Grenzwerte von Mengenfolgen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:42 Fr 11.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | Seien [mm] \Omega [/mm] eine nichtleere Menge und { [mm] A_{n} [/mm] } n [mm] \in \IN [/mm] eine Folge in [mm] P(\Omega). [/mm] Dann definiert man den Limes inferior und den Limes superior der Mengenfolge { [mm] A_{n} [/mm] } n [mm] \in \IN [/mm] als
[mm] \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n} [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_{k} [/mm] bzw. [mm] \limsup_{n \rightarrow \infty} A_{n} [/mm] = [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k}
[/mm]
Berechnen Sie nun für die Beispiele
(iii) [mm] A_{n} [/mm] := [mm] (-\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}),
[/mm]
(iv) [mm] A_{n} [/mm] := { [mm] (-1)^{n} [/mm] },
(v) [mm] A_{n} [/mm] := { i [mm] \in \IN [/mm] : i ist durch drei teilbar } für n ungerade,
[mm] A_{n} [/mm] := { i [mm] \in \IN [/mm] : i ist durch zwei teilbar } für n gerade
den Limes inferior und den Limes superior der Mengenfolge { [mm] A_{n} [/mm] } n [mm] \in \IN. [/mm] |
Hallo,
habe schwierigkeiten mit dem anwenden obiger Aufgabe. Bin jetzt erst bei (iii).
Der [mm] \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n} [/mm] = { [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] \omega \in A_{n} [/mm] für schließlich alle n [mm] \in \IN [/mm] }
und der [mm] \limsup_{n \rightarrow \infty} A_{n} [/mm] = { [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] \omega \in A_{n} [/mm] für unendlich viele n [mm] \in \IN}
[/mm]
Dies habe ich hier bewiesen.
Nun habe ich aber keine Ahnung wie ich bei der (iii) das anwende. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Oder könnt Ihr mir irgendeine Seite im Internet oder so empfehlen, die ich erstmal studieren kann um die Anwendung zu verstehen?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:55 Fr 11.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Es ist also
$ [mm] A_{n} [/mm] $ := $ [mm] (-\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}), [/mm] $.
Dann ist [mm] \omega \in [/mm] $ [mm] \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n} [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] es ex. ein m [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] \omega \in (-\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] m.
Nun überlege Dir, dass gilt:
[mm] \omega \in [/mm] $ [mm] \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n} [/mm] $ [mm] \gdw \omega=0.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Fr 11.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
ok.
mein Lösungsvorschlag:
[mm] \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n} [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}, \bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} \limes_{m \rightarrow \infty} \bigcap_{k=n}^{m} (-\bruch{1}{k}, \bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} \limes_{m \rightarrow \infty} (-\bruch{1}{m}, \bruch{1}{m}) [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} [/mm] { 0 } = { 0 }
richtig????
Danke.
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Hiho,
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}, \bruch{1}{k})[/mm] = [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} \limes_{m \rightarrow \infty} \bigcap_{k=n}^{m} (-\bruch{1}{k}, \bruch{1}{k})[/mm]
Huhu. Dafür müsstest du erstmal definieren, was [mm] $\lim_{m\to\infty} B_m$ [/mm] für eine (beliebige) Mengenfolge [mm] ${(B_m)}_{m\in\IN}$ [/mm] ist, also einen Konvergenzbegriff für Mengen einführen. Kannst/Willst du das?
Aber ohne den Zwischenschritt kannst du das doch direkt aufschreiben. Mach dir nur klar, dass doch direkt gilt:
[mm] $\bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}, \bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] \{0\}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Fr 11.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke für deine Antwort.
> Hiho,
>
> > [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}, \bruch{1}{k})[/mm]
> = [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} \limes_{m \rightarrow \infty} \bigcap_{k=n}^{m} (-\bruch{1}{k}, \bruch{1}{k})[/mm]
>
> Huhu. Dafür müsstest du erstmal definieren, was
> [mm]\lim_{m\to\infty} B_m[/mm] für eine (beliebige) Mengenfolge
> [mm]{(B_m)}_{m\in\IN}[/mm] ist, also einen Konvergenzbegriff für
> Mengen einführen. Kannst/Willst du das?
