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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Di 05.02.2008 | | Autor: | MadMax |
| Aufgabe | | Lim x-> Unendlich von [mm] (cos(-4/(3x+2)))^x^2 [/mm] |
Hallo
wie kann ich diese Funktion umstellen, um darauf L´Hospital anwenden zu können, bzw um sie ausrechnen zu können?
Lim x-> Unendlich von [mm] (cos(-4/(3x+2)))^x^2
[/mm]
Mit meinen Potenzgesetzen komme ich nicht weiter.
Danke
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Hallo MadMax,
es ist diese Funktion gemeint?
[mm] $\left[\cos\left(-\frac{4}{3x+2}\right)\right]^{x^2}$
[/mm]
Schreibe das Biest zunächst mithilfe der Definition der allg. Potenz [mm] $a^b=e^{b\cdot{}\ln(a)}$ [/mm] um zu:
[mm] $e^{x^2\cdot{}\ln\left(\cos\left(-\frac{4}{3x+2}\right)\right)}$
[/mm]
Dann greife dir den Exponenten heraus:
Den kannst du schreiben als [mm] $\frac{\ln\left(\cos\left(-\frac{4}{3x+2}\right)\right)}{\frac{1}{x^2}}\longrightarrow \frac{\ln(1)}{0}=\frac{0}{0}$ [/mm] für [mm] $x\to\infty$
[/mm]
Also kannst du hierauf die Regel von de l'Hôpital anwenden.
Das musst du gar zweimal tun, wenn ich mich nicht verrechnet habe - was (k)ein Wunder wäre 
Wenn du dann einen GW für den Exponenten ermittelt hast, dann am Ende noch [mm] $e^{GW}$
[/mm]
Die Ableitungen werden aber nicht so besonders schön, versuche, weitgehend zusammenzufassen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Mi 06.02.2008 | | Autor: | MadMax |
Moin
Ich hab jetzt mal (versucht) abgeleitet (abzuleiten)
das ist herausgekommen.
Erst mal einzeln.
Nenner: [mm] 1/x^2 [/mm] = [mm] -2/x^3
[/mm]
Zähler
(-4/(3x+2)) = [mm] 12//3x+2)^2
[/mm]
Cos (-4/(3x+2)) = [12*sin(-4/(3x+2))] / [mm] (3x+2)^2
[/mm]
dann noch ln (alles) = und etwas umgefo1rmt
[mm] [x^3 [/mm] * [mm] (3x+2)^2] [/mm] / [-24 *sin (-4/(3x+2))]
anders ausgedrückt, so sah es vorher aus
[1/[12*sin(-4/(3x+2)) / [mm] (3x+2)^2]] [/mm] / [mm] (-2/x^3)
[/mm]
ganz schön hewwi.
wenn ich jetzt unendlich einsetzt kommt auch unedlich raus. d.h. nochmal ableiten.
dann hab ich aber doch immernoch ein X da drinstehen. dann kommt doch wieder unendlichr aus, oder nicht?
zumal oben [mm] x^3 [/mm] ist und unten kein x, das wird dann doch eine zX durch eine zahl, das geht dann nicht.
Wo liegt mehr (Denk) Fehler
Danke
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Hallo MadMax!
Da fehlt in der Ableitung des Zählers noch ein Term mit [mm] $\bruch{1}{\cos(...)}$ [/mm] als Ableitung von [mm] $\ln[\cos(...)]$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Mi 06.02.2008 | | Autor: | MadMax |
da hab ich doch glatt die kettenregel vergessen.
Das finde ich aber echt ne verdammt fiese Aufgabe!
und sowas soll man in der Klausur können.
Ich studiere Maschbau und kein Mathe
Danke Ich versuchs gleich nochmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mi 06.02.2008 | | Autor: | MadMax |
könnte das die Ableitung sein?
[mm] [x^3*(-6)*Tan(-4/(3x+2)]/(3x+2)^2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Mi 06.02.2008 | | Autor: | MadMax |
Also, ich bekomme es nicht hin, das ist zu schwer für mich.
Sofern die obere Ableitung stimmt, wollte ich jetzt die zweite machen.
Ich hab es erst mal aufgeteilt:
f´/g´
g´: [mm] (3x+2)^2 [/mm] = 18x+12
f´: [mm] x^3*(-6)*tan [/mm] (-4/(3x+2))
ok, der tan abgeleitet wird mit Kettenregel : 12/ [mm] cos^2(-4/3x+2)
[/mm]
dann mit der Produktregel -6*tan(x)
müsste das sein: -72/ [mm] (3x+2)*(cos^2(-4/(3x+2)))
[/mm]
so dann müsste ja noch mit der Produktregel der rest zusammengefasst werden
Wären dann.... das ist zu schwer.
Helft mir bitte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Mi 06.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würd das anders machen.
1. 3x+2approx 3x für große x
dadurch :
[mm] cos(4/(3x))^{x^2} =e^{x^2*ln(cos4/(3x))}
[/mm]
jetzt statt x gegen [mm] \infty [/mm] 1/x gegen 0
also
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{ln(cos(4x/3))}{x^2}.
[/mm]
jetzt ist 2mal l'Hopital leicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mi 06.02.2008 | | Autor: | MadMax |
das du die 2 weglässt verstehe ich ja noch, aber warum scheibst du das [mm] x^2 [/mm] einfach in den nenner? da müsste doch [mm] 1/x^2 [/mm] stehen,
mein problem ist aber immernoch die Ableitung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mi 06.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hätte vielleicht den Namen der variablen ändern müssen. setze 1/x=z
dann ist
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x=\limes_{z\rightarrow\0}z
[/mm]
und du hast statt cos(4/(3x)) cos(4z/3) und statt [mm] x^2 1/z^2 [/mm] also insgesamt
statt [mm] x^2*cos(4/(3x)) 1/z^2*cos(4z/3) [/mm] und lim z gegen0.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mi 06.02.2008 | | Autor: | MadMax |
Also ich kapier jetzt garnichts mehr. Nochmal von Anfang
Ich hab die Fkt. lim x->unendlich: [mm] (cos(-4/3x+2))^x^2
[/mm]
das ist umgeschrieben
[mm] e^x^2*ln(cos(-4/(3x+2)))
[/mm]
das umgeschrieben und das e weggelassen ist.
[mm] ln(cos(-4/(3x+2)))/(1/x^2)
[/mm]
das hatte ich abgeleitet. da kam dann das raus.
[mm] x^3*-6*tan(-4/(3x+2))/(3x+2)^2
[/mm]
das wollte ich dann nochmal ableiten. das wurde dann aber zu heftig.
Ihr meint jetzt, ich soll substituieren.
quasi Z=1/x
dann hätte ich: [mm] ln*(cos(4*z^2/3+2))/(3+2)^2
[/mm]
das kapier ich vorne und hinten nicht.
kann mich bitte einer im ICQ adden mit der nummer 84862433, das geht schneller
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Mi 06.02.2008 | | Autor: | MadMax |
Upps, hatte vergessen zu kürzen. stimmt kommt jetzt -8/9 raus.
und die 0 wahrscheinlich desshalb, weil ich substituiert habe.
also 1/x mit unendlich = 0
also auch für z = 0 einsetzten
Als Ergebniss habe ich -8/9 raus.
Danke
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