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| Aufgabe | Es sei $G$ eine Menge und [mm] $\cdot [/mm] : G [mm] \times [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] G, (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \cdot [/mm] y$
1. Man beweise: Wenn $(G, [mm] \cdot)$ [/mm] eine Gruppe ist, dann besitzt für je zwei Elemente $a,b$ in $G$ jede der beiden Gleichungen
$a [mm] \cdot [/mm] x = b$ und $y [mm] \cdot [/mm] a = b$
genau eine Lösung $x$ bzw. $y$ in $G$.
2. Man beweise: Wenn folgende drei Voraussetzungen erfüllt sind
(a) $G [mm] \not= \emptyset$;
[/mm]
(b) die Verknüpfung [mm] "\cdot" [/mm] erfüllt das Assoziativgesetz;
(c) für je zwei Elemente $a,b$ in $G$ besitzt jede der beiden Gleichungen
[quote] $a [mm] \cdot [/mm] x = b$ und $y [mm] \cdot [/mm] a = b$
(mindestens) eine Lösung $x$ bzw. y in G;
dann ist $(G, [mm] \cdot)$ [/mm] eine Gruppe. |
1. Hatte ich schnell gelöst.
ax = b erweitern mit [mm] a^{-1} [/mm] also dem Inversen
[mm] a^{-1}ax [/mm] = [mm] a^{-1}b
[/mm]
ex = [mm] a^{-1}b [/mm] e ist neutrales Element
x = [mm] a^{-1}b
[/mm]
ya = b erweitern mit [mm] a^{-1}
[/mm]
[mm] yaa^{-1} [/mm] = [mm] ba^{-1}
[/mm]
ye = [mm] ba^{-1}
[/mm]
y = [mm] ba^{-1}
[/mm]
Ich denke, das geht als Beweis durch.
Zu 2.
Hier hänge ich. Unsere Axiome sind:
G.1 Assoziativitätsgesetz $(a [mm] \cdot b)\cdot [/mm] c = a [mm] \cdot [/mm] (b [mm] \cdot [/mm] c) = a [mm] \cdot [/mm] b [mm] \cdot [/mm] c$
G.2 [mm] \exists [/mm] neutrales Element $a [mm] \cdot [/mm] e = a$
G.3 [mm] \exists [/mm] inverses Element $a [mm] \cot a^{-1} [/mm] = e$
und wenn abelsch
G.4 Kommutativgesetz
G.1 folgt direkt aus b).
Kann ich sagen, G.2 folgt aus dem ersten, da dort die Inverse gebraucht wurde zum Lösen und $a [mm] \cot a^{-1} [/mm] = e$ und damit ein neutrales Element existiert?
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> Es sei [mm]G[/mm] eine Menge und [mm]\cdot : G \times G \rightarrow G, (x,y) \mapsto x \cdot y[/mm]
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> 1. Man beweise: Wenn [mm](G, \cdot)[/mm] eine Gruppe ist, dann
> besitzt für je zwei Elemente [mm]a,b[/mm] in [mm]G[/mm] jede der beiden
> Gleichungen
> [mm]a \cdot x = b[/mm] und [mm]y \cdot a = b[/mm]
> genau eine Lösung [mm]x[/mm] bzw. [mm]y[/mm] in [mm]G[/mm].
>
> 2. Man beweise: Wenn folgende drei Voraussetzungen erfüllt
> sind
>
> (a) [mm]G \not= \emptyset[/mm];
> (b) die Verknüpfung [mm]"\cdot"[/mm] erfüllt
> das Assoziativgesetz;
> (c) für je zwei Elemente [mm]a,b[/mm] in [mm]G[/mm] besitzt jede der beiden
> Gleichungen
> [mm]a \cdot x = b[/mm] und [mm]y \cdot a = b[/mm]
> (mindestens) eine Lösung
> [mm]x[/mm] bzw. y in G;
>
> dann ist [mm](G, \cdot)[/mm] eine Gruppe.
> 1. Hatte ich schnell gelöst.
>
> ax = b erweitern mit [mm]a^{-1}[/mm] also dem Inversen
> [mm]a^{-1}ax[/mm] = [mm]a^{-1}b[/mm]
> ex = [mm]a^{-1}b[/mm] e ist neutrales Element
> x = [mm]a^{-1}b[/mm]
>
> ya = b erweitern mit [mm]a^{-1}[/mm]
> [mm]yaa^{-1}[/mm] = [mm]ba^{-1}[/mm]
> ye = [mm]ba^{-1}[/mm]
> y = [mm]ba^{-1}[/mm]
>
> Ich denke, das geht als Beweis durch.
