Gruppe, erzeugte Untergruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Def.: Sei G eine Gruppe und M Teilemnege von G.
Dann heißt <M> [mm] =\bigcap_{M \subseteq H, H \le G }^{n} [/mm] H, die von M erzeugte Untergruppe von G.
Satz:
Sei G eine Gruppe und M [mm] \subseteq [/mm] G, M [mm] \not=0. [/mm] Dann giltt
<M> = [mm] \{a_1^{\epsilon_1},...,a_n^{\epsilon_n} \}, [/mm] n>=0
[mm] a_1,..,a_n \in [/mm] M , [mm] \epsilon_1,..,\epsilon_n \in \{1,-1\}
[/mm]
Bei und beseutet H [mm] \le [/mm] G, dass H Untergruppe von G ist. |
Wir hatten nun:
Aus dem Satz folgt sofort: Ist I Gruppe und a [mm] \in [/mm] G, so ist <a> = [mm] \{a^{n} | n \in \IZ \}
[/mm]
Ich sehe leider gar nicht warum das aus dem Satz folgt..
Vlt. kann mir hier wer weiterhelfen!!
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Mo 08.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die [mm] a^n [/mm] sind eine Gruppe, warum?
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Wenn a Element einer Gruppe ist, ist deren Multiplikation mit sich selbst auch Element der gruppe (Abgeschlossenheit)
Aber wieso folgt nun die Bemerkung aus den aufgeschriebenen Satz im Post 1?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:56 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aufgabe
> Def.: Sei G eine Gruppe und M Teilemnege von G.
> Dann heißt <M> $ [mm] =\bigcap_{M \subseteq H, H \le G }^{n} [/mm] $ H, die von > M erzeugte Untergruppe von G.
> Satz:
> Sei G eine Gruppe und M $ [mm] \subseteq [/mm] $ G, M $ [mm] \not=0. [/mm] $
Du meinst $M [mm] \not=\emptyset\,.$
[/mm]
> Dann giltt
> <M> = $ [mm] \{a_1^{\epsilon_1},...,a_n^{\epsilon_n} \}, [/mm] $ n>=0
> $ [mm] a_1,..,a_n \in [/mm] $ M , $ [mm] \epsilon_1,..,\epsilon_n \in \{1,-1\} [/mm] $
> Bei und beseutet H $ [mm] \le [/mm] $ G, dass H Untergruppe von G ist.
> Wir hatten nun:
> Aus dem Satz folgt sofort: Ist I Gruppe und a $ [mm] \in [/mm] $ G, so ist <a> = $ [mm] \{a^{n} | n \in \IZ \} [/mm] $
> Ich sehe leider gar nicht warum das aus dem Satz folgt..
> Vlt. kann mir hier wer weiterhelfen!!
Bist Du sicher, dass Du erstmal den Satz da richtig stehen hast?
Vielmehr ist nämlich
[mm] $$(\*)\;\;\;=\{\underbrace{a_1^{\epsilon_1} \cdot ... \cdot a_n^{\epsilon_n}}_{\text{Produkt aus }n \text{ Faktoren!}}:a_1,...,a_n \in M,\; \epsilon_k \in \{-1,\;1\} \text{ für alle }k \in \{1,...,n\}: n \in \IN\}$$
[/mm]
Es macht einen großen Unterschied, ob Du etwa die $n [mm] \in \IN$ [/mm] in die
Mengenklammer schreibst (Vereinigung über alle $n [mm] \in \IN$), [/mm] oder
das [mm] $n\,$ [/mm] außerhalb stehen hast (dann ist das ein "Parameter"). Das,
was Du da geschrieben hast, ist generell was ganz anderes - achte auf die
Notation und deren Bedeutung(en)!
(Du würdest ein $n [mm] \ge [/mm] 0$ festhalten, auch die [mm] $a_1$ [/mm] bis [mm] $a_n$ [/mm] nach einer
Wahl dann etc. pp.. Eigentlich steht bei Dir eine Menge mit maximal [mm] $n\,$
[/mm]
Elementen, wenn man das so liest, wie Du es schreibst - und wenn man
die "Kommata richtig liest", also wegläßt und dort ein Produkt liest, wo
eigentlich eins stehen sollte, schreibst Du eine einelementige Menge hin!)
Und dass die [mm] $a_j^{\epsilon_j}$ [/mm] nur mit Komma getrennt werden, macht
für mich keinen Sinn, dann hätte man sicher direkt geschrieben
[mm] $$=\{a_n^{\epsilon_n}: a_n \in M \text{ und }\epsilon_n \in \{-1,\,1\}: n \in \IN\}\,,$$
[/mm]
wobei das [mm] $n\,$ [/mm] keine Bedeutung mehr gehabt hätte und man auch direkt
hätte schreiben können
[mm] $$=\{a^{\epsilon}: a \in M \text{ und }\epsilon \in \{-1,\,1\}\}\,.$$
[/mm]
Und in meiner Notation oben in [mm] $(\*)$ [/mm] siehst Du doch sofort:
[mm] $$\{a_1^{\epsilon_1} \cdot ... \cdot a_n^{\epsilon_n}:a_1,...,a_n \in M,\; \epsilon_k \in \{-1,\;1\} \text{ für alle }k \in \{1,...,n\}: n \in \IN\} \supseteq \{a^n: n \in \IZ\}$$
[/mm]
(ich nehme übrigens mal an, dass $0 [mm] \in \IN$ [/mm] bei Euch gilt!)
und die Teilmengenbeziehung [mm] "$\subseteq$" [/mm] folgt halt, weil
[mm] $a^{p}*a^q=a^{p+q}$ [/mm] für $p,q [mm] \in \IZ\,,$ [/mm] denn bekanntlich gilt $p,q [mm] \in \IZ \Rightarrow [/mm] p+q [mm] \in \IZ\,.$ [/mm]
Denn hier ist doch wegen [mm] $M=\{a\}$ [/mm] einfach
[mm] $$\{a_1^{\epsilon_1} \cdot ... \cdot a_n^{\epsilon_n}:a_1,...,a_n \in M,\; \epsilon_k \in \{-1,\;1\} \text{ für alle }k \in \{1,...,n\}: n \in \IN\}=\{a^{\epsilon_1} \cdot ... \cdot a^{\epsilon_n}:\; \epsilon_k \in \{-1,\;1\} \text{ für alle }k \in \{1,...,n\}: n \in \IN\}\,,$$
[/mm]
denn es gilt ja wohl $t [mm] \in M=\{a\} \gdw t=a\,.$
[/mm]
Mit [mm] $(\*)$ [/mm] ist bei [mm] $M=\{a\}$ [/mm] die Behauptung [mm] $=<\{a\}>==\{a^z:\; z \in \IZ\}$ [/mm] in der Tat eine triviale Folgerung!
P.S.
Bei Euch gibt's einen kleinen Mangel, und zwar müßte man gemäß
Eurer Definition das, was ich oben auch geschrieben habe, erstmal
definieren:
Für [mm] $(G,\cdot)$ [/mm] Gruppe und $a [mm] \in [/mm] G$ sei [mm] $:=<\{a\}>\,.$
[/mm]
P.P.S.
Hier in der Antwort meine ich wirklich [mm] $\IN=\IN \cup \{0\}\,.$ [/mm] Solltet Ihr
[mm] $\IN=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] auffassen, dann denke Dir meine Antwort mit
[mm] $\IN_0:=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] an den entsprechenden Stellen!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
