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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:27 Mi 03.11.2004 | | Autor: | geckolux |
hy liebe Mitglieder,
ich habe folgendes Problem:
Eine (nihct leere) Menge G mit der Verknüpfung o : (a,b) -> a o b heisst Gruppe wenn gilt
- a o (b o c) = (a o b) o c für alle a,b,c ε G
- Es gibt ein Element e ε G mit e o a = a für alle a ε G.
Warum muss man hier nicht auch a o e = a beweisen?
-Zu jedem a ε G gibt es ein Element a´in G mit a´ o a = e
Warum muss man hier nicht auch a o a´= e beweisen?
kann jemand mir bitte helfen und sagen warum man nur eine Seite beweisen mus und nicht die andere?
vielen dank im voraus
gecko
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo geckolu,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Eine (nihct leere) Menge G mit der Verknüpfung o : (a,b) ->
> a o b heisst Gruppe wenn gilt
> - a o (b o c) = (a o b) o c für alle a,b,c ε G
> - Es gibt ein Element e ε G mit e o a = a für alle a
> ε G.
> Warum muss man hier nicht auch a o e = a beweisen?
> -Zu jedem a ε G gibt es ein Element a´in G mit a´ o a
> = e
> Warum muss man hier nicht auch a o a´= e beweisen?
>
> kann jemand mir bitte helfen und sagen warum man nur eine
> Seite beweisen mus und nicht die andere?
Beweisen ist hier nicht das richtige Wort, aber du hast wahrscheinlich eine Menge und Verknüpfung vorliegen und möchtest beweisen, dass dies eine Gruppe ist.
Oben haben wir aber eine Definition, die Eigenschaften werden gefordert.
Und da ist es tatsächlich so, dass man die "symmetrischen" Behauptungen für neutrales und inverses Element nicht fordern muß, weil sie sich bereits auf den drei anderen Forderungen ergeben (und weil das so ist, muß man bei einer konkreten Menge mit Verknüpfung nur die Forderungen beweisen).
Eine Möglichkeit ist die folgende; ich zeige zunächst, dass auch a°a'=e gilt für alle [mm] $a\in [/mm] G$:
Sei [mm] $a\in [/mm] G$
Dann existiert [mm] $a'\in [/mm] G$, zu dem wiederum ein [mm] $a''\in [/mm] G$ existiert mit [mm] $a''\circ [/mm] a'=e$.
Nun haben wir:
[mm] $e=a''\circ \underbrace{a'}_{=e\circ a'}=a''\circ \underbrace{e}_{=a'\circ a}\circ a'=\underbrace{a''\circ a'}_{=e}\circ a\circ a'=a\circ [/mm] a'$
Ebenso haben wir dann:
[mm] $a=e\circ a=(a\circ a')\circ a=a\circ (a'\circ a)=a\circ [/mm] e$
Viele Grüße,
Marc
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