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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Fr 09.09.2016 | | Autor: | MarcHe |
| Aufgabe | | Es soll folgendes gezeigt werden: $ggT(a,bc)=ggT(a,b)*ggT(a,c)$, wenn $ggT(b,c)=1$. |
Hallo,
zu der genannten Aufgabe komme ich an einer Stelle nicht ganz weiter und bräuchte da eure Hilfe. Mein Ansatz ist folgender:
Sei $d=ggT(a,bc)$, dann folgt $d|a$ sowie $d|bc$. Außerdem folgt $ggT(a,b)|d$ und $ggT(a,c)|d$. Aufgrund der Transivität der Teilbarkeit folgt: $ggT(a,b)|a$, $ggT(a,b)|bc$ und $ggT(a,c)|a$ und $ggT(a,c)|bc$. Weiter komme ich jetzt aber igrendwie nicht, da ich die Randbedingung $ggT(b,c)=1$ irgendwie nicht verarbeitet bekomme. Könnt Ihr mir da einen Denkanstoß geben? Ist der gezeigte Weg so eine Sackgasse?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Fr 09.09.2016 | | Autor: | MarcHe |
Ich habe folgenden Alternativen Vorschlag noch:
$ggT(a,bc)=g$ und $ggT(a,b)*ggT(a,c)=g'$, außerdem [mm] $ggT(a,b)=g_1'$ [/mm] und [mm] $ggT(a,c)=g_2'$ [/mm] mit [mm] $g'=g_1'*g_2'$
[/mm]
1. Zeigen dass $g<=g'$:
$g|a$ und $g|bc$ daraus folgt $g|a+bc$
[mm] $g_1'|a$ [/mm] und [mm] $g_1'|b$ [/mm] es folgt [mm] $g_1'|a+b$
[/mm]
[mm] $g_2'|a$ [/mm] und [mm] $g_2'|c$ [/mm] es folgt [mm] $g_2'|a+c$
[/mm]
[mm] $g_1'*g_2'|(a+b)*(a+c) [/mm] => [mm] g'|a^2+ac+ba+bc$, [/mm] da [mm] $a^2+ac+ba+bc=>a+bc$ [/mm] folgt $g'=>g$
2. Zeigen dass $g>=g'$:
Wie gehe ich jetzt hier genau vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Sa 10.09.2016 | | Autor: | hippias |
> Ich habe folgenden Alternativen Vorschlag noch:
>
> [mm]ggT(a,bc)=g[/mm] und [mm]ggT(a,b)*ggT(a,c)=g'[/mm], außerdem
> [mm]ggT(a,b)=g_1'[/mm] und [mm]ggT(a,c)=g_2'[/mm] mit [mm]g'=g_1'*g_2'[/mm]
>
> 1. Zeigen dass [mm]g<=g'[/mm]:
>
> [mm]g|a[/mm] und [mm]g|bc[/mm] daraus folgt [mm]g|a+bc[/mm]
>
> [mm]g_1'|a[/mm] und [mm]g_1'|b[/mm] es folgt [mm]g_1'|a+b[/mm]
> [mm]g_2'|a[/mm] und [mm]g_2'|c[/mm] es folgt [mm]g_2'|a+c[/mm]
>
> [mm]g_1'*g_2'|(a+b)*(a+c) => g'|a^2+ac+ba+bc[/mm], da
> [mm]a^2+ac+ba+bc=>a+bc[/mm] folgt [mm]g'=>g[/mm]
Der Schluss ist nicht korrekt: Aus [mm] $a\geq [/mm] b$ und $c|a$ und $d|b$ folgt nicht [mm] $c\geq [/mm] d$. Dazu kannst Du Dir leicht Gegenbeispiele überlegen.
>
> 2. Zeigen dass [mm]g>=g'[/mm]:
>
> Wie gehe ich jetzt hier genau vor?
Siehe meine andere Nachricht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Sa 10.09.2016 | | Autor: | hippias |
Du bist auf gute Wege, daher beschränke ich mich auf ein paar Hinweise.
1. Entscheidend ist, wenn [mm] $a,b\in \IZ$ [/mm] teilerfremde Teiler von [mm] $c\in \IZ$ [/mm] sind, dann ist auch [mm] $a\cdot [/mm] b$ ein Teiler von $c$.