>
> Aber ohne den Zwischenschritt kannst du das doch direkt
> aufschreiben. Mach dir nur klar, dass doch direkt gilt:
>
> [mm]\bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}, \bruch{1}{k}) = \{0\}[/mm]
Also mir ist schon klar, dass [mm] \bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k}) [/mm] = { 0 } ist. Weil für immer größeres k nähern sich die zwei Brüche ja immer mehr der 0 und wenn ich so oft die Schnittmenge bilde bleibt zum Schluss nur das in der Menge was in der letzten und in der ersten Menge ist. Und das ist hier einfach die 0.
richtig???
Nur wie zeige ich das mathematisch korrekt?
>
> MFG,
> Gono.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:27 Sa 12.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ali,
> Also mir ist schon klar, dass [mm]\bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k})[/mm]
> = { 0 } ist. Weil für immer größeres k nähern sich die
> zwei Brüche ja immer mehr der 0 und wenn ich so oft die
> Schnittmenge bilde bleibt zum Schluss nur das in der Menge
> was in der letzten und in der ersten Menge ist. Und das ist
> hier einfach die 0.
Es gibt hier keine letzte Menge.
> Nur wie zeige ich das mathematisch korrekt?
Zeige nacheinander [mm] $\bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k})\subseteq\{0\}$ [/mm] und [mm] $\bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k})\supseteq\{0\}$:
[/mm]
Etwa ersteres: Sei [mm] $x\in\bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k})$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $x\in\{0\}$.
[/mm]
Aus [mm] $x\in(-\bruch1n;\bruch1n)$ [/mm] folgt [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Aus $x< [mm] \bruch1k$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] mit [mm] $k\ge [/mm] n$ folgt [mm] $x\le0$.
[/mm]
Aus [mm] $x>-\bruch1k$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] mit [mm] $k\ge [/mm] n$ folgt [mm] $x\ge [/mm] 0$.
Also $x=0$ und damit wie gewünscht [mm] $x\in\{0\}$.
[/mm]
Den Nachweis von [mm] $\bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k})\supseteq\{0\}$ [/mm] überlasse ich dir.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke Tobit09.
Ich versuchs jetzt hier mal. Aber ich habe keine Ahnung ob das auch nur annähernd stimmen könnte:
Sei x [mm] \in [/mm] { 0 }. Zu zeigen ist x [mm] \in \bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k}).
[/mm]
Da x < [mm] \bruch{1}{k} \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] mit k [mm] \ge [/mm] n [mm] \wedge [/mm] x > [mm] -\bruch{1}{k} \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] mit k [mm] \ge [/mm] n folgt x [mm] \in \bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k}).
[/mm]
irgendwas richtiges dabei???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 So 13.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke Tobit09.
>
> Ich versuchs jetzt hier mal. Aber ich habe keine Ahnung ob
> das auch nur annähernd stimmen könnte:
>
> Sei x [mm]\in[/mm] { 0 }. Zu zeigen ist x [mm]\in \bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k}).[/mm]
>
> Da x < [mm]\bruch{1}{k} \forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] mit k [mm]\ge[/mm] n [mm]\wedge[/mm] x
> > [mm]-\bruch{1}{k} \forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] mit k [mm]\ge[/mm] n folgt x [mm]\in \bigcap_{k=n}^{\infty} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k}).[/mm]
>
> irgendwas richtiges dabei???
Ja, alles richtig.
FRED
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke Fred.
Wie mache ich das jetzt bei der (iv) mit [mm] A_{n} [/mm] := { [mm] (-1)^{n} [/mm] }???
Soll ich zeigen, dass [mm] \bigcap_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{n} [/mm] } [mm] \subseteq [/mm] { -1; 1 } [mm] \wedge \bigcap_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{n} [/mm] } [mm] \supseteq [/mm] { -1; 1 } ????
Oder liege ich da fölligst falsch???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Wie mache ich das jetzt bei der (iv) mit [mm]A_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$
> [mm](-1)^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$???
>
> Soll ich zeigen, dass [mm]\bigcap_{k=n}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm](-1)^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$
> [mm]\subseteq[/mm] [mm] $\{$ -1; 1 $\}$[/mm] [mm]\wedge \bigcap_{k=n}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$
> [mm](-1)^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ [mm]\supseteq[/mm] [mm] $\{$ -1; 1 $\}$ [/mm] ????
Du meinst sicherlich [mm] $\bigcup_{k=n}^{\infty}\{(-1)^k\}\subseteq\{-1,1\}$ [/mm] und [mm] $\bigcup_{k=n}^{\infty}\{(-1)^k\}\supseteq\{-1,1\}$.
[/mm]
Dann stimmen die beiden Behauptungen.
