Grp.homomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Di 22.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Es sei [mm] \phi: [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] H ein Homo. von Gruppen. Zeige folg. Aussagen.
i) Ist H' [mm] \le [/mm] H ein Normalteiler , so ist [mm] \phi^{-1}(H') [/mm] ebenfalls ein Normalteiler
ii) Ist [mm] \phi [/mm] ein Epimorphismus und G' [mm] \le [/mm] G ein Normalteiler, so ist [mm] \phi [/mm] (G') ebenfalls Normalteiler |
zu i) habe ich folgende idee:
Sei h' [mm] \in \phi^{-1}(H') [/mm] , g [mm] \in [/mm] G, dann folgt [mm] \phi(ghg^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(g) \* \phi(h') \* \phi(g^{-1}) \Rightarrow \phi(h')=H'
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(ghg^{-1}) \in [/mm] H'
[mm] \Rightarrow ghg^{-1} \in \phi^{-1}(H')
[/mm]
ist das richtig?
wie mache ich es bei ii)? brauch dirngen hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Di 22.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Es sei [mm]\phi:[/mm] G [mm]\rightarrow[/mm] H ein Homo. von Gruppen. Zeige
> folg. Aussagen.
> i) Ist H' [mm]\le[/mm] H ein Normalteiler , so ist [mm]\phi^{-1}(H')[/mm]
> ebenfalls ein Normalteiler
>
> ii) Ist [mm]\phi[/mm] ein Epimorphismus und G' [mm]\le[/mm] G ein
> Normalteiler, so ist [mm]\phi[/mm] (G') ebenfalls Normalteiler
> zu i) habe ich folgende idee:
>
> Sei h' [mm]\in \phi^{-1}(H')[/mm] , g [mm]\in[/mm] G, dann folgt
> [mm]\phi(ghg^{-1})[/mm]
Was ist $h$?
> = [mm]\phi(g) \* \phi(h') \* \phi(g^{-1}) [/mm]
Woher kommt ploetzlich $h'$?
> [mm]\Rightarrow \phi(h')=H'[/mm]
Ich schaetze Du meinst [mm] $\in$ [/mm] statt $=$? Das folgt aber direkt aus der Definition des Urbildes; Konjugation ist dafuer unnoetig.
>
> [mm]\Rightarrow \phi(ghg^{-1}) \in[/mm] H'
Das hast Du doch gar nicht gezeigt? $h$?
> [mm]\Rightarrow ghg^{-1} \in \phi^{-1}(H')[/mm]
>
> ist das richtig?
Oh Mann, Du schreibst Deine Beweise ganz schlecht auf.
Sei [mm] $h'\in \phi^{-1}(H')$ [/mm] und [mm] $g\in [/mm] G$. Z.z. ist $x:= [mm] g^{-1}h'g\in \phi^{-1}(H')$. [/mm] Jetzt geht der Beweis los:
1. Begruende, dass [mm] $\phi(x)= \phi(g)^{-1}\phi(h')\phi(g)$. [/mm] Welche besonderen Eigenschaften von [mm] $\phi$ [/mm] gehen ein?
2. Begruende ausfuehrlich, dass [mm] $\phi(g)^{-1}\phi(h')\phi(g)\in [/mm] H'$ ist. Welche Voraussetzungen gehen ein?
3. Begruende, falls es noch nicht aus der Vorlesung bekannt sein sollte, dass [mm] $\phi^{-1}(H')$ [/mm] ueberhaupt Untergruppe von $G$ ist.
Fazit: [mm] $\phi^{-1}(H')$ [/mm] ist Untergruppe, die abgeschlossen unter Konjugation ist, was man unter Freunden einen Normalteiler nennt.
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> wie mache ich es bei ii)? brauch dirngen hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Di 22.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
mit h meine ich immer h', sorry war nicht mit absicht, liegt wohl an der zeit.
zu 1. gilt wegen grp.homo, richtig?
zu3: ist aus der vorl. bekannt: Es sei G [mm] \rightarrow [/mm] H ein homo. von Grp.. dann gilt
i9 für jede Untergrp. H' [mm] \le [/mm] H ist das Urbild [mm] \phi^{-1}(H') [/mm] eine Untergruppe von G
zu 2 gilt wegen [mm] ghg^{-1} \in \phi^{-1}(H') \Rightarrow \phi(g) \phi(h') \phi(g)^-1 \in [/mm] H'
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Di 22.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
und zu ii) habe ich folgende idee:
sei g' [mm] \in \phi(G'), [/mm] g [mm] \in \phi(G) \Rightarrow [/mm] y = [mm] \phi(g') [/mm] für ein g' [mm] \in [/mm] G', g [mm] =\phi(s) [/mm] für s [mm] \in [/mm] G. dann ist [mm] gyg^{-1}= \phi(sg's^{-1}), sg's^{-1} \in [/mm] G'
[mm] \Rightarrow gyg^{-1} \in \phi(G')
[/mm]
auch aus der vorl. bekannt:
Für jede UG G' [mm] \le [/mm] G ist Bild [mm] \phi(G') [/mm] eine UG von H
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Mi 23.04.2014 | | Autor: | hippias |
Sieht gut aus, schreibe es vernuenftig auf (ohne $g$ und $y$ zu verwechseln). Beachte aber, dass Du streng genommen nicht die Aufgabenstellung bearbeitet hast, denn zu zeigen war, dass [mm] $\phi(G')$ [/mm] normal in $H$ ist (in der Aufgabenstellung hast du dich etwas ungenau ausgedrueckt).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Mi 23.04.2014 | | Autor: | hippias |
> mit h meine ich immer h', sorry war nicht mit absicht,
> liegt wohl an der zeit.
>
> zu 1. gilt wegen grp.homo, richtig?
Es koennten zwei Dinge begruendet werden: [mm] $\phi(g^{-1}hg)= \phi(g^{-1})\phi(h)\phi(g)$ [/mm] und [mm] $\phi(g^{-1})= \phi(g)^{-1}$. [/mm]
>
> zu3: ist aus der vorl. bekannt: Es sei G [mm]\rightarrow[/mm] H ein
> homo. von Grp.. dann gilt
> i9 für jede Untergrp. H' [mm]\le[/mm] H ist das Urbild
> [mm]\phi^{-1}(H')[/mm] eine Untergruppe von G
>
> zu 2 gilt wegen [mm]ghg^{-1} \in \phi^{-1}(H') \Rightarrow \phi(g) \phi(h') \phi(g)^-1 \in[/mm]
> H'
Auch hier koennte man zwei Dinge der Ausfuehrlichkeiten wegen erwaehnen: Dass ueberhaupt [mm] $\phi(h')\in [/mm] H'$ gilt, und dass $H'$ normal ist.
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