Gruppe der Rotationssymmetrien < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:25 Mo 21.02.2011 | | Autor: | hilado |
Ich hab eine Aufgabe hier vor mir liegen, da soll ich die Gruppe der Rotationssymmetrien von einem Ikosaeder (http://de.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder) bestimmen. Doch ich weiß leider von vorn bis hinten nicht wie ich da rangehen soll. Was eine Gruppe ist, weiß ich schon.
Wie kann ich mir bei einem Ikosaeder die Gruppe vorstellen? Was ist die Trägermenge?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich hab eine Aufgabe hier vor mir liegen, da soll ich die
> Gruppe der Rotationssymmetrien von einem Ikosaeder
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder) bestimmen. Doch
> ich weiß leider von vorn bis hinten nicht wie ich da
> rangehen soll. Was eine Gruppe ist, weiß ich schon.
Die Vorgehensweise hängt auch von deinem räumlichen Vorstellungsvermögen ab. Wenn das nicht so gut, könntest du dir ein Ikosaeder basteln, vielleicht gibt es im Netz Schnittvorlagen dazu.
Nachtrag: ![[]](/images/popup.gif) hier z. B.
Überleg dir erstmal, um welche Achsen und um welche Winkel man das Ding so drehen kann, daß die Ecken wieder zur Deckung kommen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Mo 21.02.2011 | | Autor: | hilado |
Ok, ich nehme einen Knoten des Ikosaeders. Um diesen Knoten gibt es fünf Flächen, d.h. ich kann ihn jedes mal um 72 Grad drehen bis die Symmetrie wieder da ist, denn ich stecke eine Gerade von dem Punkt den ich grad betrachte zum gegenüberliegenden Punkt.
Die Trägermenge wäre also das Tupel der Punkte (x, y), x und y [mm] \in [/mm] Menge der Knoten auf dem Ikosaeder.
Und ich hab insgesamt 60 Möglichkeiten, den Ikosaeder zu drehen, weil ich, wenn ich einen Punkt x nehme und ihn oben hab, genauso gut den Punkt y nach oben setzen könnte und bei 12 Knoten hab ich also 5 * 12 = 60 Möglichkeiten eine Rotationssymmetrie herzustellen.
Ist das richtig? Ist die Formulierung richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Ok, ich nehme einen Knoten des Ikosaeders. Um diesen Knoten
> gibt es fünf Flächen, d.h. ich kann ihn jedes mal um 72
> Grad drehen bis die Symmetrie wieder da ist, denn ich
> stecke eine Gerade von dem Punkt den ich grad betrachte zum
> gegenüberliegenden Punkt.
>
> Die Trägermenge wäre also das Tupel der Punkte (x, y), x
> und y [mm]\in[/mm] Menge der Knoten auf dem Ikosaeder.
>
> Und ich hab insgesamt 60 Möglichkeiten, den Ikosaeder zu
> drehen, weil ich, wenn ich einen Punkt x nehme und ihn oben
> hab, genauso gut den Punkt y nach oben setzen könnte und
> bei 12 Knoten hab ich also 5 * 12 = 60 Möglichkeiten eine
> Rotationssymmetrie herzustellen.
>
> Ist das richtig? Ist die Formulierung richtig?
Die Zahl 60 ist gar nicht schlecht, aber die Begründung ist ganz und gar daneben. Du hast nur 6 Drehachsen durch gegenüberliegende Ecken, und die Nulldrehung darfst du nur einmal zählen. Guck mal in die Antwort des arabischen Kollegen, da hast du explizite Hinweise auf das, was fehlt.
Gruß
Dieter
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> Ich hab eine Aufgabe hier vor mir liegen, da soll ich die
> Gruppe der Rotationssymmetrien von einem Ikosaeder
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder) bestimmen. Doch
> ich weiß leider von vorn bis hinten nicht wie ich da
> rangehen soll. Was eine Gruppe ist, weiß ich schon.
>
> Wie kann ich mir bei einem Ikosaeder die Gruppe vorstellen?
> Was ist die Trägermenge?
Hallo hilado,
Ein (regelmäßiges) Ikosaeder hat verschiedene Arten von
Drehsymmetrien: fünfzählige, dreizählige und zweizählige.
Dabei geht die Drehachse
bei den 5-zähligen durch zwei antipodische Eckpunkte,
bei den 3-zähligen durch .... ................. .................. ,
bei den 2-zähligen durch .... ................. .................. .
Nun kann man sich zunächst einmal überlegen, welche
Ordnung die gesamte Gruppe haben müsste.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mo 21.02.2011 | | Autor: | hilado |
Was sind antipodische Eckpunkte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
Die Neuseeländer sind unsere Antipoden. D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Mo 21.02.2011 | | Autor: | hilado |
> Ein (regelmäßiges) Ikosaeder hat verschiedene Arten von
> Drehsymmetrien: fünfzählige, dreizählige und
> zweizählige.
