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| Aufgabe | Es sei (H,*) eine Gruppe und x,y [mm] \in [/mm] H. Es ist Ordnung von x = a [mm] \in \IN [/mm] und Ordung von y = b [mm] \in \IN. [/mm] Weiterhin ist bekannt, dass a,b teilerfremd sind.
Zu zeigen: (1) Ist x * y = y* x , dann ist Ordnung ( x* y) = a * b .
(2) <x> [mm] \cap [/mm] <y> = [mm] {1_{H} } [/mm] |
Hallo.
Meine Idee für (2) : <x> und <y> sind ja Untergruppen von H . Und der Durchschnitt zweier UG ist ja wieder eine UG, aber wie kann ich zeigen, dass es nur die trivale UG sein kann.
Zu (1) hab ich leider keinen konkreten Ansatz, aber ich vermute , dass das Ergebnis aus (2) vielleicht ganz nützlich wäre.
LG.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 So 11.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei (H,*) eine Gruppe und x,y [mm]\in[/mm] H. Es ist Ordnung von
> x = a [mm]\in \IN[/mm] und Ordung von y = b [mm]\in \IN.[/mm] Weiterhin ist
> bekannt, dass a,b teilerfremd sind.
> Zu zeigen: (1) Ist x * y = y* x , dann ist Ordnung ( x* y)
> = a * b .
> (2) <x> [mm]\cap[/mm] <y> = [mm]{1_{H} }[/mm]
> Hallo.
> Meine Idee für (2) : <x> und <y> sind ja Untergruppen
> von H . Und der Durchschnitt zweier UG ist ja wieder eine
> UG, aber wie kann ich zeigen, dass es nur die trivale UG
> sein kann.
> Zu (1) hab ich leider keinen konkreten Ansatz, aber ich
> vermute , dass das Ergebnis aus (2) vielleicht ganz
> nützlich wäre.
>
> LG.
Zu (1): wegwn xy=yx haben wir [mm] (xy)^n=x^ny^n [/mm] für alle n [mm] \in \IZ.
[/mm]
Folgere daraus [mm] (xy)^{ab}=1_H. [/mm] Damit ist die Ordnung von xy schon mal [mm] \le [/mm] ab.
Hilft das ?
Zu (2):
Sei z [mm] \in [/mm] <x> [mm]\cap[/mm] <y> .
Überlege Dir: es gilt dann [mm] z^a=1_H=z^b
[/mm]
es ist ggT(a,b)=1, also ex. c,d [mm] \in \IZ: [/mm] 1=ca+db ......
FRED
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Vielen Dank.
Zu (1). Okay das ist soweit verständlich. Wenn ich dann annehme, dass ordnung von xy < ab ist müsste ich doch zum Widerspruch kommen, sodass dann Gleichheit gilt oder ?
zu (2). dem kann ich leider nicht ganz folgen, für was wird benötigt , dass ggT(a,b) = 1 ... ist . ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 So 11.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank.
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> Zu (1). Okay das ist soweit verständlich. Wenn ich dann
> annehme, dass ordnung von xy < ab ist müsste ich doch zum
> Widerspruch kommen, sodass dann Gleichheit gilt oder ?
Ja.
>
> zu (2). dem kann ich leider nicht ganz folgen, für was
> wird benötigt , dass ggT(a,b) = 1 ... ist . ?
Um zu zeigen, dass aus z $ [mm] \in [/mm] $ <x> $ [mm] \cap [/mm] $ <y> folgt: [mm] z=1_H.
[/mm]
FRED
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Okay, könnte man dann bei (2).
1=ca+bd nach a oder b umstellen und in [mm] z^{a}= 1_{H} [/mm] = [mm] z^{b} [/mm] . Dann würde ich ja erhalten , dass b = 1 ist und demzufolge auch a = 1 also ist z = [mm] 1_{H}.
[/mm]
Oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 So 11.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Okay, könnte man dann bei (2).
> 1=ca+bd nach a oder b umstellen und in [mm]z^{a}= 1_{H}[/mm] =
> [mm]z^{b}[/mm] . Dann würde ich ja erhalten , dass b = 1 ist
Wieso ????
> und
> demzufolge auch a = 1
Hä ?
> also ist z = [mm]1_{H}.[/mm]
> Oder ?
Aus $ [mm] z^a=1_H=z^b [/mm] $ und 1=ca+bd fogt
[mm] $z=z^{1}=z^{ca+bd }=(z^a)^c*(z^b)^d=1_H^c*1_H^d=1_H.
[/mm]
FRED
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Ja sorry , war ein Denkfehler meinerseits, kann ja auch nicht sein sonst wäre ja die Ordnung von x und y nie görßer als 1 wenn a und b 1 wären.
V.D
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