Sie sind auch ein guter Anfang für die Ermittlung des Limes superior.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > Wie mache ich das jetzt bei der (iv) mit [mm]A_{n}[/mm] := [mm]\{[/mm]
> > [mm](-1)^{n}[/mm] [mm]\}[/mm]???
> >
> > Soll ich zeigen, dass [mm]\bigcap_{k=n}^{\infty}[/mm] [mm]\{[/mm] [mm](-1)^{n}[/mm] [mm]\}[/mm]
> > [mm]\subseteq[/mm] [mm]\{[/mm] -1; 1 [mm]\}[/mm] [mm]\wedge \bigcap_{k=n}^{\infty}[/mm] [mm]\{[/mm]
> > [mm](-1)^{n}[/mm] [mm]\}[/mm] [mm]\supseteq[/mm] [mm]\{[/mm] -1; 1 [mm]\}[/mm] ????
> Du meinst sicherlich
> [mm]\bigcup_{k=n}^{\infty}\{(-1)^k\}\subseteq\{-1,1\}[/mm] und
> [mm]\bigcup_{k=n}^{\infty}\{(-1)^k\}\supseteq\{-1,1\}[/mm].
>
> Dann stimmen die beiden Behauptungen.
>
> Sie sind auch ein guter Anfang für die Ermittlung des
> Limes superior.
Bei der Aufgabe (iii) habe ich ja alles bewiesen was zu beweisen war. Oder?
Zur Aufgabe (iv):
Zu zeigen: [mm] \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] } [mm] \subseteq [/mm] { -1; 1 } und [mm] \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] } [mm] \supseteq [/mm] { -1; 1 }.
Zunächst zu [mm] \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] } [mm] \subseteq [/mm] { -1; 1 } :
Sei x [mm] \in \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] }. Zu zeigen ist x [mm] \in [/mm] { -1; 1 }.
Aus x [mm] \in \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] } folgt x [mm] \in \IZ.
[/mm]
Aus x < 1 [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] mit k ungerade folgt x < 1.
Aus x > -1 [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] mit k gerade folgt x > -1.
Also x= -1 bzw. x=1 und damit wie gewünscht x [mm] \in [/mm] { -1; 1 }.
irgendwas annähernd richtiges dabei???
Danke.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Bei der Aufgabe (iii) habe ich ja alles bewiesen was zu
> beweisen war. Oder?
Wenn ich jetzt nichts übersehen habe, hast du bisher bei (iii) den Limes inferior ermittelt, den Limes superior jedoch noch nicht.
> Zur Aufgabe (iv):
>
> Zu zeigen: [mm]\bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm](-1)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ [mm]\subseteq[/mm] [mm] $\{$
> -1; 1 $\}$ [/mm] und [mm]\bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm](-1)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ [mm]\supseteq[/mm] [mm] $\{$
> -1; 1 $\}$.
[/mm]
>
> Zunächst zu [mm]\bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm](-1)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ [mm]\subseteq[/mm]
> [mm] $\{$ -1; 1 $\}$ [/mm] :
>
> Sei x [mm]\in \bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm](-1)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$. Zu zeigen
> ist x [mm]\in[/mm] [mm] $\{$ -1; 1 $\}$.
[/mm]
Genau.
> Aus x [mm]\in \bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm](-1)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ folgt x [mm]\in \IZ.[/mm]
>
> Aus x < 1 [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] mit k ungerade folgt x < 1.
Warum sollte $x<1$ (für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] mit $k$ ungerade) gelten?
> Aus x > -1 [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] mit k gerade folgt x > -1.
> Also x= -1 bzw. x=1
Vorher behauptest du $x<1$ bzw. $x>-1$. Wo kommt plötzlich $x=-1$ bzw. $x=1$ her?
> und damit wie gewünscht x [mm]\in[/mm] { -1; 1
> }.
Der Rahmen deines Beweises sieht gut aus.
Nun gilt es, den Mittelteil korrekt auszuführen:
Wir haben also x [mm]\in \bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm](-1)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$.
Was bedeutet das?
Es gibt ein $k\in\IN$ mit $x\in\{(-1)^k\}$, also $x=(-1)^k$.
Was folgt also für $x$ im Falle $k$ gerade bzw. im Falle $k$ ungerade?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > Bei der Aufgabe (iii) habe ich ja alles bewiesen was zu
> > beweisen war. Oder?
> Wenn ich jetzt nichts übersehen habe, hast du bisher bei
> (iii) den Limes inferior ermittelt, den Limes superior
> jedoch noch nicht.
