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| Aufgabe | Sei p < m zwei verschiedene Primzahlen, sodass m [mm] \not\equiv [/mm] 1 mod p, und G eine endliche Gruppe der Ordnung p*m.
Zu zeigen: G ist zyklisch |
Hallo,
ich weiß bei der Aufgabe nicht ganz recht, wie ich hier vorzugehen habe. Ich hoffe, es kann mir da jemand weiterhelfen.
Die beiden Primzahlen sind also so gewählt, dass m beim modulo-Rechnen durch p nicht den Rest 1 haben darf, richtig?
Also wenn beispielsweise m=7 ist und p=3, dann gilt: 7 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3, weil 7 mod 3 den Rest 1 hat. Und das darf hier also nicht so sein.
Weiter gilt, dass G p*m Elemente hat: |G|= p*m.
Wenn ich zeigen will, dass G zyklisch ist, dann muss ich doch zeigen, dass es ein g [mm] \in [/mm] G gibt mit <g> = G, d.h. [mm] \forall [/mm] h [mm] \in [/mm] G [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IZ: g^{n}=h. [/mm] Richtig?
Aber wie kann ich diese Definition konkret auf die Aufgabe anwenden?
Vielen Dank für die Hilfe!
Milka
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hm, klingt spannend diese Frage. Also zum Bauch raus, würde ich vielleicht benutzen, dass die Ordnung jedes Elements die Gruppenordnung teilen muss. Aber keine Ahnung wie weit du damit kommst. Sorry! Ich denk noch ein bisschen drüber oder vielleicht kann dir ja sonst jemand helfen!
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Zyklische Gruppen..das klingt sehr fest nach der Pollard-Rho Methode. Schau mal im Internet nach ob du was findest.
Schau mal hier nach.
![[]](/images/popup.gif) Wiki
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Hallo,
danke für den Hinweis, aber leider haben wir die Pollard-Rho Methode in der Vorlesung noch nicht behandelt, und dürfen sie somit auch nicht anwenden. Wie könnte man das denn anders zeigen?
Ich danke für jede Hilfe.
LG, Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Mo 07.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Hört sich danach an, dass die Sylow-Sätze reichen.
Es gibt sicherlich nur eine m-Sylow-Gruppe und die ist dann ein Normalteiler.
Es sei [mm] $s_p$ [/mm] die Anzahl der p-Sylow-Gruppen, so gilt:
[mm] $s_p$ [/mm] teilt m, also [mm] $s_p [/mm] = 1$ oder [mm] $s_p=m$.
[/mm]
Letzteres ist aber ausgeschlossen (siehe Voraussetzungen).
Damit hast Du zwei Normalteiler.
Die Normalteiler haben jeweils Primzahlordnung und sind somit zyklisch (und isomorph zu [mm] $Z_p$ [/mm] bzw. [mm] $Z_m$)
[/mm]
Ferner ist der Schnitt sicherlich (hier reicht ja schon ein Ordnungsargument) trivial.
Damit gilt:
Die Gruppe ist isomorph zu [mm] $Z_p \times Z_m \cong Z_{m\cdot p}$ [/mm] und damit zyklisch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mo 07.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Das die Voraussetzung auch notwendig ist, kann man z.B an der Diedergruppe sehen.
[mm] $D_{2m}$ [/mm] mit m prim ist eine Gruppe der Ordnung 2m.
Hier gilt: m [mm] $\equiv$ [/mm] 1 mod 2 und es gibt genau m Untergruppen der Ordnung 2. (Es gibt ja genau m verschiedene Spiegelungen des m-Ecks ...).
Zum Abschluss:
Ich denke für eine Gruppe G der Ordnung pq mit $p [mm] \not=q$ [/mm] gilt:
Entweder ist G isomporh zur zyklischen Gruppe der Ordnung pq
oder G ist isomorph zum semidirekten Produkt aus den jeweiligen zyklischen Gruppen [mm] ($C_p$, $C_q$).
[/mm]
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Hi MicMuc,
ich hätte ein paar Fragen zu deiner Antwort.
> Hört sich danach an, dass die Sylow-Sätze reichen.
>
> Es gibt sicherlich nur eine m-Sylow-Gruppe und die ist dann
> ein Normalteiler.
>
> Es sei [mm]s_p[/mm] die Anzahl der p-Sylow-Gruppen, so gilt:
> [mm]s_p[/mm] teilt m, also [mm]s_p = 1[/mm] oder [mm]s_p=m[/mm].
Ich versteh nicht, warum [mm] s_{p} [/mm] m teilt. Nach dem Satz von Sylow gibt es eine m-Sylow-Untergruppe H, mit |H| = [mm] m^{k}. [/mm] Stimmt das? Warum teilt dann [mm] s_{p}, [/mm] also die Anzahl der p-Sylow-Untergruppen, m?
> Letzteres ist aber ausgeschlossen (siehe
> Voraussetzungen).
> Damit hast Du zwei Normalteiler.
>
> Die Normalteiler haben jeweils Primzahlordnung und sind
> somit zyklisch (und isomorph zu [mm]Z_p[/mm] bzw. [mm]Z_m[/mm])
>
> Ferner ist der Schnitt sicherlich (hier reicht ja schon ein
> Ordnungsargument) trivial.
