde ja nur gelten wenn b=0 wäre .. 0+a=a und beim zweiten 1*x=x . .das ist aber bestimmt falsch stimmt? :/ irgendwie komm ich nicht drauf..
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Das doch alles genau richtig gemacht.![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Und jetzt betrachtest du auch dein neutrales Element
(0,1)
Du bist auf dem richtigen Weg! einfaches Rechnen zeigt dir doch, dass [mm] $(a,b)\circ [/mm] (0,1) = (a,b)$ gilt.
Und für das inverse Element kannst du deine Gedanken genauso gehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Do 10.02.2011 | | Autor: | sanane |
okay also zum inversen element habe ich jetzt folgendes aufgeschrieben :
(a´,x´) [mm] \circ [/mm] (a,x) = (0,1)
(a´+a, x´x)=(0,1)
a´+a=0 -> a´=-a
x´x=1 -> x´=1/ x´
einseten:
(-a, 1/x´) [mm] \circ [/mm] (a,x) = (0,1)
somit g4 erfüllt...
stimmt das so ?
und reicht folgendes für G5) kommutativgesetz aus ?:
(a,x) [mm] \circ [/mm] (b,y) = (b,y) [mm] \circ [/mm] (a,x)
(a+b) [mm] \circ [/mm] (xy) = (b+a) [mm] \circ [/mm] (yx)
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> okay also zum inversen element habe ich jetzt folgendes
> aufgeschrieben :
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> (a´,x´) [mm]\circ[/mm] (a,x) = (0,1)
>
> (a´+a, x´x)=(0,1)
>
> a´+a=0 -> a´=-a
>
> x´x=1 -> x´=1/ x´
>
> einseten:
>
> (-a, 1/x´) [mm]\circ[/mm] (a,x) = (0,1)
Ganz genau
>
> somit g4 erfüllt...
Vielleicht solltest du noch erwähnen, dass auch wirklich -a und 1/x jeweils existieren und in der jeweiligen Gruppe liegen.
>
> stimmt das so ?
>
>
> und reicht folgendes für G5) kommutativgesetz aus ?:
>
> (a,x) [mm]\circ[/mm] (b,y) = (b,y) [mm]\circ[/mm] (a,x)
>
> (a+b) [mm]\circ[/mm] (xy) = (b+a) [mm]\circ[/mm] (yx)
Was hast du gemacht?
z.z. [mm](a,x)\circ (b,y)=\ldots =(b,y)\circ (a,x)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Do 10.02.2011 | | Autor: | sanane |
ich komm nicht drauf tut mir leid :(
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Wenn ich dir das jetzt zeige, dann ärgerst du dich. Bist du jetzt schon dafür bereit?
verknüpfe (a,b)*(c,d). Dann kannst du in jeder komponente die gruppeneigenschaft [mm] ($\IN,\IZ$ [/mm] sind abelsch ausnutzen) z.B. (x+y,z)=(y+x,z)
Mehr Geheimnisse gibt es nicht dazu.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Do 10.02.2011 | | Autor: | sanane |
okay ich habe es versucht.. :/
(a,x) [mm] \circ [/mm] (b,y) = (a+b) [mm] \circ [/mm] (xy) = (b+a) [mm] \circ [/mm] (yx)= (b,y) [mm] \circ [/mm] (a,x)
so etwa ?
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Ich hatte den Aufgabentext nicht richtig gelesen:
Es seien (G,+) und (G´, *) zwei beliebige Gruppen. Da steht nichts von Kommutativ.
Das folgende geht nur, falls G und G' selbst kommutativ sind! Im Allgemeinen kann man keine AUssage machen.
> okay ich habe es versucht.. :/
>
> (a,x) [mm]\circ[/mm] (b,y) = (a+b) [mm]\circ[/mm] (xy) = (b+a) [mm]\circ[/mm] (yx)=
> (b,y) [mm]\circ[/mm] (a,x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wie gesagt, du hättest dich geärgert. So geht es natürlich unter der Annahme G und G' sind abelsch.
