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| Aufgabe | Sei n [mm] \in [/mm] N und seien [mm] A_{1},...,A_{n }≤ [/mm] G endliche Normalteiler von G. Weiter seien die Ordnungen von [mm] A_{1},...,A_{n } [/mm] paarweise teilerfremd.
zz. F. a. i [mm] \in [/mm] {1,...,n} ist [mm] A_{i }∩( A_{1},...,A_{i-1},A_{i+1}..,A_{n } [/mm] ) = {1G}. |
Kann mir jemand erklären wie ich das zeigen kann ?
Hab leider keine große Idee. Da die Ordnungen teilerfremd sind , hätte ich vermutet den Satz von Lagrange anzuwenden, weiß nur leider nicht wie.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Di 27.10.2015 | | Autor: | hippias |
1. Zeige mittels Induktion nach $n$, dass es fuer jeden Primteiler $p$ von [mm] $|A_{1}\ldots A_{n}|$ [/mm] ein $i$ gibt, sodass [mm] $p\mid |A_{i}|$ [/mm] gilt. Hierfuer wird die Teilerfremdheit nicht benoetigt.
2. Angenommen [mm] $A_{i}\cap \prod_{j\neq i} A_{j}>1$. [/mm] Mache Dir klar, dass der Durchschnitt dann ein Element von Primzahlordnung enthalten muss. Dann wende den Satz von Lagrange, 1. und die Voraussetzung an, um einen Widerspruch abzuleiten.
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Also ersteinmal Danke. Aber es hilft mir nicht wirklich weiter. Kann schon mit dem 1. Teil nichts anfangen. Ich wollte das eigentlich irgendwie zeigen, dass ich ein Element aus dem Schnitt nehme was nicht das Einselemenet ist und das zu Widerspruch bringen. Weiß nur noch nicht wie.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Mi 28.10.2015 | | Autor: | hippias |
Ein Widerspruch fuer so ein Element kannst Du schnell herleiten, indem Du Dir klar machst, das seine Ordnung teilerfremd zu sich selbst ist (siehe 2.). Diese Teilerfremdheit ist darin begruendet, dass die Gruppenordnungen [mm] $A_{i}$ [/mm] und [mm] $\prod_{j\neq i} A_{j}$ [/mm] teilerfremd sind (siehe 1.)
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Angenommen ich hab ein a [mm] \not= [/mm] 1. und a [mm] \in A_{i} \cap \produkt_{j\not=i} A_{j}.
[/mm]
Dann ist a = [mm] a_{i}(\in A_{i}) [/mm] Und a = [mm] a_{1}...a_{i-1}a_{i+1}...a_{n} [/mm]
Also ist 1 = [mm] a_{i}^{-1} .a_{1}...a_{i-1}a_{i+1}...a_{n}. [/mm]
Kann man das irgendwie zum Widersrpuch führen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 30.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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