Großkreis im Raum über 3Punkte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 So 24.04.2005 | | Autor: | tobiam |
Hallo alle zusammen,
ich versuche schon seit mehreren Tagen ein Problem zu lösen. Ich habe drei Punkte [mm] P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}), P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}) [/mm] und [mm] P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3}) [/mm] die sich irgenwo im Raum befinden.
In der Ebeneist eine Lösung vorhanden, in dem ich die Gleichung für den Kreis [mm] ((x_{1}-m_{x})^{2}+(y_{1}-m_{y})^{2}=R^{2}) [/mm] drei mal für [mm] P_{1}, P_{2} [/mm] und [mm] P_{3} [/mm] aufgestellt habe und das LGS nach R, [mm] m_{x} [/mm] und nach [mm] m_{y} [/mm] aufgelöst habe. Alles wunderbar soweit.
Im dreidimensionalen Fall habe ich aber vier Unbekante. Ich weiß das sich alle vier Punkte [mm] (P_{1}, P_{2}, P_{3} [/mm] und der Mittelpunkt des Kreis [mm] M(m_{x},m_{y},m_{z}) [/mm] auf einer Ebene im Raum befinden müssen.
Nun fehlt mir der Ansatz. Hatt jemand eine Idee wie ich eine vierte Gleichung für mein LGS aufstellen kann?
Danke für deine Hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 So 24.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo tobiam!
Auch Dir hier ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
> Im dreidimensionalen Fall habe ich aber vier Unbekannte. Ich
> weiß das sich alle vier Punkte [mm](P_{1}, P_{2}, P_{3}[/mm] und der
> Mittelpunkt des Kreis [mm]M(m_{x},m_{y},m_{z})[/mm] auf einer Ebene
> im Raum befinden müssen.
Da sehe ich anders. Die drei gegebenen Punkte [mm] $P_1$, $P_2$ [/mm] und [mm] $P_3$ [/mm] beschreiben eindeutig einen Kreis und spannen eine Ebene auf.
Da dieser Kreis aber auch die Schnittmenge von Kugel und dieser Ebene sein kann, kann der Mittelpunkt auch außerhalb dieser Ebene liegen. Dieser Mittelpunkt liegt also auf der Gerade, die durch den Normalenvektor dieser Ebene und den Kreismittelpunkt beschrieben wird.
Meines Erachtens benötigst Du vier Punkte, um eine Kugel eindeutig im [mm] $\IR^3$ [/mm] beschreiben zu können.
Grüße
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:00 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo,
wenn ich Tobiam recht verstanden habe, geht es ihm um einen Kreis, nicht eine Kugel.
Mit dem von Tobiam geschilderten Ansatz bleibt ein Freiheitsgrad. Man berechne also z.B. [mm] $r,\,m_{x},\,m_{y}$ [/mm] und setze zusätzlich [mm] $\bruch{d\,r}{d\,m_{z}}=0$ [/mm] (die Ableitungen nach [mm] $m_{x,y}$ [/mm] müssten bereits 0 sein). Das gibt dann die gesuchte vierte Gleichung und einen Haufen Ärger mit mordsmäßig komplizierten Ausdrücken. Hier ist Engelsgeduld oder Vertrauen in ein Computer Algebra System sicher nervenschonend.
Zweck der Gleichung ist, den minimalen Radius zu finden, da - wie Loddar schon richtig bemerkte - der potentielle Mittelpunkt nicht unbedingt in der Ebene liegt.
Alternativ - vermutlich auch nicht ganz so kompliziert - könnte man auch nach den Koordinaten von [mm] $\overrightarrow{m}$ [/mm] auflösen und $ [mm] \overrightarrow{m}= \overrightarrow{P_1}+\lambda\cdot\overrightarrow{P_{2}- P_{1}}+\mu\cdot\overrightarrow{P_{3}- P_{1}}$ [/mm] fordern. Aber warum einfach, wenn's auch umständlich geht? 
Viel Erfolg,
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:38 Mo 25.04.2005 | | Autor: | tobiam |
Hi Peter,
woher bekomme ich [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] in dieser Gleichung ( [mm] \overrightarrow{m} =P_{1} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \overrightarrow{P_{2} - P_{1}} \mu [/mm] * [mm] \overrightarrow{P_{3} - P_{1}} [/mm] ). Wie kommst du auf diese Gleichung??? Könntest du sie mir kurz erleutern?
Danke für deine Hilfe
Gruß Tobi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Moin tobiam!
Tja, wer lesen kann, ... ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Du meintest ja nur einen Kreis !?!
Damit solltest Du auch mit drei Punkten auskommen, die auch gemeinsam mit dem Mittelpunkt in einer Ebene liegen.
Hilft Dir der Hinweis weiter, daß sich die Mittelsenkrechten auf die Strecken [mm] $\overline{P_1 P_2}$ [/mm] und [mm] $\overline{P_2 P_3}$ [/mm] in einem Punkt schneiden: genau dem Mittelpunkt [mm] $\text{M}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 25.04.2005 | | Autor: | tobiam |
Hallo Loddar,
das ist der Ansatz für die Lösung:
1. Ebene über die drei punkte definieren
2. Normale auf die Ebene stellen
3. Mittelsenkrechte der beiden Vektoren aufstellen
4. Schnittpunkt berechnen
Ergebnis!!
Super und einfach!
Vielen Dank für die Hilfe.
Ich werde das mal berechen und Grafisch in Mapel erstellen. Kann man das Worksheet hier Hochladen? Bringt das was???
In zwei Tagen sollte es was zu sehen geben.
Bis dann!
|
|
|
|
