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| Aufgabe | Aufgabe G38
Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung 1225.
Lösung: Sei G eine Gruppe der Ordnung [mm] $5^2*7^2 [/mm] = 1225$. Dann hat G genau eine 5-Sylowgruppe und auch genau eine
7-Sylowgruppe, nach dem Satz von Sylow. Diese sind beide normal in G. G ist also das direkte Produkt einer 5-Gruppe
der Ordnung [mm] $5^2$ [/mm] mit einer 7-Gruppe der Ordnung 72. Aus G20 wissen wir, daß diese beiden Gruppen abelsch sind. Da
eine Gruppe der Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] abelsch ist, sind die Gruppen isomorph zu [mm] $\IZ/ p\IZ \oplus \IZ/p\IZ$ [/mm] oder [mm] $\IZ/ p^2\IZ, [/mm] p = 5, 7$. |
Hallo, ich hätte mal paar Fragen zu dieser Aufgabe.
Also, bist jetzt kann ich nachvollziehen, dass G eine Sylowgruppe ist und genau eine 5-Sylowgruppe und genau eine 7-Sylowgruppe besitzt.
Daraus folgt dann, dass beide die Ordnung [mm] $5^2$ [/mm] bzw. [mm] $7^2$ [/mm] haben.
Dann habe ich schon die erste Frage, wieso folgt dann daraus, dass G das direkte Produkt von beiden ist? Gut, sie schneiden sich als zwei p-Gruppen zu verschiedenen Primzahlen nur im neutralen Element, aber reicht das schon aus?
Weiter wissen wir, dass Gruppen mit Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] abelsch sind. Aber wieso folgt dann direkt, dass G zu [mm] $\IZ/ p\IZ \oplus \IZ/p\IZ$ [/mm] oder [mm] $\IZ/ p^2\IZ, [/mm] p = 5, 7$ isomorph sind?
Heisst das sie sind isomorph zu [mm] $\IZ/ 5\IZ \oplus \IZ/5\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/ 5^2\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/ 7\IZ \oplus \IZ/7\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/ 7^2\IZ$?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Do 11.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Aufgabe G38
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> Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung
> 1225.
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> Lösung: Sei G eine Gruppe der Ordnung [mm]5^2*7^2 = 1225[/mm]. Dann
> hat G genau eine 5-Sylowgruppe und auch genau eine
> 7-Sylowgruppe, nach dem Satz von Sylow. Diese sind beide
> normal in G. G ist also das direkte Produkt einer 5-Gruppe
> der Ordnung [mm]5^2[/mm] mit einer 7-Gruppe der Ordnung 72. Aus G20
> wissen wir, daß diese beiden Gruppen abelsch sind. Da
> eine Gruppe der Ordnung [mm]p^2[/mm] abelsch ist, sind die Gruppen
> isomorph zu [mm]\IZ/ p\IZ \oplus \IZ/p\IZ[/mm] oder [mm]\IZ/ p^2\IZ, p = 5, 7[/mm].
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> Hallo, ich hätte mal paar Fragen zu dieser Aufgabe.
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> Also, bist jetzt kann ich nachvollziehen, dass G eine
> Sylowgruppe ist und genau eine 5-Sylowgruppe und genau eine
> 7-Sylowgruppe besitzt.
> Daraus folgt dann, dass beide die Ordnung [mm]5^2[/mm] bzw. [mm]7^2[/mm]
> haben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann habe ich schon die erste Frage, wieso folgt dann
> daraus, dass G das direkte Produkt von beiden ist? Gut, sie
> schneiden sich als zwei p-Gruppen zu verschiedenen
> Primzahlen nur im neutralen Element, aber reicht das schon
> aus?
Nun, wann immer du zwei Normalteiler [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_2$ [/mm] mit [mm] $N_1 \cap N_2 [/mm] = [mm] \{ e \}$ [/mm] hast, dann gilt [mm] $N_1 N_2 [/mm] = [mm] N_2 N_1$, [/mm] dies ist eine Untergruppe, und [mm] $N_1 N_2 \cong N_1 \times N_2$.
[/mm]
Hattet ihr sowas evtl. in der Vorlesung?
> Weiter wissen wir, dass Gruppen mit Ordnung [mm]p^2[/mm] abelsch
> sind. Aber wieso folgt dann direkt, dass G zu [mm]\IZ/ p\IZ \oplus \IZ/p\IZ[/mm]
> oder [mm]\IZ/ p^2\IZ, p = 5, 7[/mm] isomorph sind?
Nun, das besagt der Hauptsatz ueber endlich erzeugte abelsche Gruppen. Den hast du doch in der anderne Aufgabe bei c) und d) auch schon verwendet, unbekannt scheint er dir also nicht zu sein!
> Heisst das sie sind isomorph zu [mm]\IZ/ 5\IZ \oplus \IZ/5\IZ[/mm]
> und [mm]\IZ/ 5^2\IZ[/mm] und [mm]\IZ/ 7\IZ \oplus \IZ/7\IZ[/mm] und [mm]\IZ/ 7^2\IZ[/mm]?
Eins von beiden, jeweils.
LG Felix
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> > Dann habe ich schon die erste Frage, wieso folgt dann
> > daraus, dass G das direkte Produkt von beiden ist? Gut, sie
> > schneiden sich als zwei p-Gruppen zu verschiedenen
> > Primzahlen nur im neutralen Element, aber reicht das schon
> > aus?
>
> Nun, wann immer du zwei Normalteiler [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm] mit [mm]N_1 \cap N_2 = \{ e \}[/mm]
> hast, dann gilt [mm]N_1 N_2 = N_2 N_1[/mm], dies ist eine
> Untergruppe, und [mm]N_1 N_2 \cong N_1 \times N_2[/mm].
>
> Hattet ihr sowas evtl. in der Vorlesung?
Sind das dann auch alle paarweise disjunkte Normalteiler von G?
Ich kann mich jetzt nicht an einen Satz aus der Vorlesung erinnern, aber kann es sein, dass es auch noch andere Normalteiler gibt, die disjunkt zu [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_2$ [/mm] sind?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Fr 12.08.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Sind das dann auch alle paarweise disjunkte Normalteiler
> von G?
> Ich kann mich jetzt nicht an einen Satz aus der Vorlesung
> erinnern, aber kann es sein, dass es auch noch andere
> Normalteiler gibt, die disjunkt zu [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm] sind?
Deine Gruppe G ist doch auf Grund des bisher Gesagten notgedrungen abelsch, also sind alle Untergruppen NT; da du ihre Struktur kennst (naja, 4 Möglichkeiten), kannst du die Untergruppen auflisten.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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