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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Di 31.01.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Sei [mm] f:[0,\infty[ \to \IR [/mm] differenzierbar und es existiere der Grenzwert a:= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f'(x).
[/mm]
Beweisen oder wiederlegen sie:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(f(x+1)-f(x))=a [/mm] |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, ich würde sagen das geht, weil die Tangentensteigung ab einem bestimmten punkt ca alle gleich sind und somit die funktion wie eine gerade verläuft und somit hat auch jede sekante ab diesem punkt ca die selbe steigung wie die tangentensteigung der punkte ab dieser schranke.
Ist das richtig so und wenn ja, wie kann man das formal aufschreiben??
Danke schonmal im Voraus ;) Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Di 31.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ari
Immer wieder und noch mal: zum Beweisen benutzt man die DEFINITIONEN, und nicht so ein anschauliches "Gefühl", damit kann man höchstens die Richtung finden in der man suchen muss.
> Sei [mm]f:[0,\infty[ \to \IR[/mm] differenzierbar und es existiere
> der Grenzwert a:= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x).[/mm]
> Beweisen oder wiederlegen sie:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(f(x+1)-f(x))=a[/mm]
Was Tangentensteigung und Sekantensteigung miteinander zu tun haben sagt der Mittelwertsatz! Und der ist wohl der wichtigste der Differentialrechnung!
also es gibt ein [mm] \xi [/mm] mit $ x [mm] \le \xi \le [/mm] x+1 $so dass $ f(x+1)-f(x) [mm] =f'(\xi)$
[/mm]
und jetzt die Def des Grenzwerts :
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)=a [/mm] heisst es existiert zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein E, so dass für alle x>E gilt [mm] a-\varepsilon
Und jetzt nur noch die GW def. für die Behauptung und du bist fertig.
Ich glaub, ich hab dir schon öfter gesagt, dass man mit den def. arbeiten MUSS und nicht irgenwas einfach so sagen kann.denn ohne die Def. bedeutet lim einfach gar nichts und du darfst es auch limonade nennen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Mi 01.02.2006 | | Autor: | AriR |
würde mann dann ca so weiter machen??
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x+1)-f(x) [/mm] = [mm] \limes_{\xi\rightarrow\infty}f'(\xi)=a [/mm]
und dann ist es bewiesen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Mi 01.02.2006 | | Autor: | martin1984 |
Ich glaub das geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mi 01.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ari
Du MUSST die Def. benutzen! also die für die Grenzwerte: f(x+1)-fx) gegen a wenn gilt usw. dann aus der Vors zeigen, dass das so ist, und nicht einfach lim =lim, das ist doch die zu beweisende Behauptung!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Sa 04.03.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor hier gestellt www.matheforum.net/read?i=124554
Hey Leute, habe diese Frage hier mal wieder rausgekrammt und mache mich gerade wieder an ihr zu schaffen.
Also soweit war ja alles klar:
[mm] f(x+1)-f(x)=f'(\xi) [/mm] für alle [mm] x\le\xi\le [/mm] x+1
da nun [mm] x\to\infty [/mm] gilt für [mm] x\le\xi\le [/mm] x+1, dass auch hier [mm] x\to\infty [/mm] und somit auch [mm] \xi\to\infty [/mm] was wiederem dazu führt, dass laut voraussetzung [mm] f'(\xi)=a
[/mm]
und somit insgsammt herauskommt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x+1)-f(x)=a
ist das so richtig? hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :) Gruß Ari
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Sa 04.03.2006 | | Autor: | AriR |
ich meinte für ein [mm] \xi [/mm] nicht für alle
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Hallo und guten Morgen Ari,
warum haengst Du Deine Nachfrage nicht an den alten, schon existierenden Diskussionsstrang ?
Jedenfalls werd ich die Frage dorthin verschieben, das ist inhaltlich geboten und hoffentlich fuer alle
Beteiligten in Ordnung.
Nun zur Frage:
leduart hatte damals zurecht Deinen dort geposteten Loesungsansatz beanstandet und Hinweise
gegeben, was zu tun ist. Also Du kommst nicht daran vorbei, entlang der Definitionen der Begriffe Grenzwert und Ableitung
mal hinzuschreiben (und dann sorgfaeltig zu benutzen), was gegeben ist.
Zu zeigen laut Def.:
Zu jeder monoton steigenden gegen [mm] \infty [/mm] divergenten Folge reeller Zahlen [mm] x_n,n\in\IN [/mm] gilt
[mm] \lim_{n\to\infty} (f(x_n+1)-f(x_n))=a.
