Grösser oder kleiner < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Do 03.02.2005 | | Autor: | Peterli |
Was ist grösser?
[mm] \wurzel{5}+\wurzel{11}oder \wurzel{4}+\wurzel{13}
[/mm]
Bitte kompletten Lösungsweg da ich die Antwort habe allerdings nicht weiss wie man darauf kommt.Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo Peterli,
> Was ist grösser?
> [m]\wurzel{5}+\wurzel{11}[/m] oder [m]\wurzel{4}+\wurzel{13}
[/m]
> Bitte kompletten Lösungsweg da ich die Antwort habe allerdings
> nicht weiss wie man darauf kommt.Danke
Wir wär's mit einer kleinen Interpolation durch das Newton-Verfahren:
[m]\begin{gathered}
p\left( x \right): = x^2 - a\left[ { = \left( {x - \sqrt a } \right)\left( {x + \sqrt a } \right)} \right] \hfill \\
p'\left( x \right) = 2x \hfill \\
x_{i + 1} : = x_i - \frac{{x_i ^2 - a}}
{{2x_i }} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Damit erhalten wir für $a = [mm] 5\!$ [/mm] und [mm] $x_0 [/mm] = 2$:
[m]\sqrt 5 \doteq 2 - \frac{{2^2 - 5}}
{{2*2}} = 2 - \frac{{ - 1}}
{4} = 2.25[/m]
Für $a = [mm] 11\!$ [/mm] und [mm] $x_0 [/mm] = 3$ erhalten wir:
[m]\sqrt {11} \doteq 3 - \frac{{3^2 - 11}}
{{2*3}} = 3 - \frac{{ - 2}}
{6} = 3 + \frac{1}
{3} \doteq 3.3[/m]
Das ergibt zusammen: [m]\sqrt 5 + \sqrt {11} \doteq 3.3 + 2.25 = 5.55[/m] mit [mm] $\wurzel{4}=2$. [/mm] Für $a = [mm] 13\!$ [/mm] und [mm] $x_0 [/mm] = 3.5$ erhalten wir:
[m]\begin{gathered}
\sqrt {13} \doteq 3.5 - \frac{{3.5^2 - 13}}
{{2*3.5}} = 3.5 - \frac{{\tfrac{{49}}
{4} - \tfrac{{52}}
{4}}}
{7} = 3.5 - \frac{{\tfrac{{ - 3}}
{4}}}
{7} = \frac{{7*14}}
{{28}} + \frac{3}
{{28}} = \frac{{7^2 *2 + 3}}
{{28}} = \frac{{49 + 49 + 3}}
{{28}} \hfill \\
= \frac{{50 + 50 + 1}}
{{28}} = \frac{{101}}
{{28}} \doteq 3.61{\text{ }}\left( {{\text{schriftliche Division}}} \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Also: $5.55 < [mm] 5.61\!$.
[/mm]
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Do 03.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Peterli!
> Was ist grösser?
> [mm]\wurzel{5}+\wurzel{11}oder \wurzel{4}+\wurzel{13}
[/mm]
> Bitte
> kompletten Lösungsweg da ich die Antwort habe allerdings
> nicht weiss wie man darauf kommt.Danke
Wir machen das mal etwas anders als von Karl vorgeschlagen ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") . Dazu beachte, dass für $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
[mm] $(\star)$ [/mm] $a < b [mm] \gdw a^2 [/mm] < [mm] b^2$.
[/mm]
Damit zu deiner Aufgabe (hier sei [mm] $a:=\wurzel{5}+\wurzel{11}\;\,(\ge [/mm] 0)$ und [m]b:=\wurzel{4}+\wurzel{13}\;\,(\ge0)[/m]):
Es gilt doch:
[mm]a^2=(\wurzel{5}+\wurzel{11})^2=5+2*\wurzel{5}*\wurzel{11}+11=16+\wurzel{220}[/mm] und
[mm]b^2=(\wurzel{4}+\wurzel{13})^2=4+2*\wurzel{4}*\wurzel{13}+13=17+\wurzel{208}[/mm]
Bilden wir mal die Differenz [mm] ($b^2-a^2$), [/mm] so erhalten wir:
[mm] $(\star \star)$[/mm] [m]\underbrace{17+\wurzel{208}}_{=b^2}-\underbrace{(16+\wurzel{220})}_{=a^2}=1+\underbrace{(\wurzel{208}-\wurzel{220})}_{>-1}\red{>}0[/m], denn (beachte, dass ich noch zu zeigen habe, dass auch tatsächlich [mm] $\wurzel{208}-\wurzel{220}>-1$ [/mm] gilt, um auf das obige [mm] $\red{>}$ [/mm] schließen zu dürfen):
[m](\wurzel{220}-\wurzel{208})^2=428-\wurzel{183040}[/m] (zweite binomische Formel anwenden und zusammenfassen), und wegen:
[mm] $427^2=182329 [/mm] < 183040 < [mm] 183184=428^2$ [/mm] gilt
$427 < [mm] \wurzel{183040}<428$ [/mm] (strenge Monotonie der [mm] $\wurzel{\;}$-Funkt.)
