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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 So 14.08.2005 | | Autor: | Fuechsin |
Hallo an alle!
Ich bin gerade am Sortieren, welchen Grenzwerte die Funktionen so im Allgemeinen haben, wenn x gegen unendlich strebt...
inzwischn bin ich bei den Exponential- und Logarithmusfunktionen angelangt und bin mir dabei aber nicht ganz so sicher, was ich mir überlegt habe.
bei Exponentialfunktionen, für
f(x)= [mm] a^x [/mm] mit a>0 und [mm] a\not=1
[/mm]
dabei bin ich zu dem Ergebnis gekommen, dass für a>1
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} a^x= +\infty [/mm] (uneigentlicher Grenzwert)
und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} a^x= [/mm] 0 sein müsste.
außerdem :
für a< 1
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} a^x= [/mm] 0 und
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} a^x= +\infty
[/mm]
stimmt das? und inwiefern muss ich noch irgednwelche Ableitungen oder so von den exponentialfunktionenn berücksichtigen, wenn ich ihren Grenzwert untersuche?
für die 1. Ableitung denke ich mal, dass dort eigentlich genau das gleiche gilt, weil für a>1 und x gegen plus unendlich ist ja egal, je größer der exponent wird, desto größer wird dann hier auch die basis und es strebt trotzdem noch gegen unendlich.
und für x gegen minus unendlich wird dann eben die basis negativ und der eponent noch kleiner und damit strebt es immernoch gegen 0 . Oder? (kann man bei meinem kauderwelsch überhaupt folgen ?*g*)
dann noch zu den Logarithmusfunktionen und grenzwerte..
das finde ich ein bisschen komplizierter.
und zwar für [mm] f(x)=log_{a}x [/mm] mit a,x [mm] \in \IR [/mm] und a,x >o und a [mm] \not= [/mm] 1
da denke ich mir dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} log_{a}x [/mm] = [mm] +\infty [/mm] (uneigentlicher Grenzwert)
weil, wenn mein x größer wird, dann heißt das ja der wert, der beim potenzieren rauskommt wird größer, also muss ich auch mit einer größeren zahl (dem logarithmus zur Basis) potenzieren. also wird f(x) immer größer. stimmt das soweit?
hm, was passiert jetzt bei x<1? , dann ist f(x) negativ. hä, is das richtig? ach ne, is ja egal ob x <1 oder nich? moment, da kommt ich jetzt ein bisschen durcheinander wie ihr mekrt und weiß nich so ganz weiter.
also, wenn mir da jemand helfen könnte oder noch eine weitere idee für grenzwerte von logarithmusfunktionen hat, dann könnt ihr euch gerne melden :) ich würde mich jedenfalls über jeden Tipp freuen!
viele Dank schon mal, und noch einen schönen Abend!!
viele Grüße, fuechsin ;)
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> Hallo an alle!
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> Ich bin gerade am Sortieren, welchen Grenzwerte die
> Funktionen so im Allgemeinen haben, wenn x gegen unendlich
> strebt...
>
> inzwischn bin ich bei den Exponential- und
> Logarithmusfunktionen angelangt und bin mir dabei aber
> nicht ganz so sicher, was ich mir überlegt habe.
> bei Exponentialfunktionen, für
> f(x)= [mm]a^x[/mm] mit a>0 und [mm]a\not=1[/mm]
> dabei bin ich zu dem Ergebnis gekommen, dass für a>1
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} a^x= +\infty[/mm] (uneigentlicher
> Grenzwert)
> und [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} a^x=[/mm] 0 sein müsste.
> außerdem :
> für a< 1
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} a^x=[/mm] 0 und
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} a^x= +\infty[/mm]
>
> stimmt das? und inwiefern muss ich noch irgednwelche
> Ableitungen oder so von den exponentialfunktionenn
> berücksichtigen, wenn ich ihren Grenzwert untersuche?
> für die 1. Ableitung denke ich mal, dass dort eigentlich
> genau das gleiche gilt, weil für a>1 und x gegen plus
> unendlich ist ja egal, je größer der exponent wird, desto
> größer wird dann hier auch die basis und es strebt
> trotzdem noch gegen unendlich.
> und für x gegen minus unendlich wird dann eben die basis
> negativ und der eponent noch kleiner und damit strebt es
> immernoch gegen 0 . Oder? (kann man bei meinem kauderwelsch
> überhaupt folgen ?*g*)
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Kurzum: richtig.
Wenn Du Exponentialfunktionen ableitest, bekommst Du ja die eigentliche Funktion wieder und dazu nur noch einen zusätzlichen konstanten Faktor, der den Grenzwert aber nicht beeinflußt.
> dann noch zu den Logarithmusfunktionen und grenzwerte..
> das finde ich ein bisschen komplizierter.
> und zwar für [mm]f(x)=log_{a}x[/mm] mit a,x [mm]\in \IR[/mm] und a,x >o und
> a [mm]\not=[/mm] 1
> da denke ich mir dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} log_{a}x[/mm] = [mm]+\infty[/mm]
> (uneigentlicher Grenzwert)
> weil, wenn mein x größer wird, dann heißt das ja der wert,
> der beim potenzieren rauskommt wird größer, also muss ich
> auch mit einer größeren zahl (dem logarithmus zur Basis)
> potenzieren. also wird f(x) immer größer. stimmt das
> soweit?
> hm, was passiert jetzt bei x<1? , dann ist f(x) negativ.
> hä, is das richtig? ach ne, is ja egal ob x <1 oder nich?
> moment, da kommt ich jetzt ein bisschen durcheinander wie
> ihr mekrt und weiß nich so ganz weiter.
> also, wenn mir da jemand helfen könnte oder noch eine
> weitere idee für grenzwerte von logarithmusfunktionen hat,
> dann könnt ihr euch gerne melden :) ich würde mich
> jedenfalls über jeden Tipp freuen!
> viele Dank schon mal, und noch einen schönen Abend!!
> viele Grüße, fuechsin ;)
Bei den Logarithmusfunktionen ist das alles analog... eben gespiegelt an der ersten Winkelhalbierenden.
Für a>1 ist der lim für x gegen 0 bei -unendlich, für x gegen unendlich bei +unendlich.
Für a<1 ist das eben genau andersrum.
Dazu mache man sich klar, daß [mm] $\log_a{x}=\frac{\ln x}{\ln a}$ [/mm] gilt, ln der Logarithmus zu Basis e ist, wobei e größer ist als 1, also ln x so aussieht wie oben, ln a, weil a<1, aber kleiner ist als 0, also dreht die ganze Sache ihr Vorzeichen um.
Gruß,
Christian
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