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Hallo alle miteinander,
ich habe hier 2 Aufgaben mit denen ich überhaupt nicht klarkomme:
1.) Sei G = U(a) eine zyklische Gruppe. Zeigen Sie:
[mm] \delta:\IZ \to [/mm] G, n [mm] \mapsto a^{n}
[/mm]
ist ein Epimorphismus.
2.) Zeigen Sie: Jede zykliche Gruppe ist isomorph entweder
zu [mm] (\IZ,+) [/mm] oder zu [mm] (\IZ/n\IZ,+) [/mm] für ein n [mm] \in \IZ
[/mm]
Ich weiß natürlich, dass eigene Lösungsansätze erwünscht sind.
Allerdings kann ich hiermit nicht dienen, weil ich wirklich Probleme mit der Gruppentheorie habe und wirklich keine Idee habe, wie ich die Aufgaben lösen soll.
Das einzige was ich ich weiß ist, das ein Epimorhismus vorliegt, wenn
[mm] \delta [/mm] surjektiv ist. Aber das bringt mich auch nicht wirklich weiter.
Ich würde mich über Denkanstöße freuen.
Grüße Chiro
P.S. Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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Hallo!
Um einen Epimorphismus nachzuweisen musst du erstmal zeigen, dass [mm] $\delta$ [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist. Du nimmst also zwei Elemente $m,n$ aus [mm] $\IZ$ [/mm] und zeigst, dass [mm] $\delta(m+n)=\delta(m)\* \delta(n)$, [/mm] wobei [mm] $\*$ [/mm] die Multiplikation in $G$ ist.
Um die Surjektvität nachzuweisen wähle ein Element $x$ aus $G$ und zeige, dass es ein [mm] $n\in \IZ$ [/mm] gibt mit [mm] $\delta(n)=x$. [/mm] Beachte dabei, dass $G$ zyklisch ist und von $a$ erzeugt wird!
Für die zweite Aufgabe musst du dir einen Isomorphismus definieren und zeigen, dass es tatsächlich ein Ismorphimus ist. Du hast eine zyklische Gruppe, die z.B. von einem Element $b$ erzeugt wird. Wie genau sehen denn nun die Elemente der Gruppe aus? Bringt dich das auf eine Idee, wie du den Isomorphismus definieren musst?
Gruß, banachella
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mi 11.05.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
> Um einen Epimorphismus nachzuweisen musst du erstmal
> zeigen, dass [mm]\delta[/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist. Du
> nimmst also zwei Elemente [mm]m,n[/mm] aus [mm]\IZ[/mm] und zeigst, dass
> [mm]\delta(m+n)=\delta(m)\* \delta(n)[/mm], wobei [mm]\*[/mm] die
> Multiplikation in [mm]G[/mm] ist.
wieso weiss man, dass die Addition "+" die Verknuepfung in [mm] $\IZ$ [/mm] ist und die Multiplikation "*" die Verknuepfung in $G$? Koennte es nicht auch eine andere Verknuepfung in [mm] $\IZ$ [/mm] und insbesondere in $G$ sein? Ich haette besonders bei $G$ angenommen, dass man die Verknuepfung so abstrakt und allgemein wie moeglich halten soll, da nichts konkretes angegeben ist.
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mi 11.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> wieso weiss man, dass die Addition "+" die Verknuepfung in
> [mm]\IZ[/mm] ist und die Multiplikation "*" die Verknuepfung in [mm]G[/mm]?
> Koennte es nicht auch eine andere Verknuepfung in [mm]\IZ[/mm] und
> insbesondere in [mm]G[/mm] sein?
[mm]\IZ[/mm] hat zwei Verknüpfungen, davon bildet aber nur eine Verknüpfung zusammen mit den Elementen eine Gruppe, deshalb "+" in [mm]\IZ[/mm]
$ [mm] a^n [/mm] =a*a**...*a $ (n-mal) Dies ist eine verkürzende Schreibweise, deshalb "*" in G - was dieses "*" nun ist, wird allerdings nicht gesagt - es kann vollkommen abstrakt definiert sein es HEIßT nur "*"
viele Grüße
DaMenge
>Ich haette besonders bei [mm]G[/mm]
> angenommen, dass man die Verknuepfung so abstrakt und
> allgemein wie moeglich halten soll, da nichts konkretes
> angegeben ist.
