Grenzwertsatz v Moivre-Laplace < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich komme mit dem Beweis vom zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace nicht zurecht:
Seien [mm] $X_{i}, [/mm] i [mm] \in \IN$, [/mm] i.i.d. binomialverteilte Zufallsvariablen, [mm] $p=P(\{X_{i}=1\})\in [/mm] (0,1)$ die Erfolgswahrscheinlichkeit. Dann gilt:
[mm] $\mathcal{B}_{n,p} \{k \in \{0,...,n\}|a < (k-np)/\wurzel(np(1-p)) \le b\} \rightarrow \Phi(b) [/mm] - [mm] \Phi(a)$
[/mm]
Beweis: [mm] $S_{n}:= \summe_{i=1}^{n}X_{i}$
[/mm]
[mm] $\mathcal{B}_{n,p} \{k \in \{0,...,n\}|a < (k-np)/\wurzel(np(1-p)) \le b\}= [/mm] $ (WIESO?) [mm] $P\{a < (S_{n}-np)/(\wurzel(np(1-p)) \le b\} [/mm] = [mm] P\{ a < (\summe_{i=1}^{n}(X_{i}-E(X_{i}))/(\wurzel(n*Var(X_{i})) \le b\}=$ [/mm] (WIESO?) [mm] $P\{S_{n}\* \le b\} [/mm] - [mm] P\{S_{n}\*\le a\} \rightarrow \Phi(b) [/mm] - [mm] \Phi(a)$
[/mm]
Es wäre toll, wenn mir jemand die Gleichungen mit den Wieso´s erklären könnte, die verstehe ich nämlich nicht...
lg, dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 So 19.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich komme mit dem Beweis vom zentralen Grenzwertsatz von
> Moivre-Laplace nicht zurecht:
>
> Seien [mm]X_{i}, i \in \IN[/mm], i.i.d. binomialverteilte
> Zufallsvariablen, [mm]p=P(\{X_{i}=1\})\in (0,1)[/mm] die
> Erfolgswahrscheinlichkeit. Dann gilt:
>
> [mm]\mathcal{B}_{n,p} \{k \in \{0,...,n\}|a < (k-np)/\wurzel(np(1-p)) \le b\} \rightarrow \Phi(b) - \Phi(a)[/mm]
>
> Beweis: [mm]S_{n}:= \summe_{i=1}^{n}X_{i}[/mm]
> [mm]\mathcal{B}_{n,p} \{k \in \{0,...,n\}|a < (k-np)/\wurzel(np(1-p)) \le b\}=[/mm]
> (WIESO?) [mm]P\{a < (S_{n}-np)/(\wurzel(np(1-p)) \le b\} [/mm]
Das ist einfach die Faltungseigenschaft der Binomialverteilung: Da die [mm] $X_i$ [/mm] unabhaengig [mm] $\mathcal{B}_{1,p}$-verteilt [/mm] sind, ist [mm] $\sum_{i=1}^n X_i$ $\mathcal{B}_{n,p}$-verteilt.
[/mm]
(Allgemeiner: Ist $X [mm] \sim \mathcal{B}_{n,p}$ [/mm] und $Y [mm] \sim \mathcal{B}_{k,p}$ [/mm] und sind $X, Y$ unabhaengig, so ist $X + Y [mm] \sim \mathcal{B}_{n+k,p}$.)
[/mm]
> [mm]= P\{ a < (\summe_{i=1}^{n}(X_{i}-E(X_{i}))/(\wurzel(n*Var(X_{i})) \le b\}=[/mm]
> (WIESO?) [mm]P\{S_{n}\* \le b\} - P\{S_{n}\*\le a\} \rightarrow \Phi(b) - \Phi(a)[/mm]
Das Wieso hier haengt ganz davon ab, was [mm] $S_n\*$ [/mm] ist. Das musst du schon dabeischreiben...
LG Felix
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Hallo...
die Sache mit der Faltungseigenschaft verstehe ich nicht. Also der Schritt, wo [mm] $\mathcal{B}_{n,p}$ [/mm] nach $P$ gegangen wird: Wo z.B. bleibt das $k$?
Sorry, also wir haben definiert:
[mm] $S_{n}\*:= (\summe_{i=1}^{n}(X_{i} [/mm] - [mm] E(X_{i})))/(\wurzel(n*Var(X_{i}))$
[/mm]
lg, dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:02 Mo 20.03.2006 | | Autor: | felixf |
Guten Morgen!
> die Sache mit der Faltungseigenschaft verstehe ich nicht.
> Also der Schritt, wo [mm]\mathcal{B}_{n,p}[/mm] nach [mm]P[/mm] gegangen
> wird: Wo z.B. bleibt das [mm]k[/mm]?
Nun, du musst dir veranschaulichen, wofuer die Schreibweise [mm] $\mathcal{B}_{n,p} \{k \in \{0,...,n\}|a < (k-np)/\wurzel(np(1-p)) \le b\}$ [/mm] steht. Das ist ja gerade die Summe der Elementarwahrscheinlichkeiten $P(X = k)$ mit $k [mm] \in \{k \in \{0,...,n\}|a < (k-np)/\wurzel(np(1-p)) \le b\}$, [/mm] falls $X$ irgendeine [mm] $\mathcal{B}_{n,p}$-verteilte [/mm] Zufallsvariable ist. Also ist es gleich $P(a < [mm] (X-np)/\wurzel(np(1-p)) \le [/mm] b)$, da $k [mm] \in \{ 0, \dots, n \}$ [/mm] alle Werte annimmt, die auch $X$ (mit W'keit $> 0$) annimmt.
So. Und $X$ ist nun (wegen der Faltung) gleich verteilt wie [mm] $S_n [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n X_i$. [/mm] Weshalb $P(a < [mm] (X-np)/\wurzel(np(1-p)) \le [/mm] b) = P(a < [mm] (S_n-np)/\wurzel(np(1-p)) \le [/mm] b)$ ist.
Verstehst du es jetzt?
> Sorry, also wir haben definiert:
> [mm]S_{n}\*:= (\summe_{i=1}^{n}(X_{i} - E(X_{i})))/(\wurzel(n*Var(X_{i}))[/mm]
Mmmh, aber dann ist das zweite ''WIESO?'' einfach nur $P(a < [mm] S_n* \le [/mm] b) = [mm] P(S_n* \le [/mm] b) - [mm] P(S_n* \le [/mm] a)$, da [mm] $\{ S_n* \le b \}$ [/mm] die disjunkte Vereinigung aus [mm] $\{ S_n* \le a \}$ [/mm] und [mm] $\{ a < S_n* \le b \}$ [/mm] ist (oder ueber Intervalle: [mm] $\left]-\infty, b\right] [/mm] = [mm] \left]-\infty, a\right] \cup \left]a, b\right]$)! [/mm] Kannst du es jetzt nachvollziehen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 23.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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