>
> Damit gilt:
> Die Gruppe ist isomorph zu [mm]Z_p \times Z_m \cong Z_{m\cdot p}[/mm]
> und damit zyklisch.
[mm] \IZ_{p} [/mm] und [mm] \IZ_{m} [/mm] sind zyklisch, wie du geschrieben hast. Aber ist das Produkt [mm] \IZ_{p} \times \IZ_{m} [/mm] immer noch zyklisch? Denn [mm] \IZ_{p} \times \IZ_{m} [/mm] ist nach dem chin. Restsatz isomorph zu [mm] \IZ_{pm}, [/mm] und p*m muss ja keine Primzahl mehr sein, und dann wäre [mm] \IZ_{pm} [/mm] nicht mehr zyklisch.
Oder versteh ich das falsch?
Lg, Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Di 08.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> ich hätte ein paar Fragen zu deiner Antwort.
> > Hört sich danach an, dass die Sylow-Sätze reichen.
> >
> > Es gibt sicherlich nur eine m-Sylow-Gruppe und die ist dann
> > ein Normalteiler.
> >
> > Es sei [mm]s_p[/mm] die Anzahl der p-Sylow-Gruppen, so gilt:
> > [mm]s_p[/mm] teilt m, also [mm]s_p = 1[/mm] oder [mm]s_p=m[/mm].
> Ich versteh nicht, warum [mm]s_{p}[/mm] m teilt. Nach dem Satz von
> Sylow gibt es eine m-Sylow-Untergruppe H, mit |H| = [mm]m^{k}.[/mm]
> Stimmt das? Warum teilt dann [mm]s_{p},[/mm] also die Anzahl der
> p-Sylow-Untergruppen, m?
Es gibt mehrere Saetze von Sylow, bzw. der Satz von Sylow besteht aus meheren Teilen. Und einer davon sagt etwas ueber die Anzahl der $p$-Sylow-Untergruppen aus, und genau den brauchst du hier.
> > Damit gilt:
> > Die Gruppe ist isomorph zu [mm]Z_p \times Z_m \cong Z_{m\cdot p}[/mm]
> > und damit zyklisch.
>
> [mm]\IZ_{p}[/mm] und [mm]\IZ_{m}[/mm] sind zyklisch, wie du geschrieben hast.
> Aber ist das Produkt [mm]\IZ_{p} \times \IZ_{m}[/mm] immer noch
> zyklisch? Denn [mm]\IZ_{p} \times \IZ_{m}[/mm] ist nach dem chin.
> Restsatz isomorph zu [mm]\IZ_{pm},[/mm] und p*m muss ja keine
> Primzahl mehr sein, und dann wäre [mm]\IZ_{pm}[/mm] nicht mehr
> zyklisch.
Also $p m$ ist vielleicht keine Primzahl mehr, aber [mm] $\IZ_n$ [/mm] ist immer zyklisch, egal was fuer eine natuerliche Zahl $n$ auch sein mag.
(Anders sieht es aus, wenn $p$ und $m$ nicht teilerfremd waeren, dann waer [mm] $\IZ_p \times \IZ_m$ [/mm] nicht zyklisch. Aber das ist hier nicht der Fall.)
LG Felix
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Hallo felixf,
danke für deine Erklärung, aber ich hätte noch eine Frage zur Anzahl der p-Sylow-Untergruppe [mm] s_{p}. [/mm] In meinem Skript steht "Die Anzahl [mm] s_{p} [/mm] der p-Sylow von G ist ein Teiler von |G| und [mm] s_{p} \equiv [/mm] 1 mod p.
Hier ist ja |G| = pm, also teilt [mm] s_{p} [/mm] pm, folgt dann daraus auch, dass [mm] s_{p} [/mm] m teilt?
Mir ist immer noch nicht klar, warum das [mm] s_{p} [/mm] m teilt....
Ich hoffe, du erklärst es mir nochmal.
lg, Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Mi 09.05.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Anna, ich spring mal ein ...
> danke für deine Erklärung, aber ich hätte noch eine Frage
> zur Anzahl der p-Sylow-Untergruppe [mm]s_{p}.[/mm] In meinem Skript
> steht "Die Anzahl [mm]s_{p}[/mm] der p-Sylow von G ist ein Teiler
> von |G| und [mm]s_{p} \equiv[/mm] 1 mod p.
>
> Hier ist ja |G| = pm, also teilt [mm]s_{p}[/mm] pm, folgt dann
> daraus auch, dass [mm]s_{p}[/mm] m teilt?
> Mir ist immer noch nicht klar, warum das [mm]s_{p}[/mm] m
> teilt....
Also wenn n rs teilt und zu r teilerfremd ist, dann teilt es s. Das kann man sich mit Hilfe der Primfaktorzerlegung klarmachen. [mm] s_{p} [/mm] ist zu p teilerfremd, sonst wär es ja [mm] \equiv [/mm] 0 mod p, es ist aber [mm] \equiv [/mm] 1. Folglich teilt es m.
So deutlicher?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Mi 09.05.2007 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo statler,
jetzt ist es mir klar. Danke für die Erklärung!!
lg, Milka
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