Grenzwertsätze < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Funktionen u und v seien in einer gemeinsamen Umgebung von a definiert, und es mögen die Grenzwerte lim x gegen a von u(x) und lim x gegen a von v(x) existieren. Beweisen Sie: Es gilt dann:
a) lim x gegen a von (u(x) - v(x)) = lim x gegen a von u(x) - lim x gegen a von v(x)
b) lim x gegen a von (u(x) * v(x)) = lim x gegen a von u(x) * lim x gegen a von v(x) |
Moin!
Die Funktionen u und v seien in einer gemeinsamen Umgebung von a definiert, und es mögen die Grenzwerte lim x gegen a von u(x) und lim x gegen a von v(x) existieren. Beweisen Sie: Es gilt dann:
a) lim x gegen a von (u(x) - v(x)) = lim x gegen a von u(x) - lim x gegen a von v(x)
b) lim x gegen a von (u(x) * v(x)) = lim x gegen a von u(x) * lim x gegen a von v(x)
für alle x aus der betrachteten Umgebung von a.
Wie beweise ich das jetzt konkret. Ich könnte mir vorstellen, dass das was mit den Rechenregeln für konvergente Folgen zu tun hat.
Gruß
Flo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Mo 16.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Flo
Du musst die Definition von lim benutzen. du weisst
[mm] \limes_{x\rightarrow\a}u(x)=u1 [/mm] existiert das bedeutet zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] \delta....
[/mm]
genauso [mm] \limes_{x\rightarrow\a}v(x)=v1
[/mm]
daraus musst du das nun für [mm] \limes_{x\rightarrow\a}u(x)-v(x)=u1-v1 [/mm] beweisen, d.h. aus den 2 deltas für u und v und ein geschickt gewähltes [mm] \varepsilon [/mm] (meist [mm] \varepsilon/2) [/mm] bei u und v, ein delta für u-v gefunden werden kann. Stichwort Dreiecksungleichung!
Gruss leduart
|
|
|
|
