Gruppe zyklisch < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Do 09.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich bin gerade bei der Theorie zum Thema "Zyklische Gruppen" und habe eine Frage zu einer Aussage.
Im Buch steht ohne Beweis, dass eine Gruppe G genau dann zyklisch ist, wenn es einen Isomorphismus [mm] \mathbb Z / H \tilde {\rightarrow} G [/mm] gibt, wobei H eine Untergruppe und damit ein Normalteiler von [mm] \mathbb Z [/mm] ist.
Nun zu meinen Unklarheiten:
Sehr ich das richtig, dass die Untergruppe ein Normalteiler ist, weil [mm] \mathbb Z [/mm] kommutativ ist?
Und warum ist die Gruppe dann zyklisch? Ich versteh nicht wirklich die Aussagen dieser Bemerkung... :-(.
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Do 09.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hallo alle zusammen!
>
> Ich bin gerade bei der Theorie zum Thema "Zyklische
> Gruppen" und habe eine Frage zu einer Aussage.
> Im Buch steht ohne Beweis, dass eine Gruppe G genau dann
> zyklisch ist, wenn es einen Isomorphismus [mm]\mathbb Z / H \tilde {\rightarrow} G[/mm]
> gibt, wobei H eine Untergruppe und damit ein Normalteiler
> von [mm]\mathbb Z[/mm] ist.
>
> Nun zu meinen Unklarheiten:
> Sehr ich das richtig, dass die Untergruppe ein
> Normalteiler ist, weil [mm]\mathbb Z[/mm] kommutativ ist?
Genau. In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe ein Normalteiler.
> Und warum ist die Gruppe dann zyklisch? Ich versteh nicht
> wirklich die Aussagen dieser Bemerkung... :-(.
Die Untergruppen von $Z$ sind ja genau die [mm] $n\IZ$ [/mm] für [mm] $n\in\IN\cup\{0\}$. [/mm] Und [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] ist klar zyklisch, denn [mm] $\bar [/mm] 1$ erzeugt die gesamte Gruppe.
Hat man nun einen Isomorphismus [mm] $\varphi:\IZ/n\IZ\to [/mm] G$, so ist auch $G$ zyklisch, mit dem Erzeuger [mm] $\varphi(1)$, [/mm] denn jedes [mm] $g\inG$ [/mm] lässt sich schreiben als [mm] $\varphi(\varphi^{-1}(g))=\varphi(\pm 1^m)=\pm\varphi(1)^m$.
[/mm]
Bedenke: Isomorphe Gruppen sind gleich in dem Sinne, dass die Elemente nur "umbenannt wurden". Alle Eigenschaften von Gruppen, die sich mit den Gruppenaxiomen formulieren lassen (wie zum Beispiel "zyklisch") übertragen sich damit durch Isomorphie, und isomorphe Gruppen sind hinsichtlich dieser Eigenschaften nicht unterscheidbar.
Gruß, Robert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:58 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
|
|
|
|
