Gruppe endlich < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Sa 03.11.2007 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Zu Zeigen: Eine Gruppe G ist genau dann endlich, wenn sie endlich viele Untergruppen besitzt.
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Hallo zusammen,
komme mit dieser Aufgabe nicht ganz zurecht.
Sie erscheint mir schon logisch,jedoch weiß ich nicht wie ich das formal zeigen muss.
weiß: gruppe endlich [mm] \Rightarrow [/mm] |G|=n < [mm] \infty, [/mm] jedes element [mm] g_i \in [/mm] G erzeugt eine zyklische Untergruppe mit erzeuger [mm] .....
[/mm]
kann ich damit was anfangen??
oder wie muss ich da ran gehen....brauche dringend Hilfe/Tipps!
Liebe Grüße, kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Sa 03.11.2007 | | Autor: | SEcki |
> oder wie muss ich da ran gehen....brauche dringend
> Hilfe/Tipps!
Ich würde rein mengentheoretisch argumentieren - was weiss man denn über die Anzahl von Teilmengen?
SEcki
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:27 Sa 03.11.2007 | | Autor: | kittie |
jede untergruppe ist ja eine teilmenge der der Gruppe, also ein Element der Potenzmenge von G. ist G endlich, also angenommen: G hat genau n Elemente, dann gibt es [mm] 2^n< \infty [/mm] Elemente in der Potenzmenge, also auch nur endlich viele Untergruppen...
stimmt das so???
und umgekehrt??wie zeige ich diese richtung?
lg, kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Sa 03.11.2007 | | Autor: | SEcki |
> jede untergruppe ist ja eine teilmenge der der Gruppe, also
> ein Element der Potenzmenge von G. ist G endlich, also
> angenommen: G hat genau n Elemente, dann gibt es [mm]2^n< \infty[/mm]
> Elemente in der Potenzmenge, also auch nur endlich viele
> Untergruppen...
>
> stimmt das so???
Ja.
> und umgekehrt??wie zeige ich diese richtung?
Ja, stimmt, hm. Ich würde da eine Fallunterschiedung machen: Es gibt ein Element mit nicht endlicher Ordnug, oder alle Elemente haben endliche Ordnung. Vielleicht gibt es was eleganteres.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Mo 05.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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