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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 So 02.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | Seien M und N nicht leere Mengen und sei N [mm] \subseteq [/mm] M. Für alle f [mm] \in S_{N} [/mm] definieren wir [mm] \overline{f} [/mm] = [mm] \begin{cases} f(m), & \mbox{falls} m \mbox{ \in N} \\ m, & \mbox{falls} m \mbox{ \not\in N} \end{cases} [/mm]
(Irgendwie mag Tex an der Stelle nicht. [mm] \overline{f} [/mm] = f(m) falls m [mm] \in [/mm] N und [mm] \overline{f} [/mm] = m falls m [mm] \not\in [/mm] N )
für alle m [mm] \in [/mm] M.
1. beweisen Sie, dass [mm] \overline{f} \in S_{M} [/mm] gilt.
2. Beweisen Sie, dass die Abbildung F: [mm] S_{N} \rightarrow S_{M} [/mm] definiert durch F(f) = [mm] \overline{f} [/mm] für alle f [mm] \in S_{N} [/mm] injektiv ist
3. Beweisen Sie, dass die im zweiten Teil der Aufgabe definierte Abbildung F genau dann surjektiv ist, wenn M = N gilt.
[Anmerkung von mir: [mm] S_{M} [/mm] ist die Menge aller bijektiven Abbildungen von M nach M] |
Ich hab überhaupt keinen plan, was die aufgabe von mir will.
Ich verstehe leider nur den sprichwörtlichen Bahnhof :(
Suche Fahrkarte ;)
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> Seien M und N nicht leere Mengen und sei N [mm]\subseteq[/mm] M. Für
> alle f [mm]\in S_{N}[/mm] definieren wir
[mm]\ \overline{f}(m)= \begin{cases} f(m), & \mbox{falls}\quad m \in N \\ m, & \mbox{falls}\quad m \not\in N \end{cases}[/mm]
> für alle m [mm]\in[/mm] M.
>
> 1. beweisen Sie, dass [mm]\overline{f} \in S_{M}[/mm] gilt.
> 2. Beweisen Sie, dass die Abbildung F: [mm]S_{N} \rightarrow S_{M}[/mm]
> definiert durch F(f) = [mm]\overline{f}[/mm] für alle f [mm]\in S_{N}[/mm]
> injektiv ist
> 3. Beweisen Sie, dass die im zweiten Teil der Aufgabe
> definierte Abbildung F genau dann surjektiv ist, wenn M = N
> gilt.
>
> [Anmerkung von mir: [mm]S_{M}[/mm] ist die Menge aller bijektiven
> Abbildungen von M nach M]
Hallo Susann,
ich will's mal versuchen. Wenigstens mal zum ersten Teil:
Für endliche Mengen ist ja z.B. [mm] S_N [/mm] die Menge der Permutationen von N.
[mm] \overline{f} [/mm] ist die Erweiterung der Abbildung f von der Definitionsmenge
N auf die (ev. grössere) Definitionsmenge M. Dabei lässt [mm] \overline{f} [/mm] alle
Elemente in [mm] M\backslash{N} [/mm] "in Ruhe". [mm] \overline{f}_N [/mm] (Einschränkung von [mm] \overline{f} [/mm] auf N)
ist mit f identisch, also definitionsgemäss bijektiv. [mm] \overline{f}_{M\backslash N} [/mm] ist die
Identitätsabbildung [mm] $\I1_{M \backslash{N}}$ [/mm] und damit ebenfalls bijektiv.
Weil die Definitions/Bildbereiche von [mm] \overline{f}_N [/mm] und [mm] \overline{f}_{M\backslash N} [/mm] disjunkt
sind (und natürlich [mm] N\cup(M\backslash{N})=M), [/mm] ist also auch [mm] \overline{f}_M [/mm] bijektiv.
Gruß  Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
Hallo!
