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Hallo,
heute habe ich eine Aufgabe zur Beurteilung, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert.
Aufgabe: [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} 4/(2k^3+1)
[/mm]
Ich habe das Quotentenkriterium angewendet, was mir die Lösung =1 bringt und damit versagt das Kriterium. Das Wurzelkriterium versagt ja gleich ganz.
Also, ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe und überhaupt möchte ich mal wissen, bei welchen Aufgabentypen man denn welches Kriterium anwendet. Was macht man, wenn das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium versagen(eine Abschätzung, aber wie??).
Gruß und Danke
Chrischaan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Chrischaan |
Hab ich vielleicht selbst schon die Lösung, da:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}4/(2k^3+1)=0 [/mm] und damit ist die Reihe konvergent.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, die Bedingung [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=0$ [/mm] ist nur eine notwendige, keines falls aber eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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Hallo!
Am bestens verwendest du hier das Majorantenkriterium. Dabei versuchst du, [mm] $\bruch 4{2k^3+1}$ [/mm] durch eine Folge abzuschätzen, die summierbar ist. Versuch doch mal zu zeigen, dass [mm] $\bruch 4{2k^3+1}\le \bruch 2{k^2}$ [/mm] für [mm] $k\ge [/mm] 1$ ist...
Die Frage, welches Kriterium man wann benutzt, ist nicht so einfach zu beantworten.
Der Faktor [mm] $(-1)^n$ [/mm] im Summanden deutet darauf hin, dass man mit dem Leibniz-Kriterium weiterkommen könnte.
Wurzel- und Quotientenkriterium kann man ja einfach mal versuchshalber anwenden.
Und wenn das alles nicht hilft, bleibt nur noch abschätzen. Dabei hilft dir leider nur deine Intuition weiter, ein Kochrezept gibt es hierfür - wie eigentlich überall in der höheren Mathematik - nicht.
Bringt dich der Tipp weiter?
Gruß, banachella
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Um ehrlich zu sein, ich habe keinen blassen Schimmer, wie ich da rangehen soll.
Ich muss quasi die Reihe ersetzen durch eine andere Reihe?
Ich glaube ich brauche dahingehend eine ausführliche Hilfe, da ich mit diesem Kapitel der Mathematik wohl auf Kriegsfuss stehe.
Hoffe, Ihr könnt mich unterstützen. Danke!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Di 13.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich bin in diesem Thema auch nicht so sicher, aber vielleicht geht es ja so:
[mm] \bruch{4}{2k^3+1}=\bruch{2*2}{2(k^3+\bruch{1}{2})}=\bruch{2}{k^3+\bruch{1}{2}}
[/mm]
Nun gilt für [mm] k\ge [/mm] 1: [mm] k^3\ge k^2, [/mm] also [mm] \bruch{1}{k^3}\le\bruch{1}{k^2}
[/mm]
Fehlt nur noch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - was man damit macht, weiß ich grad auch nicht...
Aber vielleicht hilft es dir ja.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Di 13.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Ich muss quasi die Reihe ersetzen durch eine andere Reihe?
Nicht ersetzen, sondern abschätzen. Gilt [mm] $a_k \ge [/mm] 0$ für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $a_k \le b_k$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] sowie [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] so folgt auch [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
> Ich glaube ich brauche dahingehend eine ausführliche Hilfe,
> da ich mit diesem Kapitel der Mathematik wohl auf
> Kriegsfuss stehe.
Naja, aber das hier ist wirklich megasimpel, und das wirst du gleich auch sehen, wenn du mal deine Hemmungen etwas beiseite legst. 
Wir zeigen jetzt:
[mm] $\frac{4}{2k^3+1} \le \frac{2}{k^2}$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Diese Gleichung ist äquivalent zu ("durchmultiplizieren")
[mm] $4k^2 \le 4k^3 [/mm] + 2$,
und dies ist offenbar für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] eine wahre Aussage.
Bekanntlich konvergiert aber die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k^2} [/mm] = 2 [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$. [/mm]
Daraus folgt (mit dem obigen Majorantenkriterium) die Behauptung.
Liebe Grüße
Julius
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Gut, dann versuche ich es mal jetzt bei einer anderen Aufgabe.
Die Aufgabe lautet:
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty}(2n+1)/(n^2+3)
[/mm]
Meine Abschätzung:
[mm] (2n+1)/(n^2+3) \le [/mm] 2n/n
damit ergibt sich:
[mm] 2n^2+n \le 2n^3+6n [/mm] w.A. für n [mm] \ge [/mm] 1
und:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 2 = 2 ergo divergent!!!
Richtig??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Di 13.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nein, so nicht. Hier musst du umgekehrt abschätzen:
Ist für $k [mm] \in \IN$ $a_k \ge [/mm] 0$, [mm] $b_k \ge a_k$ [/mm] und divergiert die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$, [/mm] so divergiert auch die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k$.
[/mm]
Hier wollen wir zeigen:
[mm] $\frac{2k+1}{k^2+3} \ge \frac{1}{k}$.
[/mm]
Diese Ungleichung ist äquivalent zu
[mm] $2k^2+k \ge k^2+3$,
[/mm]
und dies ist eine wahre Aussage für $k [mm] \ge [/mm] 2$ (die Ungleichung [mm] $b_k \ge a_k$ [/mm] muss nämlich in Wahrheit nicht für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] gelten, sondern erst ab einem gewissen [mm] $k_0 \in \IN$, [/mm] wie man sich leicht überlegt).
Aus der Divergenz der harmonischen Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ [/mm] folgt die Behauptung.
Liebe Grüße
Julius
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