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Forum "Funktionen" - Grenzwerte von Funktionen
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Grenzwerte von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Mo 28.04.2008
Autor: jboss

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte von Funktionen:
a) $\limes_{x\rightarrow0} e^{-\bruch{1}{x^2}$
b) $\limes_{x\rightarrow0} \wurzel[x]{1 + x}$
c) $\limes_{x\rightarrow0} \wurzel[x^2]{x}$
d) $\limes_{x\rightarrow\infty} (sin \wurzel{x + 1} - sin \wurzel{x} )$
e) $\limes_{x\rightarrow\infty} x^{16} e^{-x} cos x$

Hallo liebe Mathefreunde,
habe einige Fragen zur Bestimmung der Grenzwerte von Funktionen. Bin eigentlich der Meinung, dass ich das Thema gut verstanden habe. Hoffe daher, dass meine Bemühungen zur obigen Aufgabe nicht total daneben sind ;-)

Zu bestimmen sind also die Grenzwerte von Funktionen an einer Stelle $x_{0}$. Bei den ersten 3 Teilaufgaben ist $x_{0} = 0$. Falls ein Grenzwert an dieser Stelle existiert, so muss sowohl sowohl linksseitiger als auch rechtsseitiger Grenzwert existieren und diese beiden Grenzwerte müssen gleich sein.
Also definiere ich 2 Folgen:
1. $(x_{n})_{n\in\IN} := \bruch{1}{n}$  mit $\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} = x_{0}$
2. $(y_{n})_{n\in\IN}:= -\bruch{1}{n}$  mit $\limes_{n\rightarrow\infty} y_{n} = x_{0}$

Beispielhaft meine Lösung zu Aufgabenteil a. Wenn das Ergebnis stimmt, sollte ich es auch für b und c richtig gemacht haben :-)

Rechtsseitiger Grenzwert:
$\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) = \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n}) = e^{-n^2} = \bruch{1}{e^{n^2}} = 0$

Linksseitiger Grenzwert:
$\limes_{n\rightarrow\infty} f(y_{n}) = \limes_{n\rightarrow\infty} f(- \bruch{1}{n}) = e^{-n^2} = \bruch{1}{e^{n^2}} = 0$

Da links- und rechtseitiger Grenzwert gleich sind, hat die Funktion an der Stelle $x_{0} = 0$ den Limes $0$.

Soweit so richtig? Ich hoffe schon :-)

Gruss Jakob

        
Bezug
Grenzwerte von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Mo 28.04.2008
Autor: MathePower

Hallo jboss,

> Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte von Funktionen:
>  a) [mm]\limes_{x\rightarrow0} e^{-\bruch{1}{x^2}[/mm]
>  b)
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \wurzel[x]{1 + x}[/mm]
>  c)
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \wurzel[x^2]{x}[/mm]
>  d)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (sin \wurzel{x + 1} - sin \wurzel{x} )[/mm]
>  
> e) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^{16} e^{-x} cos x[/mm]
>  Hallo
> liebe Mathefreunde,
>  habe einige Fragen zur Bestimmung der Grenzwerte von
> Funktionen. Bin eigentlich der Meinung, dass ich das Thema
> gut verstanden habe. Hoffe daher, dass meine Bemühungen zur
> obigen Aufgabe nicht total daneben sind ;-)
>  
> Zu bestimmen sind also die Grenzwerte von Funktionen an
> einer Stelle [mm]x_{0}[/mm]. Bei den ersten 3 Teilaufgaben ist [mm]x_{0} = 0[/mm].
> Falls ein Grenzwert an dieser Stelle existiert, so muss
> sowohl sowohl linksseitiger als auch rechtsseitiger
> Grenzwert existieren und diese beiden Grenzwerte müssen
> gleich sein.
> Also definiere ich 2 Folgen:
>  1. [mm](x_{n})_{n\in\IN} := \bruch{1}{n}[/mm]  mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} = x_{0}[/mm]
> 2. [mm](y_{n})_{n\in\IN}:= -\bruch{1}{n}[/mm]  mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_{n} = x_{0}[/mm]
>
> Beispielhaft meine Lösung zu Aufgabenteil a. Wenn das
> Ergebnis stimmt, sollte ich es auch für b und c richtig
> gemacht haben :-)
>  
> Rechtsseitiger Grenzwert:
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) = \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n}) = e^{-n^2} = \bruch{1}{e^{n^2}} = 0[/mm]
>  
> Linksseitiger Grenzwert:
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(y_{n}) = \limes_{n\rightarrow\infty} f(- \bruch{1}{n}) = e^{-n^2} = \bruch{1}{e^{n^2}} = 0[/mm]
>  
> Da links- und rechtseitiger Grenzwert gleich sind, hat die
> Funktion an der Stelle [mm]x_{0} = 0[/mm] den Limes [mm]0[/mm].
>  
> Soweit so richtig? Ich hoffe schon :-)

Ja. [ok]

>  
> Gruss Jakob
>    

Gruss
MathePower
Bezug
                
Bezug
Grenzwerte von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Mo 28.04.2008
Autor: jboss

Hallo MathePower,
danke für deine schnelle Antwort.
Habe jedoch noch Probleme mit Aufgabenteil d. Ich denke die Funktion konvergiert gegen 0.

Sei [mm] $x_n$ [/mm] eine beliebige Folge mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] +\infty$ [/mm]
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (sin [mm] \wurzel{x_n + 1} [/mm] - sin [mm] \wurzel{x_n} [/mm] )$
$  = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (sin [mm] \wurzel{x_n(1 + \bruch{1}{x_n})} [/mm] - sin [mm] \wurzel{x_n} [/mm] )$
$  = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (sin [mm] \wurzel{x_n}\underbrace{\wurzel{1 + \bruch{1}{x_n}}}_{\to 1} [/mm] - sin [mm] \wurzel{x_n} [/mm] )$
$ = 0$

Stimmt das so?

Gruss Jakob

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Mo 28.04.2008
Autor: MathePower

Hallo jboss,

> Hallo MathePower,
>  danke für deine schnelle Antwort.
> Habe jedoch noch Probleme mit Aufgabenteil d. Ich denke die
> Funktion konvergiert gegen 0.
>
> Sei [mm]x_n[/mm] eine beliebige Folge mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n = +\infty[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (sin \wurzel{x_n + 1} - sin \wurzel{x_n} )[/mm]
>  
> [mm]= \limes_{n\rightarrow\infty} (sin \wurzel{x_n(1 + \bruch{1}{x_n})} - sin \wurzel{x_n} )[/mm]
> [mm]= \limes_{n\rightarrow\infty} (sin \wurzel{x_n}\underbrace{\wurzel{1 + \bruch{1}{x_n}}}_{\to 1} - sin \wurzel{x_n} )[/mm]
>  
> [mm]= 0[/mm]
>  
> Stimmt das so?

Ich glaube nicht

Schreibe den Ausdruck mal so:

[mm]\sin\left(\wurzel{x+1}\right)-\sin\left(\wurzel{x}\right)=\sin\left(a+b\right)-\sin\left(a-b\right)=2*\sin\left(b\right)*\cos\left(a\right)[/mm]

>  
> Gruss Jakob
>  

Gruss
MathePower
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