Also nummer 1 habe ich inzwischen selbst gelöst (nach hartem Kampf mit der erklärung)
jetz gehts noch um nummer 2 und drei.
ich habe ja selbst einen ansatzfür nummer 2, aber der bringt mich nicht weiter.
ich sende ihn hier mal mit rein:
1. Fall n [mm] \in [/mm] N
[mm] \overline{f}_{1}(n) [/mm] = [mm] f_{1}(n)
[/mm]
[mm] \overline{f}_{2}(n) [/mm] = [mm] f_{2}(n)
[/mm]
da [mm] f_{1} \not= f_{2} [/mm] folgt [mm] \overline{f}_{2} \not= \overline{f}_{1} [/mm] und daraus dann [mm] F(f_{2}) \not= F(f_{1}), [/mm] was injektivität bedeutet.
2. Fall n [mm] \in [/mm] M/N
und da ist mein problem
bei 3. ist mein Lösungsweg ergebnislos.....
kann mir jemand helfen?
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> Hallo!
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> Also nummer 1 habe ich inzwischen selbst gelöst (nach
> hartem Kampf mit der erklärung)
>
> jetz gehts noch um nummer 2 und drei.
> ich habe ja selbst einen ansatzfür nummer 2, aber der
> bringt mich nicht weiter.
>
> ich sende ihn hier mal mit rein:
> 1. Fall n [mm]\in[/mm] N
> [mm]\overline{f}_{1}(n)[/mm] = [mm]f_{1}(n)[/mm]
> [mm]\overline{f}_{2}(n)[/mm] = [mm]f_{2}(n)[/mm]
> da [mm]f_{1} \not= f_{2}[/mm] folgt [mm]\overline{f}_{2} \not= \overline{f}_{1}[/mm]
> und daraus dann [mm]F(f_{2}) \not= F(f_{1}),[/mm] was injektivität
> bedeutet.
>
> 2. Fall n [mm]\in[/mm] M/N
>
> und da ist mein problem
Ich denke, da ist gar keines mehr. Betrachten wir
zwei Funktionen [mm] f_1, f_2 \in S_N [/mm] mit [mm] f_1\not= f_2. [/mm] Dies bedeutet,
dass es mindestens ein Element [mm] n\in [/mm] N gibt mit
[mm] f_1(n)\not= f_2(n). [/mm] Dann ist auch [mm] \overline{f}_1(n)\not= \overline{f}_2(n). [/mm] Daraus allein
folgt schon, dass [mm] \overline{f}_1\not=\overline{f}_2. [/mm] Da dies für alle Paare
[mm] (f_1,f_2)\in S_N\times S_N [/mm] gilt, ist die Abbildung F injektiv.
Das Verhalten der Funktionen [mm] \overline{f}_1 [/mm] und [mm] \overline{f}_2 [/mm] auf
der Restmenge [mm] M\backslash{N} [/mm] ändert daran nichts.
> bei 3. ist mein Lösungsweg ergebnislos.....
zu zeigen ist hier: M=N [mm] \gdw [/mm] F surjektiv
1.) Wenn M=N ist, dann ist auch [mm] S_M=S_N [/mm] , und F ist die
identische Abbildung dieser Menge: [mm] F=1_{S_M} [/mm] und als
solche natürlich surjektiv.
2.) Für die Umkehrung ein indirekter Beweis: wir zeigen:
Ist [mm] M\not=N, [/mm] dann ist F nicht surjektiv.
Sei also [mm] M\not=N. [/mm] Dann enthält [mm] M\backslash{N} [/mm] mindestens
ein Element. Picken wir eines heraus: [mm] b\in M\backslash{N}.
[/mm]
Ebenso enthält N nach Voraussetzung mindestens ein
Element. a sei eines davon.
Die Funktion g mit g(a)=b, g(b)=a und g(x)=x für alle
[mm] x\in M\backslash\{a,b\} [/mm] ist in [mm] S_M, [/mm] aber nicht in [mm] S_N, [/mm] weil [mm] g(a)=b\not\in [/mm] N.
Es gibt keine Funktion [mm] f\in S_N [/mm] mit [mm] F(f)=\overline{f}=g,
[/mm]
da für ein solches f gelten müsste [mm] f(a)=g_N(a)=g(a)=b\in [/mm] N,
was aber nicht der Fall ist. Also ist F nicht surjektiv. Im
Umkehrschluss folgt: Ist F surjektiv, dann muss M=N sein.
Viele Grüße ! ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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