>
>
> > Zur Aufgabe (iv):
> >
> > Zu zeigen: [mm]\bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm] [mm]\{[/mm] [mm](-1)^{k}[/mm] [mm]\}[/mm] [mm]\subseteq[/mm]
> [mm]\{[/mm]
> > -1; 1 [mm]\}[/mm] und [mm]\bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm] [mm]\{[/mm] [mm](-1)^{k}[/mm] [mm]\}[/mm]
> [mm]\supseteq[/mm] [mm]\{[/mm]
> > -1; 1 [mm]\}[/mm].
> >
> > Zunächst zu [mm]\bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm] [mm]\{[/mm] [mm](-1)^{k}[/mm] [mm]\}[/mm]
> [mm]\subseteq[/mm]
> > [mm]\{[/mm] -1; 1 [mm]\}[/mm] :
> >
> > Sei x [mm]\in \bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm] [mm]\{[/mm] [mm](-1)^{k}[/mm] [mm]\}[/mm]. Zu zeigen
> > ist x [mm]\in[/mm] [mm]\{[/mm] -1; 1 [mm]\}[/mm].
> Genau.
>
> > Aus x [mm]\in \bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm] [mm]\{[/mm] [mm](-1)^{k}[/mm] [mm]\}[/mm] folgt x
> [mm]\in \IZ.[/mm]
> >
> > Aus x < 1 [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] mit k ungerade folgt x < 1.
> Warum sollte [mm]x<1[/mm] (für alle [mm]k\in\IN[/mm] mit [mm]k[/mm] ungerade)
> gelten?
>
> > Aus x > -1 [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] mit k gerade folgt x > -1.
>
> > Also x= -1 bzw. x=1
> Vorher behauptest du [mm]x<1[/mm] bzw. [mm]x>-1[/mm]. Wo kommt plötzlich
> [mm]x=-1[/mm] bzw. [mm]x=1[/mm] her?
>
> > und damit wie gewünscht x [mm]\in[/mm] { -1; 1
> > }.
> Der Rahmen deines Beweises sieht gut aus.
> Nun gilt es, den Mittelteil korrekt auszuführen:
>
> Wir haben also x [mm]\in \bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm] [mm]\{[/mm] [mm](-1)^{k}[/mm]
> [mm]\}[/mm].
> Was bedeutet das?
> Es gibt ein [mm]k\in\IN[/mm] mit [mm]x\in\{(-1)^k\}[/mm], also [mm]x=(-1)^k[/mm].
>
> Was folgt also für [mm]x[/mm] im Falle [mm]k[/mm] gerade bzw. im Falle [mm]k[/mm]
> ungerade?
Für k gerade folgt x=1 und für k ungerade folgt x=-1.
Ich würde es nun so machen:
Zu [mm] \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] } [mm] \subseteq [/mm] { -1; 1 } :
Sei x [mm] \in \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] }. Zu zeigen ist x [mm] \in [/mm] { -1; 1 }.
Aus x [mm] \in [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] } folgt x [mm] \in \IZ.
[/mm]
Es gibt ein k [mm] \in \IN [/mm] mit x [mm] \in [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] }, also [mm] x=(-1)^{k}. [/mm] Für k gerade folgt also x=1 und im Falle k ungerade folgt x=-1. Also x [mm] \in [/mm] { -1; 1 }.
etwas richtiges dabei???
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Es gibt ein [mm]k\in\IN[/mm] mit [mm]x\in\{(-1)^k\}[/mm], also [mm]x=(-1)^k[/mm].
> >
> > Was folgt also für [mm]x[/mm] im Falle [mm]k[/mm] gerade bzw. im Falle [mm]k[/mm]
> > ungerade?
>
> Für k gerade folgt x=1 und für k ungerade folgt x=-1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
> Ich würde es nun so machen:
>
> Zu [mm]\bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm](-1)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ [mm]\subseteq[/mm] [mm] $\{$ -1; 1 $\}$ [/mm]
> :
>
> Sei x [mm]\in \bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm](-1)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$. Zu zeigen
> ist x [mm]\in[/mm] [mm] $\{$ -1; 1 $\}$.
[/mm]
> Aus x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm](-1)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ folgt x [mm]\in \IZ.[/mm]
Die letzte Zeile würde ich ersatzlos streichen. Du müsstest zunächst erklären, was k eigentlich hier sein soll. Außerdem brauchst du diese Zeile im Folgenden nicht.
