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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, falls sie existieren:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} an \ \ \ mit \ \ \ an = \frac{n^{n+\frac{1}{n}}(2n-1)}{(n+1)^{n+1}}[/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm]\limes_{x\rightarrow1} \frac{x - x^2}{\left(1+ln (x)\right) \ ln\left(1-ln(x)\right)}[/mm] |
| Aufgabe 3 | | [mm]\limes_{x\rightarrow0}\left(\frac{sin(x)}{x}\right)^{\frac{1}{1-cos(x)} [/mm] |
Hallo Leute,
es tut mir leid das ich hier noch einen Thread eröffnen muss, auch wenn es den Anschein hat das ich hier die Aufgaben über andere lösen lassen möchte, so ist dem nicht so. Ich habe trotz der vielen Hilfe die ich hier schon bekommen habe, immer noch bei gewissen Aufgaben Schwierigkeiten. Es hilft ja leider nix ... ich muss es ja verstehen.
Also zu Aufgabe 1, ich glaube das ich diese Ordnungsgemäß lösen konnte:
[mm]
\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n^{n+\frac{1}{n}}(2n-1)}{(n+1)^{n+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot{}\wurzel[n]{n}\cdot{}\frac{n}{n}\cdot{}\frac{2-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}=1\cdot{}1\cdot{}1\cdot{}2=2[/mm]
Und jetzt kommt der Kracher, auch wenn ich glaube, dass ich habe mich total verrannt habe, schreibe ich hier mal alles hin:
[mm]\limes_{x\rightarrow1} \frac{x - x^2}{\left(1+ln (x)\right) \ ln\left(1-ln(x)\right)}=\limes_{x\rightarrow1} \frac{1}{\left(1+ln (x)\right)}\cdot{}\limes_{x\rightarrow1}\frac{x - x^2}{ln\left(1-ln(x)\right)}=1\cdot{}\limes_{x\rightarrow1}\frac{(1-2x)\cdot{}ln\left(1-ln(x)\right)-(x-x^2)\cdot{}\left(-\frac{1}{x\cdot{}(\left1-ln(x)\right)}\right)}{\left(ln\left(1-ln(x)\right)\right)^2}=\limes_{x\rightarrow1}\frac{(1-2x)\cdot{}ln\left(1-ln(x)\right)+\frac{1-x}{1-ln(x)}}{\left(ln\left(1-ln(x)\right)\right)^2}[/mm]
Jetzt habe ich wieder einen unbestimmten Ausdruck, jetzt könnte ich ja nochmal Ableiten, bringt mir aber nix, weil ich den Nenner ja stets nur quadriere.
Zur Aufgabe 3. Ich habe das Gefühl das schreit nach der e-Funktion Variante. Aber bin zu keiner Lösung gekommen.
[mm]\limes_{x\rightarrow0}\left(\frac{sin(x)}{x}\right)^{\frac{1}{1-cos(x)}}=e^{\frac{1}{1-cos(x)}\cdot{}ln\left(\frac{sin(x)}{x}\right)}[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow0}\frac{1}{1-cos(x)}\cdot{}ln\left(\frac{sin(x)}{x}\right)=\limes_{x\rightarrow0}\frac{ln\left(\frac{sin(x)}{x}\right)}{1-cos(x)}=\limes_{x\rightarrow0}\frac{sin(x)\cdot{}ln\left(\frac{sin(x)}{x}\right)-\frac{\left(1-cos(x)\right)\cdot{}\left(cos(x)\cdot{}x-sin(x)\right)}{x\cdot{}sin(x)}}{\left(1-cos(x)\right)^2}[/mm]
Und wieder mein Standard Problem, ich habe im Nenner wieder etwas, was mir, egal wie oft ich ableite 0 ausgibt ... .
Wo habe ich mich verannt?
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Hallo Lyrone!
Wenn Du hier  de l'Hospital anwendest, musst Du Zähler und Nenner jeweils getrennt für sich ableiten (das hat nichts mit der Quotientenregel zu tun.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Lyrone!
Die Idee / Dein Ansatz ist gut. Allerdings stimmt Dein Teilgrenzwert für [mm] $\left(\bruch{n}{n+1}\right)^n$ [/mm] nicht.