[/mm]
und daher:
[mm] $(\wurzel{220}-\wurzel{208})^2=428-\wurzel{183040}<1$ [/mm] und damit folgt dann auch:
[mm] $|\wurzel{220}-\wurzel{208}|=|\wurzel{208}-\wurzel{220}|<1$, [/mm] also insbesondere:
$-1 < [mm] \wurzel{208}-\wurzel{220}$.
[/mm]
Aus [mm] $(\star \star)$ [/mm] folgt dann wegen [mm] $(\star)$ [/mm] gerade:
$a<b$, also gilt:
[mm] $a=\wurzel{5}+\wurzel{11} [/mm] < [mm] b=\wurzel{4}+\wurzel{13}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Do 03.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Peterli!
Jaja, warum einfach, wenn's auch kompliziert geht. Ich meine, die Abschätzung [m]\wurzel{208}-\wurzel{220}>-1[/m] stimmt und meine Überlegungen dazu stimmen auch. Aber die Überlegung geht ja noch viel einfacher:
Es gilt [mm] $14^2=196 [/mm] < 208 < 220 < [mm] 225=15^2$, [/mm] woraus:
$14 < [mm] \wurzel{208} [/mm] < [mm] \wurzel{220}< [/mm] 15$ folgt (strenge Monotonie der [mm] $\wurzel{\;}$-Funktion) [/mm] und daraus ergibt sich dann unmittelbar:
[mm] $\wurzel{208}-\wurzel{220}>-1$
[/mm]
Jaja, man kann auch einfache Dinge kompliziert lösen! 
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
Verzeih, Marcel,
wenn Du kein Kopfrechengenie bist, hast Du da wohl schon
einen TR benötigt.
Hier ein Weg der ohne auskommt und mir kürzer scheint.
In
Ergänzung Deines (*) Hinweises bemerke ich noch,
daß eine Ungleichung, egal ob [mm] $\le,<,\ge,>$,
[/mm]
richtig bleibt wenn beiderseits gleiches addiert wird.
Für die noch unbekante Relation stehe nun ein "?".
[mm] $\sqrt{5}+\sqrt{11}$ [/mm] ? [mm] $\sqrt{4}+\sqrt{15} [/mm] = [mm] 2+\sqrt{15}$
[/mm]
$16 + [mm] 2\sqrt{55}$ [/mm] ? $19 + [mm] 4\sqrt{15}$
[/mm]
[mm] $2\sqrt{55}$ [/mm] ? $13+ [mm] 4\sqrt{15}$
[/mm]
$220$ ? 169 + 240 + ... fertig.
im übrigen sieht man es auch schon aus der vorletzten Zeile
[mm] $\sqrt{55} [/mm] < 8$, also links < 16, [mm] $\sqrt{15} [/mm] > 3$, also rechts > 25
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Do 03.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Friedrich!
> Verzeih, Marcel,
>
> wenn Du kein Kopfrechengenie bist, hast Du da wohl schon
> einen TR benötigt.
zugegeben: hier ([m]\leftarrow[/m] click it) hatte ich einen benutzt (woher sollte ich sonst so schnell wissen, dass [m]\wurzel{183040}[/m] bei $428$ liegt? Man braucht dafür aber auch nicht unbedingt einen Taschenrechner; aber ich gebs zu: Ich habe einen benutzt! )
Aber wenn man nochmal in meine Ergänzung hier ([m]\leftarrow[/m] click it) reinguckt, dann sieht man, dass man meine Rechnung auch ohne Taschenrechner machen kann, ich kopiere das alles nochmal raus:
(Anfang der 1. Kopie) Wir machen das mal etwas anders als von Karl vorgeschlagen . Dazu beachte, dass für $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
[mm] $(\star)$ [/mm] $a < b [mm] \gdw a^2 [/mm] < [mm] b^2$.