> Es gibt ein k [mm]\in \IN[/mm]
> mit x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm](-1)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$, also [mm]x=(-1)^{k}.[/mm] Für k gerade
> folgt also x=1 und im Falle k ungerade folgt x=-1. Also x
> [mm]\in[/mm] [mm] $\{$ -1; 1 $\}$.
[/mm]
Schön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Supi. Danke Danke!!! So lerne ich es wirklich am besten und fange an zu verstehen was hier eigentlich passiert. Ihr seid mir alle echt eine große Hilfe und ich bin wirklich dankbar dafür.
Nun zu [mm] \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] } [mm] \supseteq [/mm] { -1; 1 }.
Sei x [mm] \in [/mm] { -1; 1 }. Zu zeigen ist x [mm] \in \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] }. Für [mm] x=(-1)^{k} [/mm] folgt, dass x=1 für alle k gerade und x=-1 für alle k ungerade. Somit folgt x [mm] \in \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] }.
irgendwas richtiges dabei?
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Nun zu [mm]\bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm](-1)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ [mm]\supseteq[/mm] [mm] $\{$ -1;
> 1 $\}$.
[/mm]
>
> Sei x [mm]\in[/mm] [mm] $\{$ -1; 1 $\}$. [/mm] Zu zeigen ist x [mm]\in \bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> $\{$ [mm](-1)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$.
Ja.
> Für [mm]x=(-1)^{k}[/mm] folgt, dass x=1 für alle k
> gerade und x=-1 für alle k ungerade.
Umgekehrt: Wir wissen [mm] $x\in\{-1,1\}$. [/mm] Also gilt $x=-1$ oder $x=1$. Im ersten Fall ist [mm] $x=(-1)^k$ [/mm] für alle ungeraden [mm] $k\in\IN$ [/mm] und im zweiten Fall [mm] $x=(-1)^k$ [/mm] für alle geraden [mm] $k\in\IN$.
[/mm]
> Somit folgt x [mm]\in \bigcup_{k=n}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> $\{$ [mm](-1)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$.
(Wenn man es genauer ausführen möchte:
Wir wählen im Falle $x=-1$ irgendeine ungerade natürliche Zahl $k\ge n$. Dann gilt $x\in\{(-1)^k\}$ und damit $x\in\bigcup_{k=n}^\infty\{(-1)^k\}$.
Im Falle $x=1$ argumentieren wir analog mit einer geraden natürlichen Zahl $k\ge n$.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke!!!
Jetzt hab ich das ganze mal zusammengefasst. Ist zwar etwas lang und ausführlich geworden aber hoffentlich richtig:
Zu [mm] \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] } [mm] \supseteq [/mm] { -1; 1 }.
Sei x [mm] \in [/mm] { -1; 1 }. Zu zeigen ist x [mm] \in \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] } .
Da x [mm] \in [/mm] { -1; 1 }, gilt x=1 [mm] \vee [/mm] x=-1. Im ersten Fall ist [mm] x=(-1)^{k} [/mm] für alle geraden k [mm] \in \IN [/mm] und im zweiten Fall ist [mm] x=(-1)^{k} [/mm] für alle ungeraden [mm] k\in \IN. [/mm] Wir wählen im Falle x=-1 irgendeine ungerade natürliche Zahl k [mm] \ge [/mm] n. Dann gilt x [mm] \in [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] } und damit x [mm] \in \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] }. Für den Fall x=1 wählen wir irgendeine gerade natürliche Zahl k [mm] \ge [/mm] n. Dann gilt x [mm] \in [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] } und damit x [mm] \in \bigcup_{k=n}^{\infty} [/mm] { [mm] (-1)^{k} [/mm] }.
Stimmt das jetzt so???
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Korrekt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Supi. Danke :-D
jetzt ist noch die Frage wie mache ich das supremum von der (iii)???
da habe ich noch garkeinen Anhaltspunkt :-(.
Danke.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Sicherheitshalber: Noch hast du hier im Forum bei iv) den Limes superior nicht fertig ermittelt und die Bestimmung des Limes inferior noch gar nicht begonnen.
> jetzt ist noch die Frage wie mache ich das supremum von der
> (iii)???
>
> da habe ich noch garkeinen Anhaltspunkt :-(.
Hast du gar keine Idee, wie du anfangen sollst?
Nimm z.B. die Definition des Limes superior:
[mm] $\limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n\in\IN}\bigcup_{k\ge n}A_k=\bigcap_{n\in\IN}\bigcup_{k\ge n}(-\bruch1k,\bruch1k)$.