Hier kommt (mit etwas Umformen) [mm] $e^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e}$ [/mm] heraus.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Danke Roadrunner für den Hinweis (und natürlich auch an schachuzipus), das es gegen [mm]\frac{1}{e}[/mm] läuft wusste ich nicht.
Ich habe mich schon gewundert warum die Ableitungen immer krasser werden, dachte mir nur "Wie schaffste das bloss in der Klausurzeit?".
Habe deinen Rat und den von schachuzipus befolgt und hoffe mal das ich es jetzt richtig umgesetzt habe:
Einfach nochmal der Richtigkeitshalber alle durch ...
Aufgabe 1:
[mm]
\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n^{n+\frac{1}{n}}(2n-1)}{(n+1)^{n+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot{}\wurzel[n]{n}\cdot{}\frac{n}{n}\cdot{}\frac{2-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{1}{e}\cdot{}1\cdot{}1\cdot{}2=\frac{2}{e}
[/mm]
Aufgabe 2:
[mm]
\limes_{x\rightarrow1} \frac{x - x^2}{\left(1+ln (x)\right) \ ln\left(1-ln(x)\right)}=\limes_{x\rightarrow1} \frac{1 - 2x}{\frac{1}{x}\cdot{}ln\left(1-ln(x)\right)+\left(1+ln(x)\right)\cdot{}\left(-\frac{1}{x\cdot{}\left(1-ln(x)\right)}\right)}=\limes_{x\rightarrow1}\frac{(1-2x)\cdot{}x\cdot{}\left(1-ln(x)\right)}{ln\left(1-ln(x)\right)\cdot{}\left(1-ln(x)\right)-1-ln(x)}=\frac{(1-2)\cdot{}1\cdot{}(1-0)}{0\cdot{}1 -1-0}=1[/mm]
Aufgabe 3:
[mm]
\limes_{x\rightarrow0}\left(\frac{sin(x)}{x}\right)^{\frac{1}{1-cos(x)}}=e^{\frac{1}{1-cos(x)}\cdot{}ln\left(\frac{sin(x)}{x}\right)}
[/mm]
[mm]
\limes_{x\rightarrow0}\frac{1}{1-cos(x)}\cdot{}ln\left(\frac{sin(x)}{x}\right)=\limes_{x\rightarrow0}\frac{ln\left(\frac{sin(x)}{x}\right)}{1-cos(x)}=\limes_{x\rightarrow0}\frac{\left(cos(x)\cdot{}x-sin(x)\right)\cdot{}x}{x^2 \cdot{}sin(x)\cdot{}sin(x)}=\limes_{x\rightarrow0}\frac{cos(x)\cdot{}x-sin(x)}{x\cdot{}sin^2(x)}=\limes_{x\rightarrow0}\frac{-sin(x)\cdot{}x+cos(x)}{sin^2(x)+x\cdot{}2\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)}=\limes_{x\rightarrow0}\frac{sin(x)\cdot{}x}{sin(x)\cdot{}x}\cdot{}\frac{\left(-1+\frac{cos(x)}{sin(x)\cdot{}x}\right)}{\left(\frac{sin(x)}{x}+2\cdot{}cos(x)\right)}=-\frac{1}{2}[/mm]
also [mm]e^{-\frac{1}{2}}[/mm]
Ich glaube ich habe hier nen Fehler, weil ich doch am Ende, wenn ich den Limes nehme, mehrere unbestimmten Ausdruck habe. Oder ist es egal?
Allgemein, diesmal wider erwarten richtige Lösungen?
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Hallo nochmal,
> Danke Roadrunner für den Hinweis (und natürlich auch an
> schachuzipus), das es gegen [mm]\frac{1}{e}[/mm] läuft wusste ich
> nicht.
> Ich habe mich schon gewundert warum die Ableitungen immer
> krasser werden, dachte mir nur "Wie schaffste das bloss in
> der Klausurzeit?".
>
> Habe deinen Rat und den von schachuzipus befolgt und hoffe
> mal das ich es jetzt richtig umgesetzt habe:
>
> Einfach nochmal der Richtigkeitshalber alle durch ...