[/mm]
Damit zu deiner Aufgabe (hier sei [mm] $a:=\wurzel{5}+\wurzel{11}\;\,(\ge [/mm] 0)$ und [m]b:=\wurzel{4}+\wurzel{13}\;\,(\ge0)[/m]):
Es gilt doch:
[mm]a^2=(\wurzel{5}+\wurzel{11})^2=5+2*\wurzel{5}*\wurzel{11}+11=16+\wurzel{220}[/mm] und
[mm]b^2=(\wurzel{4}+\wurzel{13})^2=4+2*\wurzel{4}*\wurzel{13}+13=17+\wurzel{208}[/mm]
Bilden wir mal die Differenz [mm] ($b^2-a^2$), [/mm] so erhalten wir:
[mm] $(\star \star)$[/mm] [m]\underbrace{17+\wurzel{208}}_{=b^2}-\underbrace{(16+\wurzel{220})}_{=a^2}=1+\underbrace{(\wurzel{208}-\wurzel{220})}_{>-1}\red{>}0[/m], denn (beachte, dass ich noch zu zeigen habe, dass auch tatsächlich [mm] $\wurzel{208}-\wurzel{220}>-1$ [/mm] gilt, um auf das obige [mm] $\red{>}$ [/mm] schließen zu dürfen):(Ende der 1. Kopie)
Und jetzt nehmen wir das hier ([m]\leftarrow[/m] click it) nochmal zur Hilfe:
(Anfang der 2. Kopie) Es gilt [mm] $14^2=196 [/mm] < 208 < 220 < [mm] 225=15^2$, [/mm] woraus:
$14 < [mm] \wurzel{208} [/mm] < [mm] \wurzel{220}< [/mm] 15$ folgt (strenge Monotonie der [mm] $\wurzel{\;}$-Funktion) [/mm] und daraus ergibt sich dann unmittelbar:
[mm] $\wurzel{208}-\wurzel{220}>-1$ [/mm] (Ende der 2. Kopie)
Ich wollte das eh nochmal für Peterli zusammenschreiben (denn auch, wenn meine erste Rechnung nicht falsch ist, ist sie dennoch etwas zu kompliziert. Aber ich wollte das nicht mehr ändern, denn mir gefällt auch die komplizierte Rechnung .). Allerdings sah ich bisher keinen Anlaß dazu. Verzeih mir also, dass ich deine Bemerkung als Anlaß dazu missbrauche ; aber jetzt sieht man doch, dass man meine Rechnung auch ohne TR nachvollziehen kann, oder? Weil: Hierfür habe ich keinen gebraucht. 
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Do 03.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Friedrich!
Ich korrigiere mal deine Rechnung noch etwas:
> Verzeih, Marcel,
>
> wenn Du kein Kopfrechengenie bist, hast Du da wohl schon
> einen TR benötigt.
> Hier ein Weg der ohne auskommt und mir kürzer scheint.
> In
> Ergänzung Deines (*) Hinweises bemerke ich noch,
> daß eine Ungleichung, egal ob [mm]\le,<,\ge,>[/mm],
> richtig bleibt wenn beiderseits gleiches addiert wird.
> Für die noch unbekante Relation stehe nun ein "?".
>
> [mm]\sqrt{5}+\sqrt{11}[/mm] ? [mm]\sqrt{4}+\sqrt{15} = 2+\sqrt{15}[/mm]
>
>
> [mm]16 + 2\sqrt{55}[/mm] ? [mm]19 + 4\sqrt{15}[/mm]
>
> [mm]2\sqrt{55}[/mm] ? [mm]13+ 4\sqrt{15}[/mm]
Die letzte Zeile enthält einen Fehler, richtig wäre:
[mm]2\sqrt{55}[/mm] ? [mm]3+ 4\sqrt{15}[/mm]
Damit wäre dann anstelle von:
> [mm]220[/mm] ? 169 + 240 + ... fertig.
auch
[mm]220[/mm] ? 9 + 240 + ... fertig.
zu schreiben.
Den Rest:
> im übrigen sieht man es auch schon aus der vorletzten
> Zeile
>
> [mm]\sqrt{55} < 8[/mm], also links < 16, [mm]\sqrt{15} > 3[/mm], also rechts
> > 25
vergessen/streichen wir dann einfach mal.
Aber alles in allem ein sehr schöner Weg!
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo, miteinander,
jetz muß ich mich aber doch nochmals melden
da "wir" "Mathematik" betreiben, tendieren wir wohl dazu, dem einfachem Rechnen auszuweichen,
Brüche um Gottes Willen nicht als Dezimalzahlen zu schreiben, immer bestrebt alles möglichst
mit Variablen- und Funktionssymbolen und ganzen Zahlen auszudrücken.
Dabei sind um, " was ist größer, [mm] $\sqrt{5} [/mm] + [mm] \sqrt{11}$ [/mm] oder [mm] $\sqrt{4} [/mm] + [mm] \sqrt{13} [/mm] = 2 + [mm] \sqrt{13}$"
[/mm]
zu beantworten
die 3 Wurzel blos auf je eine Nachkommastelle zu berechen um die Antwort zu sehen
[Dateianhang nicht öffentlich]
näheres zu dem Verfahren ![[]](/images/popup.gif) via dieser Seite
zu
dieser
und dieser besser lesbaren
ich hoffe, diese Seiten verschwinden nicht auch so bald wie eine andere die ich dazu kannte
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