2. Unter Benutzung Deiner Bezeichnungen aus der zweiten Mitteilung schlage ich vor, dass Du $g|g'$ und $g'|g$ zeigst. Für letzteres genügt es nach Definition des ggT zu zeigen, dass $g'$ ein Teiler von $a$ und $bc$ ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Sa 10.09.2016 | | Autor: | MarcHe |
Hallo,
vielen Dank für deine Hilfestellungen. Ich habe nochmal einen Versuch gestartet:
1. zu zeigen ist $g|g'$ damit muss $g'>=g$
$g|a [mm] \wedge [/mm] g|bc$ und [mm] $g_1'|a \wedge g_1'|b$ [/mm] und [mm] $g_2'|a \wedge g_2'|c$ [/mm] => [mm] $g'|a^2 \wedge [/mm] g'|bc$
Leider kann ich jetzt aus [mm] $g'|a^2$ [/mm] nicht folgern, dass $g'|a$ ist. Weil beispielsweise [mm] $4|2^2$ [/mm] aber nicht $4|2$. Richtig? Wie komme ich jetzt zur Aussage $g|g'$?
2. zu zeigen ist $g'|g$ damit muss $g>=g'$
Von welcher Richtung der gehe ich hier?
Zusätzlich muss ich ja auch noch die Bedingung $ggT(b,c)=1$ verarbeiten bzw. drauf stoßen dass die Gleichung nur stimmt wenn diese Bedingung erfüllt ist?
Ich habe einfach mal mit folgenden Zahlen getestet:
1. sei $a=5,b=10,c=5$ dann gilt $ggT(a,bc)=ggT(a,b)*ggT(a,c)=>5!=5*5=>5!=25$. Also scheint 1. nämlich $g'>=g$ unabhängig von der Bedingung zu gelten.
2. sei $a=5,b=10,c=7$ dann gilt $ggT(a,bc)=ggT(a,b)*ggT(a,c)=>5=5$. Also muss ich doch bei 2. dem zweiten Schritt des Beweises irgendwie die Bedingung mit einfließen lassen. Weil das ja nur immer gilt wenn $ggT(b,c)=1$ gilt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 So 11.09.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
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> vielen Dank für deine Hilfestellungen. Ich habe nochmal
> einen Versuch gestartet:
>
> 1. zu zeigen ist [mm]g|g'[/mm] damit muss [mm]g'>=g[/mm]
>
> [mm]g|a \wedge g|bc[/mm] und [mm]g_1'|a \wedge g_1'|b[/mm] und [mm]g_2'|a \wedge g_2'|c[/mm]
> => [mm]g'|a^2 \wedge g'|bc[/mm]
Sieh Dir doch meinen Hinweis 1 an: damit erhälst Du, dass sogar $g'|a$ ist, woraus $g'|g$ folgt; also nicht das, was Du hier zeigen wolltest: ist aber egal, da Du das Ergebnis auch brauchst.
>
> Leider kann ich jetzt aus [mm]g'|a^2[/mm] nicht folgern, dass [mm]g'|a[/mm]
> ist. Weil beispielsweise [mm]4|2^2[/mm] aber nicht [mm]4|2[/mm]. Richtig? Wie
> komme ich jetzt zur Aussage [mm]g|g'[/mm]?
>
> 2. zu zeigen ist [mm]g'|g[/mm] damit muss [mm]g>=g'[/mm]
>
> Von welcher Richtung der gehe ich hier?
Siehe oben. Es fehlt noch $g|g'$. Im Notfall kannst Du die Primfaktorzerlegung von $b$, $c$ und $bc$ betrachten.
>
> Zusätzlich muss ich ja auch noch die Bedingung [mm]ggT(b,c)=1[/mm]
> verarbeiten bzw. drauf stoßen dass die Gleichung nur
> stimmt wenn diese Bedingung erfüllt ist?
>
> Ich habe einfach mal mit folgenden Zahlen getestet:
>
> 1. sei [mm]a=5,b=10,c=5[/mm] dann gilt
> [mm]ggT(a,bc)=ggT(a,b)*ggT(a,c)=>5!=5*5=>5!=25[/mm]. Also scheint 1.
> nämlich [mm]g'>=g[/mm] unabhängig von der Bedingung zu gelten.
>
> 2. sei [mm]a=5,b=10,c=7[/mm] dann gilt
> [mm]ggT(a,bc)=ggT(a,b)*ggT(a,c)=>5=5[/mm]. Also muss ich doch bei 2.
> dem zweiten Schritt des Beweises irgendwie die Bedingung
> mit einfließen lassen. Weil das ja nur immer gilt wenn
> [mm]ggT(b,c)=1[/mm] gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 11.09.2016 | | Autor: | MarcHe |
Sorry, ich habe jetzt den 1. Hinweis verstanden, denn wenn $ggT(b,c)=1$ und $b|a$ und $b|c$ dann gilt $bc|a$. Korrekt? Ich habe jetzt nochmal für $g'|g$ einen neuen Versuch:
1. $g'|g$ damit $g >= g'$
[mm] $g'|a^2$ [/mm] und $g'|bc$. Die Frage ist doch jetzt, ob auch $g'|a$ gilt. Dies ist doch genau dann der Fall (basierend auf deinem 1ten Hinweis), wenn [mm] $ggT(g_1',g_2')=1$ [/mm] ist, da [mm] $g_1'|a$, $g_2'|a$ [/mm] => [mm] $(g_1'*g_2')|a$. [/mm] Angenommen es sei [mm] $d=ggT(g_1',g_2')$, [/mm] dann folgt aufgrund der Transitivität der Teilbarkeit $d|b$ und $d|c$. Wenn $d>1$ dann wäre dies aber ein Widerspruch zu der Bedingung $ggT(b,c)=1$, richtig?