> Dabei geht die Drehachse
> bei den 5-zähligen durch zwei antipodische Eckpunkte,
> bei den 3-zähligen durch zwei antipodische Flächen ,
> bei den 2-zähligen durch zwei antipodische Kanten .
Ist das richtig?
> Nun kann man sich zunächst einmal überlegen, welche
> Ordnung die gesamte Gruppe haben müsste.
Leider hilft mir das jetzt nicht, zu verstehen, was wir nun für eine Menge haben in der Gruppe.
Ich nehme an, dass die Rotation unsere Funktion für die Gruppe ist, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> > Ein (regelmäßiges) Ikosaeder hat verschiedene Arten von
> > Drehsymmetrien: fünfzählige, dreizählige und
> > zweizählige.
> > Dabei geht die Drehachse
> > bei den 5-zähligen durch zwei antipodische Eckpunkte,
> > bei den 3-zähligen durch zwei antipodische Flächen ,
> > bei den 2-zähligen durch zwei antipodische Kanten .
>
> Ist das richtig?
Ja, isses.
> > Nun kann man sich zunächst einmal überlegen, welche
> > Ordnung die gesamte Gruppe haben müsste.
>
> Leider hilft mir das jetzt nicht, zu verstehen, was wir nun
> für eine Menge haben in der Gruppe.
>
> Ich nehme an, dass die Rotation unsere Funktion für die
> Gruppe ist, oder?
Jetzt kannst du mal versuchen, die Elemente der Menge aufzulisten. Wieviele von jeder Sorte gibt es?
Und dann käme der prickelnde Teil: die Verknüpfungstafel.
Viel Spaß dabei
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mo 21.02.2011 | | Autor: | hilado |
Ich habe 12 Knoten, die ich nummeriere: [mm] \{1, ..., 12 \}
[/mm]
Jeder Knoten hat 5 Kanten
12 * 5 = 60
doppeltes Abzählen: => 30 Kanten
eine Fläche wird von 3 Kanten begrenzt, eine Kante begrenzt 2 Flächen
2 * 30 = 3 * F
F = 20
=>
12 Knoten
30 Kanten
20 Flächen
sind also 62 Elemente ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich habe 12 Knoten, die ich nummeriere: [mm]\{1, ..., 12 \}[/mm]
>
> Jeder Knoten hat 5 Kanten
>
> 12 * 5 = 60
>
> doppeltes Abzählen: => 30 Kanten
>
> eine Fläche wird von 3 Kanten begrenzt, eine Kante
> begrenzt 2 Flächen
>
> 2 * 30 = 3 * F
> F = 20
>
> =>
> 12 Knoten
> 30 Kanten
> 20 Flächen
Das bestätigt den Eulerschen Polyedersatz: E + F = K + 2
> sind also 62 Elemente ?
Die Menge der Ecken, Kanten und Flächen eines Ikosaeders hat 62 Elemente, OK. Aber hier interessiert die Menge der Rotationen, das ist etwas völlig anderes.
Ich bin mir inzwischen nicht mehr sicher, ob du überhaupt den Sinn der Aufgabe erfaßt hast. Was meinst du?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 21.02.2011 | | Autor: | hilado |
Das ist ja mein Problem, ich weiß ja nicht wie die Menge ausschaut. Soll ich jetzt jedem Knoten, jeder Kante und jeder Fläche eine Bezeichnung geben und nun daraus eine Menge machen, wie z.B.
[mm] \{ (x, y) | x, y \in Menge aller Knoten, durch x und y verläuft eine Gerade, sodass der Ikosaeder rotieren kann \} \cup \{ dasselbe mit den Kanten \} \cup \{ dasselbe mit den Flächen \} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Di 22.02.2011 | | Autor: | statler |
Hi1
> Das ist ja mein Problem, ich weiß ja nicht wie die Menge
> ausschaut. Soll ich jetzt jedem Knoten, jeder Kante und
> jeder Fläche eine Bezeichnung geben und nun daraus eine
> Menge machen, wie z.B.
>
> [mm]\{ (x, y) | x, y \in Menge aller Knoten, durch x und y verläuft eine Gerade, sodass der Ikosaeder rotieren kann \} \cup \{ dasselbe mit den Kanten \} \cup \{ dasselbe mit den Flächen \}[/mm]
> ?
Nee, so nich. Die Menge besteht aus Abbildungen, die irgendwie die Ecken aufeinander abbilden, also Permutationen der Ecken sind. Den Abbildungen kann man griechische Namen geben wie [mm] \delta [/mm] oder so und dann hinschreiben:
[mm] \delta [/mm] = (1)(2 3 4 5 6)(11 10 9 8 7)(12).
Dieses [mm] \delta [/mm] ist die Drehung um die Achse durch die Ecken 1 und 12 um 72°.
Du solltest dazu wissen, was die Zyklen-Schreibweise von Permutationen ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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