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Gruppen: V4 und D4
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 So 27.12.2009
Autor: RomyM

Aufgabe
Man zeige, dass V4 (kleinsche Vierergruppe) eine Untergruppe von D4 (Diedergruppe) ist.
Man bestimme weiterhin alle Normalteiler von V4

Hey,

die V4 ist ja bestimmt mit {identischer, (12)(34),(13)(24),(14)(23)} und die D4 mit {identischer, (13)(24), (1234), (1432), (12)(34),(13)(24), (14)(23)}


Mir fehlt leider der Ansatz, was ich denn genau zeigen muss.

Lg
        
Bezug
Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:08 Mo 28.12.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Man zeige, dass V4 (kleinsche Vierergruppe) eine
> Untergruppe von D4 (Diedergruppe) ist.
>  Man bestimme weiterhin alle Normalteiler von V4
>  Hey,
>  
> die V4 ist ja bestimmt mit {identischer,
> (12)(34),(13)(24),(14)(23)} und die D4 mit {identischer,
> (13)(24), (1234), (1432), (12)(34),(13)(24), (14)(23)}
>  
>
> Mir fehlt leider der Ansatz, was ich denn genau zeigen
> muss.

Kennst du das Untergruppenkriterium? Pruefe das doch mal nach!

Fuer die Untergruppen: schau mal die von einem Element erzeugten Untergruppen an. Welche gibt es? Kann es noch mehr geben (ausser die trivialen)?

LG Felix

Bezug
                
Bezug
Gruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Mo 28.12.2009
Autor: RomyM

Danke erstmal für die Antwort ;)
Ja, das Untergruppenkriterium ist mir bekannt. Also muss gelten:


V4 ist Teilmenge von D4 --> erfüllt, denn alle Elemente aus V4 treten auch in D4 auf

V4 [mm] \not= \emptyset [/mm] --> ist erfüllt, da V4 Menge aus .... bestehend (alles aufführen [mm] \not= \emptyset) [/mm]

u [mm] \in [/mm] U -> [mm] u^{-1} \in [/mm] U --> also muss ich zu allen Elemente aus V4 das Inverse bilden und schauen, ob dieses ebenfalls in U ist?
(bei den identischen Paaren ist dies ja der fall, ist ja klar, allerdings ist das Inverse von z.b. (12)(34) doch (34)(12) (oder?), was allerdings nicht in V4 mit aufgeführt ist)

u, v [mm] \in [/mm] U --> u [mm] \circ [/mm] v [mm] \in [/mm] U (mein Problem: dasselbe wie bei dem vorherigen)
Bezug
                        
Bezug
Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Mo 28.12.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Danke erstmal für die Antwort ;)

Bitte :)

>  Ja, das Untergruppenkriterium ist mir bekannt. Also muss
> gelten:
>  
>
> V4 ist Teilmenge von D4 --> erfüllt, denn alle Elemente
> aus V4 treten auch in D4 auf

[ok]

> V4 [mm]\not= \emptyset[/mm] --> ist erfüllt, da V4 Menge aus ....
> bestehend (alles aufführen [mm]\not= \emptyset)[/mm]

[ok]

> u [mm]\in[/mm] U -> [mm]u^{-1} \in[/mm] U --> also muss ich zu allen Elemente
> aus V4 das Inverse bilden und schauen, ob dieses ebenfalls
> in U ist?

Genau.

>  (bei den identischen Paaren ist dies ja der fall, ist ja
> klar, allerdings ist das Inverse von z.b. (12)(34) doch
> (34)(12) (oder?), was allerdings nicht in V4 mit
> aufgeführt ist)

Nun, es ist $(1 2) (3 4) = (3 4) (1 2)$ (ueberzeuge dich selber davon!). Damit ist's wieder drinnen :)

> u, v [mm]\in[/mm] U --> u [mm]\circ[/mm] v [mm]\in[/mm] U (mein Problem: dasselbe wie
> bei dem vorherigen)

Du musst die entstehenden Ausdruecke genug vereinfachen. Oder alternativ direkt die Zerlegung in disjunkte Zykel berechnen vom Produkt.

LG Felix

Bezug
                                
Bezug
Gruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:52 Sa 02.01.2010
Autor: RomyM

Vielen Dank, jetzt hab ich es verstanden ;)
lg
Bezug
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