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| Aufgabe | Für eine Menge X definieren wir die Potenzmenge p(X) als die Menge aller Teilmengen von X.
Definiere eine Verknüpfung [mm] \circ: [/mm] p(X) [mm] \times [/mm] p(X) [mm] \to [/mm] p(X) durch
A [mm] \circ [/mm] B := A [mm] \cup [/mm] B \ (A [mm] \cap [/mm] B)
Beweisen Sie, dass p(X) mit der Verknüpfung [mm] \circ [/mm] eine Gruppe ist. |
Hallo,
sitze gerade an der oben beschriebenen Aufgabe und weiß auch (ungefähr) was von mir verlangt wird.
Ich soll die Assoziativität, das rechtsneutrale Element, das rechtsinverse Element und die Kommutativität nachweisen.
meine Fragen wären jetzt:
1. geht es um ein und die selbe Potenzmenge? oder um verschiedene? (bei p(X) [mm] \times [/mm] p(X) [mm] \to [/mm] p(X)) Und was genau ist überhaupt mit der Aufgabenstellung gemeint?
2. Wenn ich z.B. die Assoziativität nachweisen möchte, brauche ich doch irgendetwas konkretes von dem ich ausgehen kann? In dem Fall p(X)? Ich habe auch noch Probleme mit [mm] \circ [/mm] , kann mir schwer vorstellen wie ich damit rechnen soll? Einfach einmal + und einmal * einsetzen?
Danke schonmal im Vorraus für eure Antworten 
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> Für eine Menge X definieren wir die Potenzmenge p(X) als
> die Menge aller Teilmengen von X.
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> Definiere eine Verknüpfung [mm]\circ:[/mm] p(X) [mm]\times[/mm] p(X) [mm]\to[/mm]
> p(X) durch
>
> A [mm]\circ[/mm] B := A [mm]\cup[/mm] B \ (A [mm]\cap[/mm] B)
>
> Beweisen Sie, dass p(X) mit der Verknüpfung [mm]\circ[/mm] eine
> Gruppe ist.
> Hallo,
>
> sitze gerade an der oben beschriebenen Aufgabe und weiß
> auch (ungefähr) was von mir verlangt wird.
>
> Ich soll die Assoziativität, das rechtsneutrale Element,
> das rechtsinverse Element und die Kommutativität
> nachweisen.
>
>
> meine Fragen wären jetzt:
>
> 1. geht es um ein und die selbe Potenzmenge?
Hallo,
es geht immer um ein und dieselbe Potenzmenge P(X).
Du hast für die Aufgabe eine Menge X felsenfest vorgegeben und betrachtest nun deren Potenzmenge, gemeinsam mit der oben definierten Verknüpfung [mm] \circ.
[/mm]
> oder um
> verschiedene? (bei p(X) [mm]\times[/mm] p(X) [mm]\to[/mm] p(X))
Dieses "p(X) [mm]\times[/mm] p(X)" ist, weil Du ja zwei Elemente aus P(X) miteinander verknüpfst,
und [mm] "\to [/mm] P(X)" sagt, daß wieder ein Element aus P(X) herauskommt.
Die Zeile
> A [mm]\circ[/mm] B := A [mm]\cup[/mm] B \ (A [mm]\cap[/mm] B)
erklärt, wie die Verknüpfung [mm] \circ [/mm] vonstatten gehen soll.
> Und was genau
> ist überhaupt mit der Aufgabenstellung gemeint?
>
> 2. Wenn ich z.B. die Assoziativität nachweisen möchte,
> brauche ich doch irgendetwas konkretes von dem ich ausgehen
> kann? In dem Fall p(X)?
Du mußt für die Assoziativität zeigen, daß für drei völlig beliebige Elemente A,B,C der Menge P(X) (also für [mm] A,B,C\subseteq [/mm] X) gilt
[mm] (A\circ B)\circ C=A\circ (B\circ [/mm] C)
Dafür mußt Du natürlich die Definition von [mm] \circ [/mm] verwenden.
> Ich habe auch noch Probleme mit
> [mm]\circ[/mm] , kann mir schwer vorstellen wie ich damit rechnen
> soll? Einfach einmal + und einmal * einsetzen?
Nein!!! Wie kommst Du denn auf sowas?
Guck oben: wenn Du zwei Mengen vermöge [mm] \circ [/mm] verknüpfen sollst, dann bildest Du ihre Vereinigung und nimmst davon ihren Durchschnitt weg.
Also wäre [mm] A\circ (B\circ C)=(A\cup (B\circ [/mm] C)) \ [mm] (A\cap (B\circ [/mm] C)) = usw. Immer mit den Definitionen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Do 22.10.2009 | | Autor: | tobster |
Ich habe auch noch eine Frage hierzu:
Zu zeigen ist ja das [mm] A\circ (B\circ C) = (A \circ B)\circ C [/mm]
Hier bin ich nun bei:
[mm]A\circ (B\circ C) = A \cup(B\cup C \backslash B\cap C) \backslash A\cap (B\cup C \backslash B\cap C))
=...
(A \cup B \backslash A\cap B) \cup C) \backslash ((A \cup B \backslash A\cap B )\cap C)
[/mm]
Kann mir jemand beim Zwischenschritt helfen. Wie komme ich darauf, dass es mathematisch korrekt ist, von 1 zu 2 überzugehen?
Hatte schon an Nulladdition (also sowas wie A geschnitten leere Menge) gedacht aber das geht auch nicht.
Zeichnerisch ist mir das klar...
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> Ich habe auch noch eine Frage hierzu:
> Zu zeigen ist ja das [mm]A\circ (B\circ C) = (A \circ B)\circ C[/mm]
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> Hier bin ich nun bei:
> [mm]A\circ (B\circ C) = A \cup(B\cup C \backslash B\cap C) \backslash A\cap (B\cup C \backslash B\cap C))
=...
(A \cup B \backslash A\cap B) \cup C) \backslash ((A \cup B \backslash A\cap B )\cap C)
[/mm]
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> Kann mir jemand beim Zwischenschritt helfen. Wie komme ich
> darauf, dass es mathematisch korrekt ist, von 1 zu 2
> überzugehen?
> Hatte schon an Nulladdition (also sowas wie A geschnitten
> leere Menge) gedacht aber das geht auch nicht.
> Zeichnerisch ist mir das klar...
Hallo,
das sieht ja wirklich bitterböse aus...
Ist Euch klar, daß die Verknüpfung [mm] \circ [/mm] die symmetrische Differenz ist?
Es war ja [mm] A\circ [/mm] B= [mm] (A\cup [/mm] B) \ ( [mm] A\cap [/mm] B), und das ist =(A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A).
Ich denke, mit dieser Darstellung ist die Assoziativität leichter zu zeigen.
Mal in Worten: in [mm] A\circ [/mm] B sind die Elemente, die in A oder B, aber nicht in beiden gleichzeitig sind. (![[]](/images/popup.gif) Bildchen)
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