>
> so etwa ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Do 10.02.2011 | | Autor: | sanane |
trickyyyyyyy.. also hätte in der aufgabenstellung explizit gestanden.. dass G und G´ eine abelsche gruppe jeweils ist dann hätte ich G5 zeigen müssen, habe ich das so richtig verstanden ?
so dann gab es noch ein aufgabenteil b)
Geben Sie die Gruppentafel von (H, [mm] \circ) [/mm] für den Spezialfall an, dass sowohl G als auch G´ die additive Restklassengruppe modulo 2 ist, d.h es gilt:
(G, +) = ( [mm] \IZ [/mm] 2 (kleine zwei) , [mm] \oplus [/mm] ) und (G´, . )= [mm] \IZ [/mm] 2 , [mm] \oplus [/mm] )
wie muss ich hier vorgehen :/
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> trickyyyyyyy.. also hätte in der aufgabenstellung explizit
> gestanden.. dass G und G´ eine abelsche gruppe jeweils ist
> dann hätte ich G5 zeigen müssen, habe ich das so richtig
> verstanden ?
>
> so dann gab es noch ein aufgabenteil b)
>
> Geben Sie die Gruppentafel von (H, [mm]\circ)[/mm] für den
> Spezialfall an, dass sowohl G als auch G´ die additive
> Restklassengruppe modulo 2 ist, d.h es gilt:
>
> (G, +) = ( [mm]\IZ[/mm] 2 (kleine zwei) , [mm]\oplus[/mm] ) und (G´, . )=
> [mm]\IZ[/mm] 2 , [mm]\oplus[/mm] )
[mm] $(G,+)=(\IZ_2,\oplus)$ [/mm] und [mm] $(G',\cdot)=(\IZ_2,\oplus)$
[/mm]
Meinst du das? Also $H = [mm] \IZ_2 \times \IZ_2$
[/mm]
Sauberer geschrieben sollte eigentlich [mm] $(\IZ [/mm] / [mm] 2\IZ,\oplus)$ [/mm] dastehen.
>
>
> wie muss ich hier vorgehen :/
Welche Elemente liegen denn in [mm] $\IZ_2$? [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Do 10.02.2011 | | Autor: | sanane |
genau ich mein das von der schreibweise her so wie du das aufgeschrieben hast..
also [mm] \IZ [/mm] sind ja die ganzen zahlen .. { .. ,-2,-1,0,1,2..} ... :/ so und weiter weiß ich wirklich nicht
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> genau ich mein das von der schreibweise her so wie du das
> aufgeschrieben hast..
>
> also [mm]\IZ[/mm] sind ja die ganzen zahlen .. { .. ,-2,-1,0,1,2..}
> ... :/ so und weiter weiß ich wirklich nicht
Ja das stimmt schon.
[mm] $\IZ_2$ [/mm] hat zwei Elemente. Bezeichne sie mit 0 und a, wobei 0 das neutrale Element ist. Ich schätze mal, dass das [mm] $\oplus$ [/mm] die Addition modulo 2 darstellen soll.
in H hast du dann folgende Elemente:
(0,0), (0,a), (a,0), (a,a)
Alternativ kannst du dir auch das a als eine 1 vorstellen. Also
(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
Wenn du jetzt zwei Elemente verknüpfst (1,0)*(0,1)=(1,1) , (1,0)*(1,0)=(0,0)
Dann kannst du die Gruppentafel aufstellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 10.02.2011 | | Autor: | sanane |
tut mir leid da kann ich dir nicht folgen :/
folgt aus $ [mm] \IZ_2 [/mm] $ dass [mm] \IZ [/mm] zwei Elemente hat... und wieso 0 und a :/
sry für diese Fragen :/
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Das ist halt wirklich eine doofe Bezeichnung.
Nimm statt [mm]\IZ_2[/mm] einfach [mm]\IZ / 2\IZ[/mm] Das ist die Restklasse modulo 2.
in [mm]\IZ / 2\IZ[/mm] sind alle Ganzen Zahlen "modulo 2" Also 0,1,0,1,...
weil "3 = 1 modulo 2". Damit sind wirklich nur zwei Elemente 0 und 1 drin. Und H enthält ein geordnetes Paar.
