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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:22 Sa 23.06.2012 | | Autor: | tagg |
| Aufgabe | K Körper, [mm] K[\underline{X}] [/mm] Polynomring in n Varbiablen, f,g [mm] \in K[\underline{X}] [/mm] mit [mm]kgV(lm(f), lm(g)) = lm(f)*lm(g)[/mm].
Zeige: [mm] \overline{S(f,g)}^{(f,g)}=0. [/mm] |
Hallo,
wie man sieht, dient diese Aufgabe dazu, Buchbergers Algorithmus zur Bestimmung von Gröbnerbasen zu verbessern (sodass weniger S-Polynome berechnet werden müssen).
Leider wurde nur äußerst dürftig auf das Rechnen in Restklassenringen Modulo von multivariablen Polynomen erzeugten Idealen eingegangen..
Man kann hier ja die Identität [mm]|a*b| = kgV(a,b)*ggT(a,b)[/mm] benutzen, woraus folgt, dass die Leitmonome der Polynome f und g teilerfremd sind. Dadurch ist das S-Polynom auf den Ausdruck [mm]S=lt(g)*f-lt(f)*g[/mm] reduziert.
Der ganze Rest dieser Aufgabe sollte jetzt ja nur noch darin bestehen zu zeigen, dass das kongruent zu null modulo f und g ist (sehe ein, dass das eigentlich ne ziemlich einfache Angelegenheit ist...). Leider habe ich aber, wie gesagt, keinen Plan davon, wie man hier jetzt rechnet! Man hat hier ja im Prinzip [mm]q_{1}, q_{2} \in K[\underline{X}] [/mm] gegeben, sodass sich S darstellen lässt als [mm]S=\summe_{i=1}^{2}q_{i}f_{i}+r, r=0[/mm], nämlich die Leitmonome selbst. Aufgabe also gelöst?
Wenn das schon so einfach ist, warum ist das S-Polynom dann nicht IMMER null? Denn wenn man die Eigenschaft aus der Aufgabenstellung nicht hat, so werden die Leitterme im S-Polynom ja nur durch den ggT der Leitmonome der Polynome geteilt, die jeweiligen Quotienten sind aber ja AUCH in [mm] K[\underline{X}], [/mm] weshalb man das S-Polynom ja eigentlich immer als Linearkombination der beiden Polynome ohne Restterm auffassen könnte...
Wo habe ich hier meinen Denkfehler?
Danke für eure Hilfe!!!
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 So 24.06.2012 | | Autor: | tagg |
keiner ne Idee?
Falls nicht ganz klar ist, was ich mit Gröbnerbasen und S-Polynomen meine:
Ich brauche eigentlich nur das Know-How, wie man in [mm] $K[\underline{X}]/$ [/mm] rechnet.
Beispiel:
[mm] $f=x^2y^2-x^2y+x$ [/mm] und [mm] $g=x^2y+y^2$. [/mm] Das S-Polynom ist folgendermaßen definiert:
[mm] $S(f,g)=\bruch{lt(g)}{ggT(lm(f),lm(g))}*f-\bruch{lt(f)}{ggT(lm(f),lm(g))}*g$.
[/mm]
Mit $<_{lex}$ als Monomordnung komme ich dann auf dieses Ergebnis:
$S(f,g)=f-y*g$
Jetzt habe ich das Problem, dass ich doch jetzt einerseits S schreiben kann als $ [mm] S=\summe_{i=1}^{2}q_{i}f_{i}+r$ [/mm] und $ r=0 $ in dem Fall [mm] ($q_1=1, f_1=f$ [/mm] und [mm] $q_2=y, f_2=g$). [/mm] Das ganze modulo f und g wäre doch dann bereits an dieser stelle kongruent zu 0!?
Andererseits kommt man, wenn man weiter ausrechnet auf [mm] $S(f,g)=x^2y^2-x^2y+x-x^2y^2+y^3=-x^2y+x+y^3 \equiv x-y^3+y^2 [/mm] (mod g)$, was dann wiederum gar nichts mehr mit f und g zu tun hat.
Wie das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Mo 25.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> keiner ne Idee?
> Falls nicht ganz klar ist, was ich mit Gröbnerbasen und
> S-Polynomen meine:
> Ich brauche eigentlich nur das Know-How, wie man in
> [mm]K[\underline{X}]/[/mm] rechnet.
Fuer diese Aufgabe? Nein, dafuer brauchst du das nicht.
Um in [mm] $K[\underline{X}]/\langle [/mm] f, g [mm] \rangle$ [/mm] zu rechnen, dafuer brauchst du Groebnerbasen.
