Gruppe oder nicht? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Do 10.11.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo Matheraum,
ich soll prüfen, ob es sich bei der Menge [mm] \IR [/mm] mit der Verknüpfung
[mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in\IR:x*y:=3x+4y$
[/mm]
um eine Gruppe handelt.
(mit * bezeichne ich hier eine Verknüpfung, nicht die Multiplikation)
Ich hab noch einige dieser Aufgaben und würde gerne mal wissen wie genau da vorzugehen ist.
Ich muß die Gruppeneigenschaften prüfen, aber wie?
Nehme ich mal G(1), dann ist zu zeigen, dass [mm] $\forall [/mm] x,y,z [mm] \in\IR$ [/mm] gilt:
$(x*y)*z=x*(y*z)$
Dann setze ich das von oben ein, also
$(3x+4y)*z=$ und jetzt?
Ich kann ja sicher nicht schreiben $= 3x+(4y*z)$
Hier liegt mein Problem (bei den weiteren Eigenschaften komme ich aus ähnlichen Gründen nicht vorwärts.
Würde mich freuen wenn ihr mir helfen könntet.
Vielen Dank,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wir hatten die Aufgabe zuletzt schon einmal. 
Es gilt allgemein:
$(x [mm] \star [/mm] y) [mm] \star [/mm] z = (3x+4y) [mm] \star [/mm] z = 3(3x+4y) + 4z = 9x+12y+4z$
und
$x [mm] \star [/mm] (y [mm] \star [/mm] z) = 3x + 4(y [mm] \star [/mm] z) = 3x + 4 [mm] \cdot [/mm] (3y+4z) = 3x+12y+16z$.
Hieran siehst du, dass etwa
$(1 [mm] \star [/mm] 0) [mm] \star [/mm] 0 = 9 [mm] \ne [/mm] 3 = 1 [mm] \star [/mm] (0 [mm] \star [/mm] 0)$
gilt, es sich also um keine Gruppe (ja nicht einmal um eine Halbgruppe) handelt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Do 10.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Olek,
> Hallo Matheraum,
> ich soll prüfen, ob es sich bei der Menge [mm]\IR[/mm] mit der
> Verknüpfung
> [mm]\forall x,y \in\IR:x*y:=3x+4y[/mm]
> um eine Gruppe handelt.
> (mit * bezeichne ich hier eine Verknüpfung, nicht die
> Multiplikation)
> Ich hab noch einige dieser Aufgaben und würde gerne mal
> wissen wie genau da vorzugehen ist.
> Ich muß die Gruppeneigenschaften prüfen, aber wie?
> Nehme ich mal G(1), dann ist zu zeigen, dass [mm]\forall x,y,z \in\IR[/mm]
> gilt:
> [mm](x*y)*z=x*(y*z)[/mm]
> Dann setze ich das von oben ein, also
> [mm](3x+4y)*z=[/mm] und jetzt?
> Ich kann ja sicher nicht schreiben [mm]= 3x+(4y*z)[/mm]
> Hier liegt
> mein Problem (bei den weiteren Eigenschaften komme ich aus
> ähnlichen Gründen nicht vorwärts.
Stefan hat dir ja schon geschrieben, wie man am schnellsten zeigt, dass es keine Gruppe ist. Aber trotzdem noch ein kleiner Hinweis zu deiner Rechnung.
[mm](3x+4y)*z= 3(3x+4y)+4z[/mm]
D.h. du wendest die Definition der Verknüpfung auf (3x+4y) und z an.
Gruß
Sigrid
> Würde mich freuen wenn ihr mir helfen könntet.
> Vielen Dank,
> Olek
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Do 10.11.2005 | | Autor: | Olek |
Nabend,
vielen Dank, jetzt hab ich verstanden wie man das machen muß.
Trotzdem komme ich bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:
Ist diie Menge $G:={x [mm] \in \IR [/mm] | [mm] \left| x \right|<1}$ [/mm] mit der Verknüpfung
[mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] G : [mm] x*y:=\bruch{x+y}{1+xy}$
[/mm]
eine Gruppe?
Ich wollte das jetzt so machen wie ihr mir das erklärt habt. Da habe ich dann riesen Terme mit fetten Brüchen gehabt (um (G1) nachzuweisen) und nach ner halben Stunde umformen hatte ich [mm] $x+x^{2}y=x+y^{2}$
[/mm]
Demnach hätte ich keine Gruppe. Aber ich habe auch nirgendwo benutzt, dass [mm] \left| x \right|<1 [/mm] und außerdem hätte ich erwartet dass bei zumindest einer Aufgabe auch ne Gruppe vorliegt.
Meint ihr ich hab mich beim Umformen vertan? Hab eigentlich versucht aufzupassen.
Oder gibts da nen Trick um das schneller zu prüfen?
Vielen Dank und schönen Abend noch,
Olek
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Do 10.11.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo nochmal,
ich habe mich ermutlich irgendwo vertan.
Ich habe jetzt geschafft zu zeigen, dass (G1) richtig ist. Das der Betrag von x<1 ist habe ich aber noch nicht benutzt.
(G2) war jetzt ganz leicht.
(G3) macht mich stutzig: Ich will zeigen, dass [mm] x^{-1}*x=x*x^{-1}=0
[/mm]
Dann hab ich [mm] \bruch{x^{-1}+x}{1+x*x^{-1}}
[/mm]
Wenn das gleich 0 sein soll muß [mm] x^{-1}+x=0 [/mm] sein. Eigentlich stimmt das ja so nicht, aber in einem Buch habe ich gelesen, dass für die additive Schreibweise von * -x das Inverse ist. Muß ich das hier benutzen? Dann passt es ja. Und im Nenner nehme ich dann aber [mm] x^{-1}, [/mm] weils mit x multipliziert wird, oder?
Dann hätte ich ja alles. Nur die Voraussetzung mit der Betrag von x<1 hab ich nie verwendet. Was sollte das?
Schönen Abend noch,
Olek
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Olek!
Das neutrale Element ist hier $0$ richtig.
Jetzt musst du zeigen: Für alle $x [mm] \in [/mm] G$ gibt es ein $y [mm] \in [/mm] G$ mit
$x [mm] \star [/mm] y = 0$.
Aber wähle mal $y:=-x$ (überzeuge dich davon, dass dann $y [mm] \in [/mm] G$ gilt!) und rechne dies nach.
Die Voraussetzung mit dem $|x|<1$ brauchst du die ganze Zeit, damit alles wohldefiniert ist und der Nenner nicht etwa verschwindet...
Liebe Grüße
Stefan
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