[/mm]
Dann bietet es sich doch an, zunächst für festes [mm] $n\in\IN$ [/mm] die Menge
[mm] $\bigcup_{k\ge n}(-\bruch1k,\bruch1k)$
[/mm]
zu bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Sicherheitshalber: Noch hast du hier im Forum bei iv) den
> Limes superior nicht fertig ermittelt und die Bestimmung
> des Limes inferior noch gar nicht begonnen.
>
>
> > jetzt ist noch die Frage wie mache ich das supremum von der
> > (iii)???
> >
> > da habe ich noch garkeinen Anhaltspunkt :-(.
> Hast du gar keine Idee, wie du anfangen sollst?
>
> Nimm z.B. die Definition des Limes superior:
>
> [mm]\limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n\in\IN}\bigcup_{k\ge n}A_k=\bigcap_{n\in\IN}\bigcup_{k\ge n}(-\bruch1k,\bruch1k)[/mm].
>
> Dann bietet es sich doch an, zunächst für festes [mm]n\in\IN[/mm]
> die Menge
>
> [mm]\bigcup_{k\ge n}(-\bruch1k,\bruch1k)[/mm]
>
> zu bestimmen.
Für festes n [mm] \in \IN [/mm] ist doch [mm] \bigcup_{k \ge n} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] (-\bruch{1}{n}; \bruch{1}{n}).
[/mm]
oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Nimm z.B. die Definition des Limes superior:
> >
> > [mm]\limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n\in\IN}\bigcup_{k\ge n}A_k=\bigcap_{n\in\IN}\bigcup_{k\ge n}(-\bruch1k,\bruch1k)[/mm].
>
> >
> > Dann bietet es sich doch an, zunächst für festes [mm]n\in\IN[/mm]
> > die Menge
> >
> > [mm]\bigcup_{k\ge n}(-\bruch1k,\bruch1k)[/mm]
> >
> > zu bestimmen.
>
> Für festes n [mm]\in \IN[/mm] ist doch [mm]\bigcup_{k \ge n} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k})[/mm]
> = [mm](-\bruch{1}{n}; \bruch{1}{n}).[/mm]
>
> oder???
Haargenau.
Jetzt kannst du mithilfe dieser Erkenntnis den gesuchten Limes superior bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Also sieht die Lösung etwa so aus:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup A_{n} [/mm] = [mm] \bigcap_{n \in \IN} \bigcup_{n \ge n}A_{k} [/mm] = [mm] \bigcap_{n \in \IN} \bigcup_{k \ge n} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] (-\bruch{1}{n}; \bruch{1}{n})
[/mm]
???
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Also sieht die Lösung etwa so aus:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sup A_{n}[/mm] = [mm]\bigcap_{n \in \IN} \bigcup_{n \ge n}A_{k}[/mm]
> = [mm]\bigcap_{n \in \IN} \bigcup_{k \ge n} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k})[/mm]
> = [mm](-\bruch{1}{n}; \bruch{1}{n})[/mm]
Nein, da ist dir im letzten Schritt das [mm] $\bigcap_{n\in\IN}$ [/mm] abhanden gekommen.
Es ist also
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \sup A_{n}=\bigcap_{n\in\IN}(-\bruch{1}{n}; \bruch{1}{n})=\ldots$.
[/mm]
(Die Menge [mm] $\bigcap_{n\in\IN}(-\bruch{1}{n}; \bruch{1}{n})$ [/mm] hast du im Grunde genommen heute schon einmal bestimmt.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ahaaaaa
jetzt hab ichs glaub ich:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \sup A_{n} [/mm] = [mm] \bigcap_{n \in \IN} \bigcup_{k \ge n} A_{k} [/mm] = [mm] \bigcap_{n \in \IN} \bigcup_{k \ge n} (-\bruch{1}{k}; \bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] \bigcap_{n \in \IN} (-\bruch{1}{n}; \bruch{1}{n}) [/mm] = { 0 }
richtig??? bitte sag ja... :-D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Habe ich jetzt die (iii) komplett??? oder fehlt mir noch was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:00 Mo 14.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Habe ich jetzt die (iii) komplett??? oder fehlt mir noch
> was?
Du hast Limes superior und Limes inferior der in (iii) gegebenen Mengenfolge bestimmt und bist damit mit diesem Teil fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:18 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
supi. Danke :-D
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