Aber da bist du ja noch nicht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 So 24.06.2012 | | Autor: | tagg |
okay ich habe mir mal ein wenig Fachliteratur reingepfiffen.
Es sollte wohl gewährleistet sein, dass die Leitterme nicht aufgehoben werden, bevor man modulo der Polynome rechnet.
Die Lösung der Aufgabe habe ich in Kapitel 2, §9 in Prop. 4 des Werkes "Ideals, Varieties and Algorithms" von Cox et al. gefunden, falls noch jemand daran interessiert ist (auf google books einsehbar).
Damit ist alles geklärt.
Gruß
tagg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Mo 25.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> okay ich habe mir mal ein wenig Fachliteratur
> reingepfiffen.
>
> Es sollte wohl gewährleistet sein, dass die Leitterme
> nicht aufgehoben werden, bevor man modulo der Polynome
> rechnet.
>
> Die Lösung der Aufgabe habe ich in Kapitel 2, §9 in Prop.
> 4 des Werkes "Ideals, Varieties and Algorithms" von Cox et
> al. gefunden, falls noch jemand daran interessiert ist (auf
> google books einsehbar).
dort wird gezeigt $S(f, g) [mm] \to_{(f, g)} [/mm] 0$, aber nicht [mm] $\overline{S(f, g)}^{(f,g)} [/mm] = 0$ (beachte Definition 1 in dem Abschnitt!).
Das Beispiel nach Proposition 4 dort zeigt uebrigens, dass die Behauptung (in deiner Frage) falsch ist. Du kannst sie also gar nicht beweisen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Mo 25.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> K Körper, [mm]K[\underline{X}][/mm] Polynomring in n Varbiablen,
> f,g [mm]\in K[\underline{X}][/mm] mit [mm]kgV(lm(f), lm(g)) = lm(f)*lm(g)[/mm].
>
> Zeige: [mm]\overline{S(f,g)}^{(f,g)}=0.[/mm]
>
> Hallo,
>
> wie man sieht, dient diese Aufgabe dazu, Buchbergers
> Algorithmus zur Bestimmung von Gröbnerbasen zu verbessern
> (sodass weniger S-Polynome berechnet werden müssen).
> Leider wurde nur äußerst dürftig auf das Rechnen in
> Restklassenringen Modulo von multivariablen Polynomen
> erzeugten Idealen eingegangen..
Das benoetigst du hier auch gar nicht. Du sollst nur zeigen, dass der Divisionsalgorithmus, angewendet auf $S(f, g)$ zusammen mit den Polynomen $f, g$ durch die geteilt werden soll, das Ergebnis 0 liefert.
Das bedeutet insbesondere, dass $S(f, g)$ im Restklassenring gleich 0 ist. Die Rueckrichtung gilt aber eben nicht! Deswegen bringt dir das nichts.
> Man kann hier ja die Identität [mm]|a*b| = kgV(a,b)*ggT(a,b)[/mm]
> benutzen, woraus folgt, dass die Leitmonome der Polynome f
> und g teilerfremd sind. Dadurch ist das S-Polynom auf den
> Ausdruck [mm]S=lt(g)*f-lt(f)*g[/mm] reduziert.
Je nach Definition des $S$-Polynoms ist das nur bis auf konstante Vielfache so. Aber im Prinzip stimmt es.
> Der ganze Rest dieser Aufgabe sollte jetzt ja nur noch
> darin bestehen zu zeigen, dass das kongruent zu null modulo
> f und g ist (sehe ein, dass das eigentlich ne ziemlich
> einfache Angelegenheit ist...). Leider habe ich aber, wie
> gesagt, keinen Plan davon, wie man hier jetzt rechnet! Man
> hat hier ja im Prinzip [mm]q_{1}, q_{2} \in K[\underline{X}][/mm]
> gegeben, sodass sich S darstellen lässt als
> [mm]S=\summe_{i=1}^{2}q_{i}f_{i}+r, r=0[/mm], nämlich die
> Leitmonome selbst. Aufgabe also gelöst?
>
> Wenn das schon so einfach ist, warum ist das S-Polynom dann
> nicht IMMER null? Denn wenn man die Eigenschaft aus der
> Aufgabenstellung nicht hat, so werden die Leitterme im
> S-Polynom ja nur durch den ggT der Leitmonome der Polynome
> geteilt, die jeweiligen Quotienten sind aber ja AUCH in
> [mm]K[\underline{X}],[/mm] weshalb man das S-Polynom ja eigentlich
> immer als Linearkombination der beiden Polynome ohne
> Restterm auffassen könnte...
>
> Wo habe ich hier meinen Denkfehler?
Siehe oben: du verwechselst Rechnen im Restklassenring mit dem Divisionsalgorithmus.
LG Felix
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