Grundperiode < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mo 24.08.2009 | | Autor: | Equinox |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\bruch{2cot(x)-1}{cot^2(x)} [/mm]
[mm] x\not=\bruch{k\pi}{2} [/mm] |
Ich soll für diese Fuktion die Grundperiode ermitteln, hab mich damit ein wenig befasst, wenn man eine periodische Funktion hat dann kann man sagen f(x+p)=f(x), also die Funktion plus die Periode ist die periodische Funktion, nur wie ermittelt man das kleinste p? Das müsste ja die Grundperiode sein, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Mo 24.08.2009 | | Autor: | wauwau |
Meiner Meinung nach ist die kleinste Periode das kgV der Perioden der Bestandteile der Funktion.
also cot hat die Periode [mm] \pi [/mm] und [mm] cot^2 [/mm] die Periode [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] daher insgesamt die periode [mm] \pi
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mo 24.08.2009 | | Autor: | Equinox |
Ok, aber kann man das analytisch belegen das das so ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mo 24.08.2009 | | Autor: | wauwau |
Du kannst leicht beweisen, dass wenn g die Periode p hat also
g(x+p) = g(x)
dann hat f [mm] \circ [/mm] g ebenfalls die periode p
ebenso wenn f Periode n.p und g Periode m.p mit n,m [mm] \in \IN [/mm] dann gilt
[mm] \bruch{f}{g} [/mm] hat Periode kp mit k=kgV(m,n)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Di 25.08.2009 | | Autor: | Equinox |
Ok die Grundperiode der Funktion sollte [mm] \pi [/mm] sein denn sowohl der cot als auch der [mm] cot^2 [/mm] haben die Periode [mm] \pi. [/mm] Aber wieso sollte der [mm] cot^2 [/mm] die Periode [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] haben, das wäre doch nur bei cot(2x) der Fall?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Mi 26.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeichne doch mal bzw lass dir plotten [mm] cot^2(x)
[/mm]
ausserdem [mm] cot^2(x)=(1+cos(2x))/(1-cos(2x))
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:03 Mi 26.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Du kannst leicht beweisen, dass wenn g die Periode p hat
> also
>
> g(x+p) = g(x)
>
> dann hat f [mm]\circ[/mm] g ebenfalls die periode p
Das stimmt nicht immer: ist $f$ konstant, so ist $f [mm] \circ [/mm] g$ ebenfalls konstant und hat somit jede Periode, insbesondere also keine Grundperiode.
> ebenso wenn f Periode n.p und g Periode m.p mit n,m [mm]\in \IN[/mm]
> dann gilt
>
> [mm]\bruch{f}{g}[/mm] hat Periode kp mit k=kgV(m,n)
Das stimmt ebenfalls nicht, etwa fuer $g = [mm] \lambda [/mm] f$ mit [mm] $\lambda \in \IR^\ast$: [/mm] dann ist [mm] $\frac{f}{g} [/mm] = [mm] \frac{1}{\lambda}$ [/mm] wieder konstant und es gilt das oben erwaehnte.
Ein weiteres Problem: ein kgV muss gar nicht existieren. Z.B. gibt es kein kgV von [mm] $\pi$ [/mm] und $1$.
Ansonsten gilt das allerdings schon. (Vor allem fuer die Funktionen die man fuer die Fragestellung braucht :) )
Wenn man jedoch zwei periodische Funktionen addiert, muss man aufpassen, da die Periode auch ein Teiler des kgVs sein kann.
LG Felix
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