Gruppe / Untergruppe < Kap 1: El. Gruppenth < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei G Gruppe, H [mm] \subseteq [/mm] G Teilmenge.
z.z.: H Ist U'gruppe [mm] \gdw [/mm] es gilt: H [mm] \not= \emptyset [/mm] und a,b [mm] \in [/mm] H => [mm] ab^{-1} \in [/mm] H |
Hallo zusammen 
Ich hatte mir den Beweis in zwei Teile eingeteilt: zunächst wollte ich zeigen, dass aus der linken seite die rechte folgt, und dann umgekehrt:
Beweis:
1.) "=>"
H ist U'gruppe => Existenz des neutralen Elements => ein element aus H gefunden, H also nicht leer [Aussage a.) gezeigt]
H ist U'gruppe => a, b [mm] \in [/mm] H => [mm] a^{-1} [/mm] , [mm] b^{-1} \in [/mm] H und a,b [mm] \in [/mm] H => ab [mm] \in [/mm] H
a, [mm] b^{-1} \in [/mm] H => [mm] ab^{-1} \in [/mm] H [Aussage b.) gezeigt]
Die "Hinrichtung" (*g*) ist also erledigt.
2.) "<="
Vorausetzung: H [mm] \not= \emptyset; [/mm] a, b [mm] \in [/mm] H => [mm] ab^{-1} \in [/mm] H
z.z.: H Ist U'gruppe
a, b [mm] \in [/mm] H => [mm] ab^{-1} \in [/mm] H
[mm] ab^{-1} [/mm] , a [mm] \in [/mm] H => [mm] ab^{-1} a^{-1} \in [/mm] H, also [mm] b^{-1} \in [/mm] H
Ist dieser Schritt richtig? eigetnlich bringe ich hier ein, dass [mm] ab^{-1} a^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1} [/mm] ist, also dass es kommutativ ist... Aber gilt das? glaube net...
Sonst komem ich bei der "rückrichtugn" irgendwie nicht weiter.. kann mir jemand sagen, was ich jetzt genau zeigen muss, und vielelicht auh ein kleiner Ansatz, wie? wäre nett...
LG
Fabian
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 So 05.11.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Fabian,
"=>" ist ja nicht allzu schwer, da gibt es also nichts weiter dazu zu sagen.
Zu "<=": Mit der Kommutativität hast Du recht, Dein Ansatz funktioniert so also erstmal nicht.
Mein Ansatz wäre erstmal zu zeigen, dass [mm] e\in [/mm] - das geht recht schnell indem man ein a [mm] \in [/mm] H wählt (geht, da H nicht leer) und dann die Bedingung mit b=a verwendet.
Hat man nun erstmal [mm] e\in [/mm] H, dann folgt der Rest eigentlich fast von alleine...
Gruß
piet
|
|
|
|
