Gruppe G mit neutralem Element < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Do 01.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e. Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) Ist x² = e für alle x Element G, dann ist G abelsch.
(b) Ist (xy)² = x²y² für alle x,y Element G, dann ist G abelsch. |
Ich bin ein Student und erst im Grundstudium Mathematik,der verzweifelt eine Lösung für diese Aufgabe hier sucht. Wäre jemand von euch vielleicht so lieb und könnte ein wenig Zeit aufbringen,um mir bei dieser Aufgabe ein wenig zu helfen?
Mein Ansatz: Begriff: Abelsche Gruppe (=kommutative Gruppe);
Gruppe (G, °), für die das Kommutativgesetz
a ° b = b ° a für alle a, b Element G gilt.
Nur wie wende ich diesen Satz genau an?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Do 01.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
a*b ist Element der Gruppe, also gilt [mm] (ab)^2=e [/mm] ebenso [mm] (ba)^2=e
[/mm]
daraus [mm] (ab)^2*(ba)^2=e [/mm] jetzt auflosen in ababbaba und bb=e und aa=e verwenden.
ich glaub maan braucht noch
[mm] (ba)^2*(ab)^2=e
[/mm]
Dann müsstest du durchkommen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 So 04.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
Also,ich bin ja noch ein richtiger Neueinsteiger.Könnte bitte jemand von euch mir sagen,dass ich diese Aufgabe richtig verstanden habe oder nicht?
x²=e für alle x Element G soll abelsch sein,das heißt Kommutativgesetz muss gelten: a ° b = b ° a für alle a,b Element G
für x kann ich schreiben a*b
also:
(ab)² = e
abab =e
(ba)² =e
baba=e
(ab)² * (ba)² = e= ababbaba =e
(ba)² * (ab)² = e = babaabab =e
daraus folgt dann G ist abelsch
nur zu Aufgabe b) nun:
kann ich hier x mit ab ersetzen und y mit cd? Also,dass:
(ab*cd)² = e = abcdabcd
(cd*ab)² = e = cdabcdab
(ab*cd)² * (cd*ab)² = e =abcdabcdcdabcdab
Ist das so ungefähr richtig? Wenn nicht dann korrigiert mich bitte. LG
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Hallo,
zur Erinnerung die Aufgabenstellung
>>> (a) Ist x² = e für alle x Element G, dann ist G abelsch.
> x²=e für alle x Element G soll abelsch sein,das heißt
> Kommutativgesetz muss gelten: a ° b = b ° a für alle a,b
> Element G
Deine Formulierung ist etwas unklar.
Zeigen soll man:
Wenn für alle [mm] x\in [/mm] G gilt [mm] x^2=e, [/mm] so ist G abelsch, dh es gilt dann für alle [mm] a,b\in [/mm] G: ab=ba.
> für x kann ich schreiben a*b
Seien a,b [mm] \in [/mm] G.
Dann ist, da G Gruppe ist, auch ab [mm] \in [/mm] G.
Nach Voraussetzung gilt
> also:
> (ab)² = e
> abab =e
Wofür das Weitere, was Du schreibst dient, verstehe ich nicht, insbesondere kann ich dem Schluß am Ende nicht folgen. Hast Du ihn verstanden.
Aber Du kannst es Dir doch hier jetzt recht einfach machen: multipliziere abab =e von vorne mit a, von hinten mit b.
Was hast Du dann?
>
> (ba)² =e
> baba=e
>
> (ab)² * (ba)² = e= ababbaba =e
>
> (ba)² * (ab)² = e = babaabab =e
> daraus folgt dann G ist abelsch
>
> nur zu Aufgabe b) nun:
Hier ist zu zeigen:
>>> (b) Ist (xy)² = x²y² für alle x,y Element G, dann ist G abelsch.
>
> kann ich hier x mit ab ersetzen und y mit cd?
Kann man machen, bloß wofür?
> Also,dass:
>
> (ab*cd)² = e = abcdabcd
> (cd*ab)² = e = cdabcdab
>
> (ab*cd)² * (cd*ab)² = e =abcdabcdcdabcdab
Und nun??? Was sagt uns das???
Es gelte für alle x,y [mm] \in [/mm] G (xy)² = x²y² .
Zu zeigen: dann ist für alles x,y [mm] \in [/mm] G xy=yx.
Bew.:
(xy)² = x²y²
<==> xyxy=xxyy
Nun multipliziere von vorn mit dem Inversen von x, dann von hinten mit dem Inversen von y.
Gruß v. Angela
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