>
> Aufgabe 1:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n^{n+\frac{1}{n}}(2n-1)}{(n+1)^{n+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\cdot{}\wurzel[n]{n}\cdot{}\frac{n}{n}\cdot{}\frac{2-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{1}{e}\cdot{}1\cdot{}1\cdot{}2=\frac{2}{e}$ [/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Aufgabe 2:
[mm] $\limes_{x\rightarrow1} \frac{x - x^2}{\left(1+ln (x)\right) \ ln\left(1-ln(x)\right)}=\limes_{x\rightarrow1} \frac{1 - 2x}{\frac{1}{x}\cdot{}ln\left(1-ln(x)\right)+\left(1+ln(x)\right)\cdot{}\left(-\frac{1}{x\cdot{}\left(1-ln(x)\right)}\right)}=\limes_{x\rightarrow1}\frac{(1-2x)\cdot{}x\cdot{}\left(1-ln(x)\right)}{ln\left(1-ln(x)\right)\cdot{}\left(1-ln(x)\right)-1-ln(x)}=\frac{(1-2)\cdot{}1\cdot{}(1-0)}{0\cdot{}1 -1-0}=1$ [/mm]
>
> Aufgabe 3:
>
[mm] $\limes_{x\rightarrow0}\left(\frac{sin(x)}{x}\right)^{\frac{1}{1-cos(x)}}=\red{\limes_{x\rightarrow0}}e^{\frac{1}{1-cos(x)}\cdot{}ln\left(\frac{sin(x)}{x}\right)}$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow0}\frac{1}{1-cos(x)}\cdot{}ln\left(\frac{sin(x)}{x}\right)=\limes_{x\rightarrow0}\frac{ln\left(\frac{sin(x)}{x}\right)}{1-cos(x)}=\limes_{x\rightarrow0}\frac{\left(cos(x)\cdot{}x-sin(x)\right)\cdot{}x}{x^2 \cdot{}sin(x)\cdot{}sin(x)}=\limes_{x\rightarrow0}\frac{cos(x)\cdot{}x-sin(x)}{x\cdot{}sin^2(x)}$
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") bis hierher und nachvollziehbar, ab hier wird's suspekt
Das letzte Biest strebt wieder gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] wenn man nochmal mit de l'Hôpital zubeißt, so ergibt das
[mm] $=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-x\sin(x)}{2x\sin(x)\cos(x)+\sin^2(x)}$
[/mm]
Es scheint mir, dass du in deinem Ausdruck [mm] $=\limes_{x\rightarrow0}\frac{-sin(x)\cdot{}x+cos(x)}{sin^2(x)+x\cdot{}2\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(x)}$ [/mm] einen Vorzeichenfehler hattest, es hebt sich nämlich im Zähler [mm] $\cos(x)$ [/mm] und [mm] $-\cos(x)$ [/mm] weg bei der Ableitung
Da kann man [mm] $\sin(x)$ [/mm] kürzen:
[mm] $=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-x}{2x\cos(x)+\sin(x)}$
[/mm]
Das geht wieder gegen [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] für [mm] $x\to [/mm] 0$
Also ein letztes Mal ran mit de l'Hôpital und du hast es, es kommt [mm] $-\frac{1}{3}$ [/mm] raus
[mm] $=\limes_{x\rightarrow0}\frac{sin(x)\cdot{}x}{sin(x)\cdot{}x}\cdot{}\frac{\left(-1+\frac{cos(x)}{sin(x)\cdot{}x}\right)}{\left(\frac{sin(x)}{x}+2\cdot{}cos(x)\right)}=-\frac{1}{2}$
[/mm]
>
> also [mm] $e^{-\frac{1}{2}}$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Ich glaube ich habe hier nen Fehler, weil ich doch am
> Ende, wenn ich den Limes nehme, mehrere unbestimmten
> Ausdruck habe. Oder ist es egal?
Das wird oben da irgendwie zu wüst, rechne ab dem Schnitt oben mal weiter ...
>
>
> Allgemein, diesmal wider erwarten richtige Lösungen?
[mm] 2\frac{1}{2}/3 [/mm] 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Di 06.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hi schachuzipus,
also ich musste bestimmt 4 mal nachrechnen bevor ich meinen Fehler gefunden habe. Endlich ist die Aufgabe abgeharkt.
[mm]=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-x}{2x\cos(x)+\sin(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-1}{2\cdot{}cos(x)+2\cdot{}x\cdot{}\left(-sin(x)\right)+cos(x)}=-\frac{1}{3}[/mm]
Danke für deine Hilfe.
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