Gruppe mit Ordnung 56 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 So 27.01.2013 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Hallo,
ich soll zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung 56 einen nichttrivialen Normalteiler besitzt. |
Also, angenommen es gibt 8 7-Sylowgr und 7 2-Sylowgr.
Es ist zudem [mm] \pi [/mm] (7) = 6 und [mm] \pi [/mm] (2)=1.
--> 8*6=48
--> 7*1 =7
--> Im Schnitt der Sylows liegt nur das neutrale Element
--> Das wäre doch genau 55+1=56.
Das wäre aber kein Widerspruch. Wo ist denn mein Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 So 27.01.2013 | | Autor: | rollroll |
Sorry, das pi soll ein phi sein...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 So 27.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich soll zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung 56 einen
> nichttrivialen Normalteiler besitzt.
> Also, angenommen es gibt 8 7-Sylowgr und 7 2-Sylowgr.
> Es ist zudem [mm]\pi[/mm] (7) = 6 und [mm]\pi[/mm] (2)=1.
> --> 8*6=48
> --> 7*1 =7
> --> Im Schnitt der Sylows liegt nur das neutrale Element
>
> --> Das wäre doch genau 55+1=56.
>
> Das wäre aber kein Widerspruch. Wo ist denn mein Fehler?
Du verwendest nicht, dass die 2-Sylow-UGs 8 Elemente haben und nicht 2. Du musst hier ein wenig mehr argumentieren, warum die Vereinigung aller 7 2-Sylowgruppen mehr als 7+1 Elemente hat (das neutrale ist die 1).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Mo 28.01.2013 | | Autor: | rollroll |
Ok, danke.
Könnte man auch so argumentieren:
Es gilt [mm] |P_7|=7 [/mm] und es gibt 8 7-Sylowgruppen--> 7*8=56
Das sind schon zu viele Elemente, da es ja noch 2-Sylows geben muss...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Mo 28.01.2013 | | Autor: | hippias |
Nein: Da das Neutrale Element nur einmal gezaehlt werden darf, sind es nur [mm] $8\cdot6+1= [/mm] 49$ Elemente. Bleibt also noch Platz fuer $2$-Elemente. Beachte ferner, dass der Schnitt zweier $2$-Sylowgruppen nicht trivial sein muss.
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