Gruppe, Beweis < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und a [mm] \in [/mm] G:
Zeige mittels induktion [mm] (a^n)^{-1} [/mm] = [mm] (a^{-1})^n \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Anmerkung: dabei soll ich nicht verwenden [mm] a^m a^n [/mm] = [mm] a^{m+n} \forall [/mm] m,n [mm] \in \IZ. [/mm] |
Der Beweis ist meinen Skript übernommen:
Induktionsanfang ist für n=1 klar.
I.V: Wenn [mm] (a^n)^{ -1 } [/mm] = [mm] (a^{-1})^n [/mm] schon gezeigt, dann [mm] a^n (a^{-1})^n [/mm] = e
I.Schritt [mm] (a^{n+1})(a^{-1})^{n+1} [/mm] = [mm] a^n [/mm] a [mm] a^{-1} (a^{-1})^n [/mm] = [mm] a^n (a^{-1})^n [/mm] = e
=> [mm] (a^{n+1})^{-1} [/mm] = [mm] (a^{-1})^{n+1}
[/mm]
Frage: [mm] (a^{n+1}) (a^{-1})^{n+1} [/mm] = [mm] a^n [/mm] a [mm] a^{-1} (a^{-1})^n
[/mm]
Wieso "darf" ich das=? Der Professor argumentierte mit der assoziativität für endliche Faktoren. Ich verstehe jedoch nicht , wieso es die begebenheit erklärt
Mfg LU
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mo 08.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei G eine Gruppe und a [mm]\in[/mm] G:
> Zeige mittels induktion [mm](a^n)^{-1}[/mm] = [mm](a^{-1})^n \forall[/mm] n
> [mm]\in \IN[/mm]
>
>
> Anmerkung: dabei soll ich nicht verwenden [mm]a^m a^n[/mm] = [mm]a^{m+n} \forall[/mm]
> m,n [mm]\in \IZ.[/mm]
> Der Beweis ist meinen Skript übernommen:
>
> Induktionsanfang ist für n=1 klar.
>
> I.V: Wenn [mm](a^n)^{ -1 }[/mm] = [mm](a^{-1})^n[/mm] schon gezeigt, dann [mm]a^n (a^{-1})^n[/mm]
> = e
> I.Schritt [mm](a^{n+1})(a^{-1})^{n+1}[/mm] = [mm]a^n[/mm] a [mm]a^{-1} (a^{-1})^n[/mm]
> = [mm]a^n (a^{-1})^n[/mm] = e
>
> => [mm](a^{n+1})^{-1}[/mm] = [mm](a^{-1})^{n+1}[/mm]
>
> Frage: [mm](a^{n+1}) (a^{-1})^{n+1}[/mm] = [mm]a^n[/mm] a [mm]a^{-1} (a^{-1})^n[/mm]
>
> Wieso "darf" ich das=? Der Professor argumentierte mit der
> assoziativität für endliche Faktoren. Ich verstehe jedoch
> nicht , wieso es die begebenheit erklärt
Im Moment sehe ich Dein Problem nicht. Für b [mm] \in [/mm] G ist doch
[mm] $b^{n+1}=b^n*b=b*b^n$ [/mm] (n [mm] \in \IN).
[/mm]
Das lässt sich, wenn Du magst, locker induktiv zeigen.
FRED
>
> Mfg LU
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Lu- |
> Im Moment sehe ich Dein Problem nicht. Für b $ [mm] \in [/mm] $ G ist doch
> $ [mm] b^{n+1}=b^n\cdot{}b=b\cdot{}b^n [/mm] $ (n $ [mm] \in \IN). [/mm] $
Aber genau dass darf ich doch nicht verwenden, weil mittels dem wollen wir dann zeigen,n dass [mm] a^{m} a^{n}=a^{m+n} \forall [/mm] m,n [mm] \in \IZ [/mm] und a [mm] \in [/mm] G(Gruppe). Das ist doch eine Anwendung des lemmas?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mo 08.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann musst du das halt mit Induktion beweisen.
Gruss leduart
|
|
|
|
