Größte Funktionswertänderung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Sa 04.07.2009 | | Autor: | cooly |
| Aufgabe | Multiple Choice:
In welche Richtung findet die größte Funktionswertänderung im Punkt (0,1) der Funktion [mm] f(x,y)=e^{xy} [/mm] statt?
(0,0), (1,0), (1,1) oder (0,1)? |
Hallo,
ich habe eine Frage zu der Multiple Choice Aufgabe:
Ist es korrekt, dass ich hier die Richtungsableitung zu der Funktion machen und die verschiedenen Werte einsetzen muss?
Sprich ich wende die folgende Formel an:
f [mm] \vec{v} [/mm] (0,1) = [mm] f_{x}(0,1) [/mm] * [mm] \bruch{v_{1}}{\parallel\vec{v}\parallel} [/mm] + [mm] f_{y}(0,1) [/mm] * [mm] \bruch{v_{2}}{\parallel\vec{v}\parallel}
[/mm]
Dann setze ich die Werte für den Vektor [mm] \vec{v} [/mm] ein und schaue, wann der Term am größten wird? Oder gibt es noch eine schnellere Methode auf das Ergebnis zu kommen?
Vielen Dank!
Gruß
cooly
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mo 06.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Multiple Choice:
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> In welche Richtung findet die größte
> Funktionswertänderung im Punkt (0,1) der Funktion
> [mm]f(x,y)=e^{xy}[/mm] statt?
>
> (0,0), (1,0), (1,1) oder (0,1)?
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu der Multiple Choice Aufgabe:
>
> Ist es korrekt, dass ich hier die Richtungsableitung zu der
> Funktion machen und die verschiedenen Werte einsetzen
> muss?
>
> Sprich ich wende die folgende Formel an:
>
> f [mm]\vec{v}[/mm] (0,1) = [mm]f_{x}(0,1)[/mm] *
> [mm]\bruch{v_{1}}{\parallel\vec{v}\parallel}[/mm] + [mm]f_{y}(0,1)[/mm] *
> [mm]\bruch{v_{2}}{\parallel\vec{v}\parallel}[/mm]
>
> Dann setze ich die Werte für den Vektor [mm]\vec{v}[/mm] ein und
> schaue, wann der Term am größten wird? Oder gibt es noch
> eine schnellere Methode auf das Ergebnis zu kommen?
>
Ja, die Richtung des größten Anstiegs in einem Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] ist:
[mm] $gradf(x_0,y_0)$
[/mm]
FRED
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> cooly
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Mo 06.07.2009 | | Autor: | cooly |
Zur Lösung der Aufgabe muss ich also schon die Richtungsableitung entsprechend meiner erwähnten Formel an den möglichen Stellen prüfen?
Denn mit dem Gradient alleine komme ich ja nicht weiter, da er lediglich die partiellen Ableitungen an einer entsprechenden Stelle aufzeigt?
Oder wo genau liegt hier der Zusammenhang zwischen dem Gradienten und der Richtungsableitung?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Mo 06.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Nimm an, die Funktion f ist in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar und v ist eine Richtung ,$||v||=1$
Dann gilt doch:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial v}(x_0) [/mm] = [mm] gradf(x_0)*v$
[/mm]
Sei [mm] $gradf(x_0) \not= [/mm] 0$ und [mm] $v_0 [/mm] = [mm] \bruch{ gradf(x_0)}{ ||gradf(x_0)||}$. [/mm] Dann ist
max { [mm] \bruch{\partial f}{\partial v}(x_0) [/mm] : ||v||=1 } = [mm] \bruch{\partial f}{\partial v_0}(x_0)
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Do 09.07.2009 | | Autor: | cooly |
Ok, vielen Dank für die Antwort.
Dann finde ich dien Punkt mit der größten Richtungsänderung durch den Gradienten. Als Kontrolle könnte ich auch die Richtungsableitung mit allen Punkten bilden und dort schauen, wo der größte Wert heraus kommt. Das müsste dann mit dem gefunden Punkte durch den Gradienten übereinstimmen.
Die Lösung mit Hilfe des Gradienten geht aber um einiges schneller, als alle Richtungsableitungen zu bilden.
Also nochmals vielen Dank für den Tipp!
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