[mm]\begin{tabular}[ht]{c||cccc}\hline \oplus & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1)\\
\hline \hline (0,0) & & && \\
(0,1) & & & & \\
(1,0)& & & & \\
(1,1) & & & & \\
\hline \end{tabular}[/mm]
Du musst die Komponenten einzeln addieren und dann den Rest nehmen, der bei der Division durch 2 entsteht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Do 10.02.2011 | | Autor: | sanane |
ich will dich ja wirklich nicht verägern aber :/ ... ich kann dir nicht folgen :(
du hast geschrieben :
"modulo 2" Also 0,1,0,1,...
weil "1 = 3 modulo 2". Damit sind wirklich nur zwei Elemente 0 und 1 drin. Und H enthält ein geordnetes Paar.
wieso nicht 2,3,2,3 .. sondern 0,1,0,1 .. und wie kommst du auf 1 = 3 modulo 2 ?
tut mir wirklich leid :/
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Da hast du einen Fehler entdeck. Der ist korrigert.
Da ich das jetzt so klasse vermurkst habe, sollte ich doch schon einmal etwas in der tabelle ausfüllen:[mm] \begin{tabular}[ht]{c||cccc}\hline \oplus & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1)\\
\hline \hline (0,0) &(0,0) &(0,1) &(1,0)&(1,1) \\
(0,1) & (0,1)&(0,0) &(1,1) &(1,0) \\
(1,0)&(1,0) &(1,1) &(0,0) &(0,1) \\
(1,1) &(1,1) &(1,0) &(0,1) &(0,0) \\
\hline \end{tabular} [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Do 10.02.2011 | | Autor: | sanane |
ich will ja wirklich nicht unhöflich sein, aber meine fragen hast du mir nicht beantwortet.. da bringt mir die ausgefüllte tabelle nichts :(
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Noch einmal:
Die Konkrete Gruppe [mm] $\IZ_2$ [/mm] ist ({0,1},+). Letzlich kannst du die Elemente bennen, wie du lustig bist. Du musst dich von [mm] $\IZ$ [/mm] und den ganzen Zahlen in dem Sinne lösen. Das [mm] $\IZ_2$ [/mm] ist nur eine Schreibweise für die Gruppe
+ | 0 1
--------
0 | 0 1
1 | 1 0
Das ist noch einmal ganz konkret die Antwort.
Zum Rechnen ist es nun einfach die Zahlen zu addieren und dann modulo zu rechnen. Konkreter kann man es nicht sagen.
Nocheinmal: Der Fehler ist korrigiert worden. Richtig: $3 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 2$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Do 10.02.2011 | | Autor: | sanane |
okay dann noch eine letzte frage.. woher weißt du folgendes : ({0,1},+)
wieso nimmt man die menge 0,1 und nicht 5,6 oder so .. :/
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Ich kann mich nur wiederholen, das es absolut wurscht ist wie die Elemente heißen. Vor mir auch auch Kirsche und Apfel. Das 0 und 1 macht Sinn, weil man mit 0 über die Addition das neutrale Element bezeichnet und man nimmt noch ein anderes (ich hatte ja erst allgemein a genommen).
Hauptsache die letzte Verknüpfungstabelle wird genommen.
Die Gruppenstruktur kann noch durch mehr Bezeichnungen dargestellt werden:
[mm]\IZ_2,\IZ /2\IZ,C_2,\IF_2,Sym(2),D_1[/mm]
Für die Aufgabe hat auch H einen Namen "Kleinsche Vierergruppe".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Do 10.02.2011 | | Autor: | sanane |
oki dann bedank ich mich recht herzlich ..
wäre die aufgabe hiermit
$ [mm] \begin{tabular}[ht]{c||cccc}\hline \oplus & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1)\\ \hline \hline (0,0) &(0,0) &(0,1) &(1,0)&(1,1) \\ (0,1) & (0,1)&(0,0) &(1,1) &(1,0) \\ (1,0)&(1,0) &(1,1) &(0,0) &(0,1) \\ (1,1) &(1,1) &(1,0) &(0,1) &(0,0) \\ \hline \end{tabular} [/mm] $
fertig ?
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Ja. Das wäre eine sinnvolle Möglichkeit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Do 10.02.2011 | | Autor: | sanane |
okay mir ist aber trotzdem nicht klar wie du auf 3 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 2 kommst.. :/ tut mir leid
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> okay mir ist aber trotzdem nicht klar wie du auf 3 [mm]\equiv[/mm] 1
> mod 2 kommst.. :/ tut mir leid
Hallo,
weil 3 bei Division durch 2 den Rest 1 läßt.
Gruß v. Angela
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