>
> Michael
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 11.05.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
danke fuer Deine schnelle Antwort! Ist jetzt im Prinzip auch klar, aber dennoch eine kurze Frage.
> > wieso weiss man, dass die Addition "+" die Verknuepfung in
> > [mm]\IZ[/mm] ist und die Multiplikation "*" die Verknuepfung in [mm]G[/mm]?
> > Koennte es nicht auch eine andere Verknuepfung in [mm]\IZ[/mm] und
> > insbesondere in [mm]G[/mm] sein?
>
> [mm]\IZ[/mm] hat zwei Verknüpfungen, davon bildet aber nur eine
> Verknüpfung zusammen mit den Elementen eine Gruppe, deshalb
> "+" in [mm]\IZ[/mm]
Die andere Verknuepfung ist die Multiplikation, die aber keine Gruppe in [mm] $\IZ$ [/mm] darstellt, da es keine inversen Elemente gibt. Richtig? Wieso aber hat [mm] $\IZ$ [/mm] genau diese zwei Verknuepfungen? Koennte nicht noch irgendeine andere Verknuepfung [mm] $\circ$ [/mm] existieren, so dass [mm] $(\IZ, \circ)$ [/mm] eine Gruppe darstellt?
> [mm]a^n =a*a**...*a[/mm] (n-mal) Dies ist eine verkürzende
> Schreibweise, deshalb "*" in G - was dieses "*" nun ist,
> wird allerdings nicht gesagt - es kann vollkommen abstrakt
> definiert sein es HEIßT nur "*"
OK, wenn die Verknuepfung in [mm] $\IZ$ [/mm] "+" ist, dann verstehe ich das.
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Michael!
> Koennte nicht noch irgendeine andere
> Verknuepfung [mm]\circ[/mm] existieren, so dass [mm](\IZ, \circ)[/mm] eine
> Gruppe darstellt?
Sicher! Zum Beispiel
$x [mm] \circ [/mm] y:=x+y-1$.
Aber dann wäre [mm] $(\IZ,\circ)$ [/mm] isomorph zu [mm] $(\IZ,+)$.
[/mm]
Wenn man nichts dazuschreibt, versteht man unter der Gruppe [mm] $\IZ$ [/mm] immer die Gruppe [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] mit der "üblichen" Addition. 
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mi 11.05.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo Stefan,
> > Koennte nicht noch irgendeine andere
> > Verknuepfung [mm]\circ[/mm] existieren, so dass [mm](\IZ, \circ)[/mm] eine
> > Gruppe darstellt?
>
> Sicher! Zum Beispiel
>
> [mm]x \circ y:=x+y-1[/mm].
>
> Aber dann wäre [mm](\IZ,\circ)[/mm] isomorph zu [mm](\IZ,+)[/mm].
Ich wollte vorhin zuerst noch schreiben "die nicht isomorph zu [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] sind". 
> Wenn man nichts dazuschreibt, versteht man unter der Gruppe
> [mm]\IZ[/mm] immer die Gruppe [mm](\IZ,+)[/mm] mit der "üblichen" Addition.
>
Gut zu wissen! Aber trotzdem ist mir noch nicht 100%ig klar, warum es sonst keine Operationen geben kann, die nicht isomorph zu [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] sind. Irgendwie sagt mir meine Intuition zwar, dass das nicht geht, aber ein Restzweifel ist immer noch vorhanden. Wieso kann nicht "irgendeine seltsame" Verknuepfung existieren, die nicht isomorph zu [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] ist. Kann man sowas leicht zeigen?
Danke, Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Do 12.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zunächst einmal ist ja [mm] $\IZ$ [/mm] nur eine Menge mit abzählbar vielen Elementen. Ich kann also, wenn ich ansonsten alles über [mm] $\IZ$ [/mm] vergesse, sicherlich eine Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] basteln, so dass [mm] $(\IZ,\circ)$ [/mm] zum Beispiel nicht zyklisch (und damit nicht isomorph zu [mm] $(\IZ,+)$) [/mm] ist.
Aber, wie gesagt: Wenn man [mm] $\IZ$ [/mm] schreibt, meint man [mm] $\IZ$ [/mm] als Gruppe mit der "üblichen" Addition.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Do 12.05.2005 | | Autor: | michael7 |
Vielen Dank fuer Deine Hilfe (und Geduld)!
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