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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Di 04.01.2005 | | Autor: | arzoo |
Eine Gruppe ist eine Menge G, auf die eine Binäre Operation ( o ) definiert ist , falls Assoziativität , Identitätselement , Inverse da ist. Jetzt sollen wir zeigen , dass die Menge Z eine Gruppe bezüglich der Addition ist.
Also ich weiß, dass ich zeigen muss , dass die Addition der ganzen Zahlen abgeschlossen ist, dass die Assoziativität gilt ((a+b)+c=a+(b+c)), dass es genau ein neutrales Element gibt (vielleicht ist es ja die Null?) und dass zu jeder ganzen Zahl genau ein additives Inverses existiert (Zu einem a aus Z wird es meist -a genannt ).
Aber ich weiß nicht wie ich das mathematich zeigen muss , kann mir da jemand helfen ?
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Hallo!
> Eine Gruppe ist eine Menge G, auf die eine Binäre Operation
> ( o ) definiert ist , falls Assoziativität ,
> Identitätselement , Inverse da ist. Jetzt sollen wir zeigen
> , dass die Menge Z eine Gruppe bezüglich der Addition
> ist.
>
> Also ich weiß, dass ich zeigen muss , dass die Addition der
> ganzen Zahlen abgeschlossen ist, dass die Assoziativität
> gilt ((a+b)+c=a+(b+c)), dass es genau ein neutrales Element
> gibt (vielleicht ist es ja die Null?) und dass zu jeder
> ganzen Zahl genau ein additives Inverses existiert (Zu
> einem a aus Z wird es meist -a genannt ).
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> Aber ich weiß nicht wie ich das mathematich zeigen muss ,
> kann mir da jemand helfen ?
Gib mal ein Beispiel her, dann kann ich es dir vorrechnen. Ansonsten kann ich dir schon mal sagen, dass man die Assoziativität meistens relativ einfach einfach hinschreiben kann, du "berechnest" also einmal (a+b)+c und einmal a+(b+c) und erhältst in der Regel dasselbe (jedenfalls, wenn du es weit genug umgeformt hast).
Bei neutralem und Inversem Element reicht es in der Regel, dieses Element anzugeben, und dann nachzuweisen, dass es das besagte ist. Wenn du also eine beliebige additive Verknüpfung hast, wird das neutrale Element ähnlich wie die "0" der natürlichen Zahlen aussehen, vielleicht ist es auch genau die 0. Das siehst du dann durch einfaches Ausprobieren.
Irgendwo wurden dazu hier auch schon ein paar Aufgaben besprochen, vielleicht suchst du mal in etwas älteren Threads vermutlich in der Uni-Linearen-Algebra.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Di 04.01.2005 | | Autor: | arzoo |
wir haben aber keine beispiele bekommen die ich hier nennen könnte ,wir sollen das ja allgemein für alle beweisen und gerade das fällt mir ja so schwer den ich weiß nicht wie man das zeigt ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Di 04.01.2005 | | Autor: | moudi |
Also ich glaube die Aufgabe ist einfacher als du denkst. Es geht nur darum, sich klarzumachen, was die Gruppenaxiome sind (ist im wesentlichen eine Fleissarbeit).
i) Z is abgeschlossen unter der Additon: Sind a, b ganze Zahlen, dann
ist a+b eine ganze Zahl.
ii) Die Addition ist assoziativ, das ist klar (oder willst du es aus den
Peano-Axiomen beweisen? Dann wird es allerdings aufwändig.)
iii) Es existiert ein Neutralelement der Addition, nämlich die 0, denn
a+0=0+a=a
iv) Zu jeder Zahl a existiert Inverses bezüglich der Addition,
nämlich -a. Es gilt a+(-a)=(-a)+a=0.
Also ist (IZ, +) eine Gruppe.
mfG Moudi.
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