[/mm]
Nun sei [mm] x_n,n\in\IN [/mm] eine solche Folge, dann gibt es laut Zwischenwertsatz der Differentialrechnung, der ja bereits erwaehnt wurde,
zu jedem [mm] n\in\IN [/mm] ein [mm] \beta_n\in [x_n,x_n+1) [/mm] mit
[mm] f'(\beta_n)=f(x_n+1)-f(x_n).
[/mm]
Wegen der Monotonie der Folge [mm] (x_n) [/mm] ist die Folge [mm] \beta_n,n\in\IN [/mm] auch divergent gegen [mm] \infty
[/mm]
(zu jedem [mm] n\in\IN [/mm] gibt es [mm] m_0>n [/mm] so, dass [mm] x_m>x_n+2 [/mm] fuer alle [mm] m\geq m_0, [/mm] somit sind die Intervalle disjunkt und daher notw.
[mm] \beta_m >\beta_n+1 [/mm] fuer alle [mm] m\geq m_0).
[/mm]
Dann konvergiert die Folge [mm] f'(\beta_m),m\in\IN [/mm] also laut def. der Konvergenz der Funktion f'(x) bei [mm] x\to\infty
[/mm]
gegen a,
und das ist schon alles, was Du zeigen wolltest.
Du MUSST also die Definition ''Grenzwert/Konvergenz von Funktionen'' verwenden, naemlich
allgemein:
[mm] g\colon\IR\to\IR, [/mm] dann ist [mm] \lim_{x\to\infty}g(x)\:\: [/mm] = b
PER DEFINITIONEM genau dann, wenn fuer jede Folge reeller Zahlen [mm] x_n,n\in\Inset [/mm] mit
[mm] \lim_{n\to\infty}x_n=\infty
[/mm]
gilt:
[mm] \lim_{n\to\infty} g(x_n)\: =\: [/mm] b.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Mo 06.03.2006 | | Autor: | AriR |
ich verstehe ehrlichgesagte eine sache nicht und zwar warum taucht auf einmal immer diese monotoni auf? woher kommt die?
und ist mein Lösungsweg also falsch gewesen?
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Hallo und guten Morgen Ari,
Deine Loesung ist zwar schon eine Kurzform des Argumentes, aber man muss schon genau schauen,
was man zeigen soll, und da braucht man halt die Definition der Konvergenz von Funktionen.
ZB wenn Du aus [mm] x\to\infty [/mm] und [mm] f(x+1)-f(x)=f'(\xi) [/mm] mit [mm] x\leq \xi\leq [/mm] x+1 schon meinst, die behauptete Aussage
folgern zu koennen, so sei dazu gesagt: Letztlich zeigst Du so Konvergenz nur fuer bestimmte gegen [mm] \infty [/mm] divergente
Folgen, aber noch nicht fuer alle, wie es laut definition der Konvergenz von Funktionen aber vonnoeten waere.
Die Monotonie stellt jeweils nur sicher, dass die jeweils betrachteten Teilfolgen gegen [mm] \infty [/mm] divergieren.
Gruss,
Mathias
PS. Nichts fuer ungut, aber eine freundliche Anrede und ein Gruss am Ende
sind nicht nur laut Forenregeln dringstens empfohlen, sondern motivieren auch
potentielle Antwortgeber. Sie praegen, sofern von allen Beteiligten beruecksichtigt, ja gerade das
Klima im Forum auf hoechst angenehme Weise.
Und weiterhin gilt, dass, wenn Du nochmal nachfragst, das fuer jeden auf gleiche Weise als aktuelle
offene Frage sichtbar ist wie wenn Du einen neuen Strang zur Fortsetzung des Themas eroeffnest. Und dass
sich auch immer wieder Leute in bereits laenger existierende Diskussionsstraenge einschalten,
kann man an vielen Beispielen im MatheRaum sehr gut nachvollziehen.
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:35 Do 09.03.2006 | | Autor: | AriR |
@ mathiash ich were mir dies merken, ist glaub ich auch etwas falsch rübergekommen
und nochmals zu der Aufgabe; ich verstehe einfach nicht, warum das ganze dann nur für bestimmt folgen gilt. Irgendwie ist das Grundproblem glaub ich nicht klar :( hat jemand eine ahnung, wie man sich das besser verdeutlich kann?
Danke im Voraus für jede Hilfe.. Gruß Ari :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Sa 11.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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