Grenzwerte ermitteln < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 So 08.01.2006 | | Autor: | LarsB |
| Aufgabe | Folgender Grenzwert ist zu ermitteln:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{e^{-2x}-1}{x-1} [/mm] |
Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Ps.(Glückwünsche an Loddar!!)
|
|
| |
|
Hallo,
wenn du dir die Funktion mal plotten lässt, siehst du, dass bei x=1 eine Unstetigkeitsstelle ist. Der Grenzwert ist an dieser Stelle nicht definiert. Mir würde auch nichts einfallen, um das irgendwie explizit auszurechnen (l'Hospital oder Grenzwertsätze bringen nichts!).
Aber eins vielleicht. Betrachte mal rechts-und linksseitigen Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1^{+}}\bruch{e^{-2x}-1}{x-1}=-\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 1^{-}}\bruch{e^{-2x}-1}{x-1}=\infty
[/mm]
Das sieht man ganz schnell einfach nur durch Einsetzen! So könnte man sagen, dass x=1 eine Asymptote ist!
Viele Grüße
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 So 08.01.2006 | | Autor: | LarsB |
Danke mathmetzsch für deine Hilfe, ich dachte es gebe hier vieleicht doch eine Möglichkeit mit L'Hospital etc.
Gruß
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> ...
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1^{+}}\bruch{e^{-2x}-1}{x-1}=-\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1^{-}}\bruch{e^{-2x}-1}{x-1}=\infty[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Das sieht man ganz schnell einfach nur durch Einsetzen!
Nun, und falls man es ein wenig formaler haben moechte:
$\frac{e^{-2x} - 1}{x - 1} = \frac{e^{-2x} - e^{-2}}{x - 1} + \frac{e^{-2} - 1}{x - 1}$. Nun ist $\lim_{x\to 1}\frac{e^{-2x} - e^{-2}}{x - 1} = \left. (e^{-2x})' \right|_{x=1} = \left. -2 e^{-2x} \right|_{x=1} = -2 e^{-2}$, und $\lim_{x\to1 \atop x<1 / x>1} \frac{e^{-2} - 1}{x - 1} = \pm \infty$, je nachdem ob man von links oder von rechts kommt.
LG Felix
|
|
|
|