Hallo,
ich denke nicht...
Die Gedanken, die Du hast, sind natürlich völlig richtig.
Ich bin mir aber überhaupt nicht sicher, ob Du erkannt hast, daß hier zweierlei zu zeigen ist:
die Existenz der Lösung und ihre Eindeutigkeit.
Diese Aufgabe sieht so aus, als würde sie dem 1. Semester entstammen, oder den allerersten Anfängen der Algebravorlesung.
Du kannst hier nicht einfach naßforsch mit [mm] a^{-1} [/mm] ankommen, sondern Du mußt erstmal darüber nachdenken, ob es das überhaupt gibt. Und das auch hinschreiben. Es geht ja darum, daß das Ganze einen nachzuvollziehenden Ablauf hat.
>
> Zu 2.
> Hier hänge ich. Unsere Axiome sind:
> G.1 Assoziativitätsgesetz [mm](a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c[/mm]
>
> G.2 [mm]\exists[/mm] neutrales Element [mm]a \cdot e = a[/mm]
> G.3 [mm]\exists[/mm]
> inverses Element [mm]a \cot a^{-1} = e[/mm]
> und wenn abelsch
> G.4 Kommutativgesetz
>
> G.1 folgt direkt aus b).
> Kann ich sagen, G.2 folgt aus dem ersten, da dort die
> Inverse gebraucht wurde zum Lösen und [mm]a \cot a^{-1} = e[/mm] und
> damit ein neutrales Element existiert?
Nein. Mit einem inversen Element darfst Du gar nicht arbeiten. Dessen Existenz ist doch nicht gesichert sondern muß erst gezeigt werden.
Du mußt direkt aus dem in der Aufgabe angegebenen Bedingungen folgern.
Gruß v. Angela
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Zur ersten Aufgabe, Voraussetzung ist $(G, [mm] \cdot)$ [/mm] ist eine Gruppe. Damit existiert doch ein inverses Element, denn sonst wäre G.3 nicht erfüllt und G wäre keine Gruppe. Wie beweise ich die Existenz meines Ergebnisses?
Bei der zweiten müsste ich mir noch Gedanken machen, aber leider rennt mir die Zeit davon, ich muss es heute um 12 abgegeben haben.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Do 24.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Zur ersten Aufgabe, Voraussetzung ist [mm](G, \cdot)[/mm] ist eine
> Gruppe. Damit existiert doch ein inverses Element, denn
> sonst wäre G.3 nicht erfüllt und G wäre keine Gruppe. Wie
> beweise ich die Existenz meines Ergebnisses?
Bei der ersten Aufgabe darfst Du die Existenz des Inversen schon voraussetzen - wir sind ja schließlich in einer Gruppe. Man kann vielleicht noch eine kurze Bemerkung dazuschriben, dass [mm] a^{-1} [/mm] existiert, weil...
Was in jedem Fall noch fehlt ist die Eindeutigkeit der Lösung. D.h. wenn es x und x' gibt mit $a [mm] \cdot [/mm] x = b $ und $a [mm] \cdot [/mm] x' = b $ , dann ist x= x'.
Als kleine Starthife:
$ x = [mm] (a^{-1} [/mm] a) x = [mm] a^{-1} [/mm] (a x) = [mm] \ldots [/mm] = x'$
Du musst jetzt noch die [mm] \ldots [/mm] durch eine entsprechende Rechnung ersetzen, in der Du verwendest, dass $a [mm] \cdot [/mm] x = b $ und $a [mm] \cdot [/mm] x' = b $.
>
> Bei der zweiten müsste ich mir noch Gedanken machen, aber
> leider rennt mir die Zeit davon, ich muss es heute um 12
> abgegeben haben.
G1 ist klar, das steht ja schon da.
Zu G2: betrachte die Gleichung $a [mm] \cdot [/mm] x = a$
Zu G3: Dazu muss man ja G2 schon gezeigt haben. Dann gibt es also ein neutrales Element $e$ und wir betrachten die Gleichung $ [mm] a\cdot [/mm] x = e$
G4 musst Du nicht zeigen, denn es ist nirgends gesagt, dass die Gruppe abelsch sein muss.
Ausserdem musst Du beachten, dass meine Skizzen nur die Existenz eines rechtsneutralen bzw. rechtsinversen Elements gezeigt habe. Du musst natürlich noch die andere Gleichung verwenden, um zu zeigen, dass es auch ein neutrales und inverses Element "von links" gibt.
Gruß
piet
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