Da g der größte gemeinsame Teiler von a und bc ist, und g' ebenfalls a und bc teilt, folgt, dass g'|g bzw. g' <= g ist.
2. $g|g'$ damit $g <= g'$
Da $g|a$ und $g|bc$ so auch $g|a+bc$ sowie $g|ka+zbc$ für alle $k,z [mm] \in \IZ$. [/mm] Sei $k=a$ und $z=1$ so folgt $g|a*a+bc$ bzw. [mm] $g|a^2+bc$. [/mm] Da [mm] $g'|a^2+bc$ [/mm] so folgt $g|g'$ bzw. $g<=g'$.
Geht das so nun in Ordnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Mo 12.09.2016 | | Autor: | hippias |
> Sorry, ich habe jetzt den 1. Hinweis verstanden, denn wenn
> [mm]ggT(b,c)=1[/mm] und [mm]b|a[/mm] und [mm]b|c[/mm] dann gilt [mm]bc|a[/mm]. Korrekt?
Nein, aber ich vermute Du hast Dich nur verschrieben.
> Ich
> habe jetzt nochmal für [mm]g'|g[/mm] einen neuen Versuch:
>
> 1. [mm]g'|g[/mm] damit [mm]g >= g'[/mm]
>
Streiche dies:
> [mm]g'|a^2[/mm] und [mm]g'|bc[/mm].
Fange damit an:
> Die Frage ist doch jetzt, ob auch [mm]g'|a[/mm]
> gilt. Dies ist doch genau dann der Fall (basierend auf
> deinem 1ten Hinweis), wenn [mm]ggT(g_1',g_2')=1[/mm] ist, da [mm]g_1'|a[/mm],
> [mm]g_2'|a[/mm] => [mm](g_1'*g_2')|a[/mm]. Angenommen es sei
> [mm]d=ggT(g_1',g_2')[/mm], dann folgt aufgrund der Transitivität
> der Teilbarkeit [mm]d|b[/mm] und [mm]d|c[/mm]. Wenn [mm]d>1[/mm] dann wäre dies aber
> ein Widerspruch zu der Bedingung [mm]ggT(b,c)=1[/mm], richtig?
Richtig.
>
> Da g der größte gemeinsame Teiler von a und bc ist, und
> g' ebenfalls a und bc teilt, folgt, dass g'|g bzw. g' <= g
> ist.
In Ordnung.
>
> 2. [mm]g|g'[/mm] damit [mm]g <= g'[/mm]
>
> Da [mm]g|a[/mm] und [mm]g|bc[/mm] so auch [mm]g|a+bc[/mm] sowie [mm]g|ka+zbc[/mm] für alle [mm]k,z \in \IZ[/mm].
> Sei [mm]k=a[/mm] und [mm]z=1[/mm] so folgt [mm]g|a*a+bc[/mm] bzw. [mm]g|a^2+bc[/mm]. Da
> [mm]g'|a^2+bc[/mm] so folgt [mm]g|g'[/mm] bzw. [mm]g<=g'[/mm].
Ich weiss nicht, weshalb Du immer mit [mm] $a^{2}$ [/mm] arbeitest: ich sehe nicht, was Deine Rechnungen mit dem, was Du zeigen willst, zu tun hat. Du willst zeigen, dass $ggT(a,bc)$ das Produkt $ggT(a,b)ggT(a,c)$ teilt. Es ist mir unklar, weshalb dies aus [mm] $g'|a^{2}+bc$ [/mm] folgen sollte.
Ich habe Primfaktorzerlegung ins Spiel gebracht, bin aber natürlich für andere Vorschläge offen.
>
> Geht das so nun in Ordnung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mo 12.09.2016 | | Autor: | MarcHe |
Vielen Dank für deine Hilfe! Eine Frage hätte ich noch zu dem zweiten Weg $g|g'$:
Kann ich aus der Tatsache dass [mm] $g'|a^2$ [/mm] und $g'|bc$ nicht folgern, dass $g|g'$ da $g|a$ und $g|bc$ folgern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Di 13.09.2016 | | Autor: | hippias |
Ich wüsste nicht, wie. Allein aus den Voraussetzungen [mm] $g'|a^{2}$, [/mm] $g'|bc$, $g|a$, $g|bc$, folgt jedenfalls nicht $g|g'$.
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